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Algèbre

Cours : Algèbre > Chapitre 20 

Leçon 9: Les propriétés de la multiplication matricielle
Mathématiques
Algèbre
Les matrices
Les propriétés de la multiplication matricielle
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Les matrices identité

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Prérequis :

Une matrice est un tableau de nombres qui comporte des lignes et des colonnes.
Par définition si une matrice a m lignes et n colonnes, elle est dite de dimension m, ×, n (dans cet ordre). La matrice A a 2 lignes et 3 colonnes, donc elle est de dimension 2, times, 3. On dit aussi que c'est une matrice 2, ×, 3.
Éventuellement, reportez-vous à la leçon Qu'est-ce qu'une matrice ?.
Chacun des éléments de la matrice produit est le produit scalaire du vecteur associé à l'une des lignes de la première matrice et du vecteur associé à l'une des colonnes de la deuxième matrice.
Si nécessaire, reportez-vous à la leçon Multiplier deux matrices.

Les matrices identité

La matrice identité de dimension n, times, n, notée I, start subscript, n, end subscript, est une matrice carrée de n lignes et n colonnes. Tous les éléments de sa diagonale sont égaux à 1 et tous les autres éléments sont égaux à0.
Par exemple :
I2=[1001]I3=[100010001]I4=[1000010000100001]I_2=\left[\begin{array}{rr}{\greenD1} &0 \\ 0& \greenD1 \end{array}\right]\quad I_3=\left[\begin{array}{rr}{\greenD1} &0 &0 \\ 0& \greenD1&0\\0&0&\greenD1 \end{array}\right]\quad I_4=\left[\begin{array}{rr}{\greenD1} &0 &0&0 \\ 0& \greenD1&0&0\\0&0&\greenD1&0\\0&0&0&\greenD1 \end{array}\right]
Le rôle de la matrice identité dans l'ensemble des matrices est le même que celui de 1 dans l'ensemble des réels.

Question : Que se passe-t-il si on multiplie une matrice par la matrice identité de même dimension ?

Effectuer ces produits :
1) I2=[1001]I_2=\left[\begin{array}{rr}{1} &0 \\ 0& 1 \end{array}\right] et A=[2351]A=\left[\begin{array}{rr}{2} &3 \\ 5& 1 \end{array}\right].
I, start subscript, 2, end subscript, times, A, equals

2) I3=[100010001]I_3=\left[\begin{array}{rr}{1} &0&0 \\ 0& 1&0 \\0&0&1 \end{array}\right] et A=[154322413]A=\left[\begin{array}{rr}{1} &5&4 \\ 3& 2&2 \\4&1&3 \end{array}\right].
A, times, I, start subscript, 3, end subscript, equals

Conclusion

Quelle que soit la matrice A, si on la multiplie, à droite ou à gauche par la matrice identité de même dimension, on obtient la matrice A elle-même. Quelle que soit la matrice A, A, times, I, equals, I, times, A, equals, A.

L'élément neutre pour la multiplication dans l'ensemble des matrices n, ×, n et la matrice inverse d'un matrice

Élément neutre pour la multiplication

La matrice I, start subscript, n, end subscript joue le même rôle dans l'ensembles des matrices n, ×, n que le nombre 1 dans l'ensemble des réels.
Le nombre 1La matrice I, start subscript, n, end subscript
Quel que soit a, le produit de 1 par a est égal à a. Quel que soit a, a, times, 1, equals, 1, times, a, equals, aQuelle que soit la matrice n, ×, n, A, le produit de la matrice I, start subscript, n, end subscript par la matrice A est égal à A. Quelle que soit A, A, times, I, start subscript, n, end subscript, equals, I, start subscript, n, end subscript, times, A, equals, A

Matrice inverse

Par définition, l'inverse du nombre réel a est le nombre dont le produit par a est égal à 1. Par exemple, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, times, 3, equals, 1 et 3, times, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, equals, 1, donc start fraction, 1, divided by, 3, end fraction et 3 sont inverses l'un de l'autre.
Tout réel différent de 0 a un inverse. Est-ce que de même toute matrice non nulle a une matrice inverse ?
Soient les matrices A et B :
A=[2334]A=\left[\begin{array}{rr}{2} &3 \\ 3& 4 \end{array}\right] \quad B=[−433−2]B=\left[\begin{array}{rr}{-4} &3 \\ 3& -2 \end{array}\right]
On calcule queA, B, equals, I, start subscript, 2, end subscript et B, A, equals, I, start subscript, 2, end subscript.
Donc les matrices A et B sont inverses l'une de l'autre.
Mais nous verrons qu'il n'est pas vrai que toute matrice différente de la matrice nulle a une matrice inverse.

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