Multiplier deux matrices

Une matrice est un tableau de nombres qui comporte des lignes et des colonnes. Chacun de ces nombres est un élément ou un coefficient de la matrice.

Par exemple, la matrice $A$A a $2$2 lignes et $3$3 colonnes. $a_{\blueD2,\goldD1}$a, start subscript, start color #11accd, 2, end color #11accd, comma, start color #e07d10, 1, end color #e07d10, end subscript est l'élément de la $\blueD{2\text{ème ligne}}$start color #11accd, 2, start text, e, with, \`, on top, m, e, space, l, i, g, n, e, end text, end color #11accd et de la $\goldD{1\text{ère colonne }}$start color #e07d10, 1, start text, e, with, \`, on top, r, e, space, c, o, l, o, n, n, e, space, end text, end color #e07d10 : $a_{2,1}= 5$a, start subscript, 2, comma, 1, end subscript, equals, 5.

Si nécessaire, reportez-vous à la leçon Qu'est-ce qu'une matrice ? et à la leçon Multiplier une matrice par un scalaire.

Cette leçon porte sur le produit de deux matrices. Par exemple, le produit :

Quand on travaille dans l'ensemble des matrices, pour éviter toute confusion on utilise le terme scalaire pour désigner un nombre réel.

Pour multiplier une matrice par un scalaire, on multiplie chacun des éléments de la matrice par le scalaire.

La multiplication de deux matrices est une opération complètement différente. Elle est moins simple mais plus intéressante.

D'abord un rappel sur le produit scalaire de deux vecteurs.

Un vecteur du plan, de dimension $2$2 a deux composantes, par exemple, le couple $(2,5)$left parenthesis, 2, comma, 5, right parenthesis. Un vecteur de l'espace, de dimension $3$3, a trois composantes, par exemple le triplet $(3,1,8)$left parenthesis, 3, comma, 1, comma, 8, right parenthesis.

On peut imaginer un vecteur d'un espace de dimension $n$n. Ses composantes constituent un n-uplet, c'est-à-dire un ensemble ordonné de $n$n nombres.

Par définition le produit scalaire de deux vecteurs d'un espace à $n$n dimensions de composantes $(x_1,x_2,...x_n)$left parenthesis, x, start subscript, 1, end subscript, comma, x, start subscript, 2, end subscript, comma, point, point, point, x, start subscript, n, end subscript, right parenthesis et $(x'_1,x'_2,...x'_n)$left parenthesis, x, start subscript, 1, end subscript, prime, comma, x, start subscript, 2, end subscript, prime, comma, point, point, point, x, start subscript, n, end subscript, prime, right parenthesis est la somme $x_1x'_1+x_2x'_2+...+x_nx'_n$x, start subscript, 1, end subscript, x, start subscript, 1, end subscript, prime, plus, x, start subscript, 2, end subscript, x, start subscript, 2, end subscript, prime, plus, point, point, point, plus, x, start subscript, n, end subscript, x, start subscript, n, end subscript, prime.

Par exemple, dans le plan le produit scalaire des vecteurs de composantes, ou coordonnées, $(x,y)$left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis et $(x',y')$left parenthesis, x, prime, comma, y, prime, right parenthesis est $xx'+yy'$x, x, prime, plus, y, y, prime. Le symbole du produit scalaire est le point :

Voici l'exemple du produit scalaire de deux vecteurs de l'espace : $\vec{a}(3,1,8)$a, with, vector, on top, left parenthesis, 3, comma, 1, comma, 8, right parenthesis et $\vec{b}(4,2,3)$b, with, vector, on top, left parenthesis, 4, comma, 2, comma, 3, right parenthesis. Leur produit scalaire $\vec{a}\cdot \vec{b}$a, with, vector, on top, dot, b, with, vector, on top est :

Le produit scalaire est une opération qui à deux vecteurs fait correspondre un réel.

