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Algèbre

Cours : Algèbre > Chapitre 20 

Leçon 7: Les propriétés de l'addition et de la multiplication par un scalaire
Mathématiques
Algèbre
Les matrices
Les propriétés de l'addition et de la multiplication par un scalaire
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Les propriétés de la multiplication d'une matrice par un scalaire

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.
A et B sont des matrices de même dimension, c et d sont des scalaires et O et la matrice nulle.
PropriétéExemple
La multiplication par un scalaire est associativeQuels que soient les réels c, d et la matrice A, left parenthesis, c, d, right parenthesis, A, equals, c, left parenthesis, d, A, right parenthesis
La multiplication par un scalaire est distributive sur l'addition c, left parenthesis, A, plus, B, right parenthesis, equals, c, A, plus, c, B
left parenthesis, c, plus, d, right parenthesis, A, equals, c, A, plus, d, A
1 est l'élément neutre 1, A, equals, A
Le produit de la matrice nulle par un scalaire est la matrice nulle0, times, A, equals, O
c, times, O, equals, O
La multiplication par un scalaire est une loi interne dans chacun des ensembles de matrices de même dimensionSi A est une matrice de dimension m, ×, n, quel que soit c, la matrice c, A est une matrice de dimension m, ×, n.
Cette leçon porte sur ces propriétés de la multiplication d'une matrice par un scalaire.

Multiplier une matrice par un scalaire

Une matrice est un tableau de nombres qui comporte des lignes et des colonnes.
Quand on travaille dans l'ensemble des matrices, pour éviter toute confusion on utilise le terme scalaire pour désigner un nombre réel.
Pour multiplier une matrice par un scalaire, on multiplie chacun des éléments de la matrice par le scalaire.
2×[5231]=[2×52×22×32×1]=[10462]\begin{aligned}\goldD{2}\times {\left[\begin{array}{rr}{5} &2 \\ 3& 1 \end{array}\right]}&={\left[\begin{array}{ll}{\goldD2 \times 5} &\goldD2\times 2 \\ \goldD2\times 3& \goldD2\times 1 \end{array}\right]}={\left[\begin{array}{rr}{10} &4 \\ 6&2 \end{array}\right]}\end{aligned}
Si nécessaire, reportez-vous aux leçons précédentes :

Dimension

L'exemple précédent montre que le produit d'une matrice 2, times, 2 par un scalaire est une matrice 2, times, 2. De façon générale, le produit d'une matrice par un scalaire est une matrice de même dimension. On dit que la multiplication par un scalaire est une loi interne dans l'ensemble des matrices de même dimension.

Multiplication d'une matrice par un scalaire et multiplication de deux rééls

La multiplication d'une matrice par un scalaire est définie à partir de la multiplication dans l'ensemble des réels donc ces deux multiplications ont des propriétés analogues.
On va examiner chaque propriété l'une après l'autre.

La multiplication d'une matrice par un scalaire est associative : left parenthesis, c, d, right parenthesis, A, equals, c, left parenthesis, d, A, right parenthesis

Autrement dit, si on doit multiplier une matrices par deux scalaires on peut commencer par multiplier les deux scalaires, et ensuite multiplier la matrice par le résultat, et on peut aussi multiplier la matrice par le premier scalaire, et ensuite multiplier la matrice obtenue par le deuxième scalaire.
Voici la justification sur un exemple où start color #11accd, c, end color #11accd, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd, start color #e07d10, d, end color #e07d10, equals, start color #e07d10, 3, end color #e07d10 et A=[5481]\greenD A={\left[\begin{array}{rr}{\greenD5}&\greenD4 \\ \greenD8& \greenD1\end{array}\right]}.
L'associativité de la multiplication par un scalaire repose sur l'associativité de la multiplication dans l'ensemble des réels. L'élément de la première ligne et de la première colonne left parenthesis, start color #11accd, 2, end color #11accd, times, start color #e07d10, 3, end color #e07d10, right parenthesis, times, start color #1fab54, 5, end color #1fab54 est égal à start color #11accd, 2, end color #11accd, times, left parenthesis, start color #e07d10, 3, end color #e07d10, times, start color #1fab54, 5, end color #1fab54, right parenthesis et comme on peut écrire le même type d'égalité pour chacun des éléments du produit left parenthesis, c, d, right parenthesis, ×, A, on en déduit que
left parenthesis, c, d, right parenthesis, ×, A, equals, c, ×, left parenthesis, d, A, right parenthesis.

