La condition pour que soit défini le produit de deux matrices

Le produit de deux matrices n'est défini que si le nombre de colonnes de la deuxième matrice est égal au nombre de lignes de la première et le produit d'une matrice (n,m) par une matrice (m,p) est une matrice (n,p).

Prérequis :

Une matrice est un tableau de nombres qui comporte des lignes et des colonnes. Chacun de ces nombres est un élément ou un coefficient de la matrice.
Par définition si une matrice a mm lignes et nn colonnes, elle est dite de dimension m×nm×n (dans cet ordre). La matrice AA a 22 lignes et 33 colonnes, donc elle est de dimension 2×32\times 3. On dit aussi que c'est une matrice 2×32×3.
Éventuellement, reportez-vous à la leçon Qu'est-ce qu'une matrice ?.
Chacun des éléments de la matrice produit est le produit scalaire du vecteur associé à l'une des lignes de la première matrice et du vecteur associé à l'une des colonnes de la deuxième matrice.
Si nécessaire, reportez-vous à la leçon Multiplier deux matrices.

Le sujet traité

Cette leçon porte sur la condition qui doit être satisfaite par les deux matrices pour que leur produit soit défini et sur la dimension de la matrice produit.

A quelle condition le produit de deux matrices est-il défini ?

Pour que le produit de deux matrices soit défini, il faut que le nombre de colonnes de la première matrice soit égal au nombre de lignes de la deuxième.
Voici l'explication sur un exemple :
A=[132425]A=\left[\begin{array}{rr}{1} &3 \\ 2& 4 \\ 2& 5 \end{array}\right] et B=[13222451]B=\left[\begin{array}{rrrr}{1} &3&2&2 \\ 2& 4&5&1 \end{array}\right]
Chacun des éléments de la matrice produit ABAB est égal au produit scalaire du vecteur associé à une ligne de la matrice AA et du vecteur associé à une colonne de la matrice BB. Il faut donc que les lignes de la matrice AA aient le même nombre d'éléments que les colonnes de la matrice BB.
Par définition le produit scalaire de deux vecteurs de composantes (x1,x2,...xn)(x_1,x_2,...x_n) et (x1,x2,...xn)(x'_1,x'_2,...x'_n) est la somme x1x1+x2x2+...+xnxnx_1x'_1+x_2x'_2+...+x_nx'_n. Il faut donc que chacun des vecteurs aient le même nombre de composantes.
Si les vecteurs associés aux lignes de la matrice AA ont deux éléments, il faut que les vecteurs associés aux colonnes de la matrice BB aient deux éléments.
A=[132425]A=\left[\begin{array}{rr}{\maroonC1} &\maroonC3 \\ 2& 4 \\ 2& 5 \end{array}\right] et B=[13222451]B=\left[\begin{array}{rrrr}{\maroonC1} &3&2&2 \\ \maroonC2& 4&5&1 \end{array}\right]
Si chacune des lignes d'une matrice est constituée de deux éléments, alors cette matrice a deux colonnes. De même, si chacune des colonnes d'une matrice est constituée de deux éléments, alors cette matrice a deux lignes.
Donc, pour que le produit de deux matrices soit défini, il faut que le nombre de colonnes de la première matrice soit égal au nombre de lignes de la deuxième.

À vous !

1) A=[246473]A=\left[\begin{array}{rr}{2} &4 \\ 6& 4 \\ 7& 3 \end{array}\right] et B=[2185]B=\left[\begin{array}{rr}{2} &1 \\ 8& 5 \end{array}\right].
Le produit ABAB est-il défini ?
Réponse :
Réponse :

AA est une matrice 3×23\times \maroonC 2. Elle a 2\maroonC 2 colonnes.
BB est une matrice 2×2\maroonC 2\times 2. Elle a 2\maroonC 2 lignes.
Le nombre de colonnes de la matrice AA est égal au nombre de lignes de la matrice BB, donc le produit ABAB est défini.
2) C=[53616853]C=\left[\begin{array}{rrrr}{5} &3&6&1 \\ 6& 8&5&3 \end{array}\right] et D=[218755]D=\left[\begin{array}{rrrr}{2} &1&8 \\ 7& 5&5 \end{array}\right].
Le produit CDCD est-il défini ?
Réponse :
Réponse :

CC est une matrice 2×42\times \maroonC 4. Elle a 4\maroonC 4 colonnes.
DD est une matrice 2×3\goldD 2\times 3. Elle a 2\goldD 2 lignes.
Le nombre de colonnes de la matrice CC n'est pas égal au nombre de lignes de la matrice DD, donc le produit CDCD n'est pas défini.
3) AA est une matrice 4×24\times 2 et BBune matrice 2×32\times 3.
Le produit ABAB est-il défini ?
Réponse :
Réponse :

Le produit BABA est-il défini ?
Réponse :
Réponse :

Attention à l'ordre des deux matrices du produit.
Pour savoir si la matrice produit ABAB est définie, on regarde le nombre de colonnes de la matrice AA et le nombre de lignes de la matrice BB.
  • AA est une matrice 4×24\times \maroonC 2. Elle a 2\maroonC 2 colonnes.
  • BB est une matrice 2×3\maroonC 2\times 3. Elle a 2\maroonC 2 lignes.
Le nombre de colonnes de la matrice AA est égal au nombre de lignes de la matrice BB, donc le produit ABAB est défini.
Pour savoir si la matrice produit BABA est définie, on regarde le nombre de colonnes de la matrice BB et le nombre de lignes de la matrice AA.
  • BB est une matrice 2×32\times \maroonC 3. Elle a 3\maroonC 3 colonnes.
  • AA est une matrice 4×2\goldD 4\times 2. Elle a 2\goldD 2 lignes.
Le nombre de colonnes de la matrice BB n'est pas égal au nombre de lignes de la matrice AA, donc le produit BABA n'est pas défini.