Chacune des lignes et chacune des colonnes d'une matrice est un ensemble ordonné de nombres donc un $n$n-uplet. Donc à chacune des lignes et à chacune des colonnes, on peut associer le vecteur dont les coordonnées sont ce $n$n-uplet.

Dans cette matrice, à la ligne $1$1 on associe le vecteur $\blueD{\vec{l_1}}(6,2)$start color #11accd, l, start subscript, 1, end subscript, with, vector, on top, end color #11accd, left parenthesis, 6, comma, 2, right parenthesis et à la ligne $2$2 le vecteur $\blueD{\vec{l_2}}(4,3)$start color #11accd, l, start subscript, 2, end subscript, with, vector, on top, end color #11accd, left parenthesis, 4, comma, 3, right parenthesis.

De même, à la colonne $1$1 on associe le vecteur $\goldD{\vec{c_1}}(6,4)$start color #e07d10, c, start subscript, 1, end subscript, with, vector, on top, end color #e07d10, left parenthesis, 6, comma, 4, right parenthesis et à la colonne $2$2 le vecteur $\goldD{\vec{c_2}}(2,3)$start color #e07d10, c, start subscript, 2, end subscript, with, vector, on top, end color #e07d10, left parenthesis, 2, comma, 3, right parenthesis.

Voici sur un exemple comment on définit la multiplication dans l'ensemble des matrices.

Soit $A=\left[\begin{array}{rr}{1} &7 \\ 2& 4 \end{array}\right]$ et $B=\left[\begin{array}{rr}{3} &3 \\ 5& 2 \end{array}\right]$. On calcule la matrice produit $C=AB$C, equals, A, B.

Par définition :

Chacun des éléments de la matrice $C$C est le produit scalaire du vecteur associé à l'une des lignes de la matrice $A$A et du vecteur associé à l'une des colonnes de la matrice $B$B. Plus précisément $c_{\blueD i,\goldD j}$c, start subscript, start color #11accd, i, end color #11accd, comma, start color #e07d10, j, end color #e07d10, end subscript est le produit scalaire du vecteur $\blueD{\vec{a_i}}$start color #11accd, a, start subscript, i, end subscript, with, vector, on top, end color #11accd et du vecteur $\goldD{\vec{b_j}}$start color #e07d10, b, start subscript, j, end subscript, with, vector, on top, end color #e07d10.

$\greenD{c_{1,2}}$start color #1fab54, c, start subscript, 1, comma, 2, end subscript, end color #1fab54 est le produit scalaire des vecteurs $\blueD{\vec{a_1}}$start color #11accd, a, start subscript, 1, end subscript, with, vector, on top, end color #11accd et $\goldD{\vec{b_2}}$start color #e07d10, b, start subscript, 2, end subscript, with, vector, on top, end color #e07d10 :

On obtient :

4) $C=\left[\begin{array}{rr}{2} &1 \\ 5& 2 \end{array}\right]$ et $D=\left[\begin{array}{rr}{1} &4 \\ 3& 6 \end{array}\right]$.

$F=C\times D$F, equals, C, times, D.

6) $M=\left[\begin{array}{rrr}{2} &8 &3 \\ 5& 4&1 \end{array}\right]$ et $N=\left[\begin{array}{rr}{4} &1 \\ 6& 3\\2&4 \end{array}\right]$.

$P=M\times N$P, equals, M, times, N.

Je pense que vous serez d'accord avec moi que jusqu'ici les opérations dans l'ensemble des matrices que nous avions étudiées -l'addition, la soustraction et la multiplication par un scalaire- allaient de soi.

Mais ce n'est pas la cas pour la multiplication ! Les éléments de la matrice produit ne sont pas les produits des éléments situés au même emplacement dans chacune des matrices.

Vous vous demandez peut-être pourquoi ! Les choses s'éclaireront et vous comprendrez mieux quand vous découvrirez les leçons :