La distributivité de la multiplication par un scalaire sur l'addition

c, left parenthesis, A, plus, B, right parenthesis, equals, c, A, plus, c, B

La multiplication par un scalaire est distributive sur l'addition.
Voici la justification sur un exemple où start color #11accd, c, end color #11accd, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd, A=[5231]\greenD A=\left[\begin{array}{rr}{\greenD5} &\greenD2\\ \greenD3& \greenD1\end{array}\right] et B=[3426]\goldD B=\left[\begin{array}{rr}{\goldD3} &\goldD4\\ \goldD2& \goldD6\end{array}\right]:
La distributivité de la multiplication par un scalaire sur l'addition repose sur la distributivité de la multiplication sur l'addition dans l'ensemble des réels. L'élément de la première ligne et de la première colonne start color #11accd, 2, end color #11accd, ×, left parenthesis, start color #1fab54, 5, end color #1fab54, plus, start color #e07d10, 3, end color #e07d10, right parenthesis est égal à start color #11accd, 2, end color #11accd, times, start color #1fab54, 5, end color #1fab54, plus, start color #11accd, 2, end color #11accd, times, start color #e07d10, 3, end color #e07d10 et comme on peut écrire le même type d'égalité pour chacun des éléments du produit c, left parenthesis, A, plus, B, right parenthesis, on en déduit que
c, left parenthesis, A, plus, B, right parenthesis, equals, c, A, plus, c, B.

left parenthesis, c, plus, d, right parenthesis, A, equals, c, A, plus, d, A

Le produit de la somme de c et d par la matrice A est égal à la somme du produit de c par la matrice A et du produit de d par la matrice A.
Voici la justification sur un exemple où start color #11accd, c, end color #11accd, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd, start color #1fab54, d, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 3, end color #1fab54 et A=[6974]\goldD A=\left[\begin{array}{rr}{\goldD6} &\goldD9 \\ \goldD7&\goldD4\end{array}\right] :
L'identité left parenthesis, c, plus, d, right parenthesis, A, equals, c, A, plus, d, A repose là encore sur la distributivité de la multiplication sur l'addition dans l'ensemble des réels.

1 est l'élément neutre de la multiplication par un scalaire : 1, ×, A, equals

Quelle que soit la matrice A, le produit de A par 1 est la matrice A elle-même
Par exemple, si A=[2517]A= \left[\begin{array}{rr}{2} &5 \\ 1&7 \end{array}\right] :
1[2517]=[1×21×51×11×7]=[2517]\begin{aligned}\greenD1 \left[\begin{array}{rr}{2} &5 \\ 1&7 \end{array}\right]&=\left[\begin{array}{rr}{\greenD1\times {2}} &\greenD1\times 5 \\\greenD1\times 1&\greenD1\times 7 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{rr}{2} &5 \\ 1&7 \end{array}\right] \end{aligned}
De même que 1 est l'élément neutre de la multiplication dans l'ensemble des réels, c'est-à-dire que pour tout a, 1, times, a, equals, a, 1 est l'élément neutre de la multiplication par un scalaire dans l'ensemble des matrices.

Multiplication d'une matrice par 0 et multiplication de la matrice nulle par un scalaire

Quelle que soit la matrice A, 0, times, A, equals, O

Plus précisément, quelle que soit la matrice A de dimension m, times, n, son produit par 0 est la matrice nulle de dimension m, times, n.
Ceci repose sur la propriété de la multiplication par 0 dans l'ensemble des réels : quel que soit le réel a, 0, times, a, equals, 0. Voici un exemple :
0[3867]=[0×30×80×60×7]=[0000]\begin{aligned}\greenD0 \left[\begin{array}{rr}{3} &8 \\ 6&7 \end{array}\right]&=\left[\begin{array}{rr}{\greenD0\times 3} &\greenD0\times 8 \\ \greenD0\times 6&\greenD0\times 7 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{rr}{0} &0 \\ 0&0 \end{array}\right] \end{aligned}

Quel que soit le réel c, c, times, O, equals, O

Le produit de la matrice nulle de dimension m, ×, n par un scalaire est la matrice nulle de dimension m, ×, n.
Là encore, ceci repose sur la propriété de la multiplication par 0 dans l'ensemble des réels. Voici un exemple où c, equals, 3 et où O est la matrice nulle de dimension 2, times, 2.
3[0000]=[3×03×03×03×0]=[0000]\begin{aligned}\greenD 3 \left[\begin{array}{rr}{0} &0 \\ 0&0 \end{array}\right]&=\left[\begin{array}{rr}{\greenD 3 \times 0} &\greenD 3\times 0 \\ \greenD 3\times 0&\greenD 3\times 0 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{rr}{0} &0 \\ 0&0 \end{array}\right] \end{aligned}

À vous !

Voici des exercices dans lesquels il faut appliquer ces propriétés.
Dans les deux exercices, A et B sont des matrices 2, times, 2 et c et d sont des scalaires.
1) Quelles que soient les matrices A et B et quel que soit le réel c, le produit c, left parenthesis, 1, A, plus, B, right parenthesis est égal à :
Choisissez toutes les réponses possibles :

2) Quelle que soit la matrice A et quels que soient les réels c et d, la somme left parenthesis, c, d, right parenthesis, A, plus, 0, A est égale à :
Choisissez toutes les réponses possibles :

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