Dimension de la matrice produit

La matrice produit d'une matrice m×n\blueD m\times \maroonC n par une matrice n×k\maroonC n\times \goldD k est une matrice m×k\blueD m\times \goldD k.
Soit la matrice ABAB, avec A=[132425]A=\left[\begin{array}{rr}{1} &3 \\ 2& 4 \\ 2& 5 \end{array}\right] et B=[13222451]B=\left[\begin{array}{rrrr}{1} &3&2&2 \\ 2& 4&5&1 \end{array}\right].
AA est une matrice 3×2\blueD3\times\maroonC2, elle a 2\maroonC2 colnnes. BB est une matrice 2×4\maroonC2\times\goldD4, elle a 2\maroonC2 lignes. Donc la matrice produit ABAB est définie.
Pour calculer la matrice produit ABAB, on calcule les produits scalaire de chacun des vecteurs associés aux lignes de la matrice AA et de chacun des vecteurs associés aux colonnes de la matrice BB. Donc le nombre de lignes de la matrice ABAB est le même que celui de la matrice AA qui est une matrice 3×2\blueD3\times\maroonC2, donc qui a 3\blueD3 lignes. Et le nombre de colonnes de la matrice ABAB est le même que celui de la matrice BB qui est une matrice 2×4\maroonC2\times\goldD4, donc qui a 4\goldD4 colonnes. La matrice ABAB est donc une matrice 3×4\blueD3\times \goldD4.

A vous !

4) A=[246473]A=\left[\begin{array}{rr}{2} &4 \\ 6& 4 \\ 7& 3 \end{array}\right] et B=[2185]B=\left[\begin{array}{rr}{2} &1 \\ 8& 5 \end{array}\right].
Quelle est la dimension de la matrice ABAB ?
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 66
  • une fraction simplifiée telle que 3/53/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/47/4
  • un nombre fractionnaire, comme 1 3/41\ 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,750{,}75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi12\ \text{pi} ou 2/3 pi2/3\ \text{pi}
×\times
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 66
  • une fraction simplifiée telle que 3/53/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/47/4
  • un nombre fractionnaire, comme 1 3/41\ 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,750{,}75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi12\ \text{pi} ou 2/3 pi2/3\ \text{pi}

A=[246473]A=\left[\begin{array}{rr}{2} &4 \\ 6& 4 \\ 7& 3 \end{array}\right] est une matrice 3×23\times 2.
B=[2185]B=\left[\begin{array}{rr}{2} &1 \\ 8& 5 \end{array}\right] est une matrice 2×22\times 2.
Donc ABAB est une matrice 3×23\times 2.
5) C=[431672]C=\left[\begin{array}{rr}{4} &3&1 \\ 6&7& 2 \end{array}\right] et D=[314]D=\left[\begin{array}{r}{3}\\ 1 \\ 4 \end{array}\right].
Quelle est la dimension de la matrice CDCD ?
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 66
  • une fraction simplifiée telle que 3/53/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/47/4
  • un nombre fractionnaire, comme 1 3/41\ 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,750{,}75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi12\ \text{pi} ou 2/3 pi2/3\ \text{pi}
×\times
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 66
  • une fraction simplifiée telle que 3/53/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/47/4
  • un nombre fractionnaire, comme 1 3/41\ 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,750{,}75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi12\ \text{pi} ou 2/3 pi2/3\ \text{pi}

C=[431672]C=\left[\begin{array}{rr}{4} &3&1 \\ 6&7& 2 \end{array}\right] est une matrice 2×32\times 3.
D=[314]D=\left[\begin{array}{r}{3}\\ 1 \\ 4 \end{array}\right] est une matrice 3×13\times 1.
6) AA est une matrice 2×32\times 3 et BB est une matrice 3×43\times 4.
Quelle est la dimension de la matrice ABAB ?
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 66
  • une fraction simplifiée telle que 3/53/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/47/4
  • un nombre fractionnaire, comme 1 3/41\ 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,750{,}75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi12\ \text{pi} ou 2/3 pi2/3\ \text{pi}
×\times
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 66
  • une fraction simplifiée telle que 3/53/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/47/4
  • un nombre fractionnaire, comme 1 3/41\ 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,750{,}75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi12\ \text{pi} ou 2/3 pi2/3\ \text{pi}

Donc ABAB est une matrice 2×42\times 4.
7) XX est une matrice 2×12\times 1 et YY est une matrice 1×21\times 2.
Quelle est la dimension de la matrice XYXY ?
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 66
  • une fraction simplifiée telle que 3/53/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/47/4
  • un nombre fractionnaire, comme 1 3/41\ 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,750{,}75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi12\ \text{pi} ou 2/3 pi2/3\ \text{pi}
×\times
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 66
  • une fraction simplifiée telle que 3/53/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/47/4
  • un nombre fractionnaire, comme 1 3/41\ 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,750{,}75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi12\ \text{pi} ou 2/3 pi2/3\ \text{pi}

Donc XYXY est une matrice 2×22\times 2.
Chargement