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Algèbre

Cours : Algèbre > Chapitre 20 

Leçon 9: Les propriétés de la multiplication matricielle
Mathématiques
Algèbre
Les matrices
Les propriétés de la multiplication matricielle
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La condition pour que soit défini le produit de deux matrices

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Le produit de deux matrices n'est défini que si le nombre de colonnes de la deuxième matrice est égal au nombre de lignes de la première et le produit d'une matrice (n,m) par une matrice (m,p) est une matrice (n,p).

Prérequis :

Une matrice est un tableau de nombres qui comporte des lignes et des colonnes. Chacun de ces nombres est un élément ou un coefficient de la matrice.
Par définition si une matrice a m lignes et n colonnes, elle est dite de dimension m, ×, n (dans cet ordre). La matrice A a 2 lignes et 3 colonnes, donc elle est de dimension 2, times, 3. On dit aussi que c'est une matrice 2, ×, 3.
Éventuellement, reportez-vous à la leçon Qu'est-ce qu'une matrice ?.
Chacun des éléments de la matrice produit est le produit scalaire du vecteur associé à l'une des lignes de la première matrice et du vecteur associé à l'une des colonnes de la deuxième matrice.
Si nécessaire, reportez-vous à la leçon Multiplier deux matrices.

Le sujet traité

Cette leçon porte sur la condition qui doit être satisfaite par les deux matrices pour que leur produit soit défini et sur la dimension de la matrice produit.

A quelle condition le produit de deux matrices est-il défini ?

Pour que le produit de deux matrices soit défini, il faut que le nombre de colonnes de la première matrice soit égal au nombre de lignes de la deuxième.
Voici l'explication sur un exemple :
A=[132425]A=\left[\begin{array}{rr}{1} &3 \\ 2& 4 \\ 2& 5 \end{array}\right] et B=[13222451]B=\left[\begin{array}{rrrr}{1} &3&2&2 \\ 2& 4&5&1 \end{array}\right]
Chacun des éléments de la matrice produit A, B est égal au produit scalaire du vecteur associé à une ligne de la matrice A et du vecteur associé à une colonne de la matrice B. Il faut donc que les lignes de la matrice A aient le même nombre d'éléments que les colonnes de la matrice B.
A=[132425]A=\left[\begin{array}{rr}{\maroonC1} &\maroonC3 \\ 2& 4 \\ 2& 5 \end{array}\right] et B=[13222451]B=\left[\begin{array}{rrrr}{\maroonC1} &3&2&2 \\ \maroonC2& 4&5&1 \end{array}\right]
Si chacune des lignes d'une matrice est constituée de deux éléments, alors cette matrice a deux colonnes. De même, si chacune des colonnes d'une matrice est constituée de deux éléments, alors cette matrice a deux lignes.
Donc, pour que le produit de deux matrices soit défini, il faut que le nombre de colonnes de la première matrice soit égal au nombre de lignes de la deuxième.

À vous !

1) A=[246473]A=\left[\begin{array}{rr}{2} &4 \\ 6& 4 \\ 7& 3 \end{array}\right] et B=[2185]B=\left[\begin{array}{rr}{2} &1 \\ 8& 5 \end{array}\right].
Le produit A, B est-il défini ?
Choisissez une seule réponse :

2) C=[53616853]C=\left[\begin{array}{rrrr}{5} &3&6&1 \\ 6& 8&5&3 \end{array}\right] et D=[218755]D=\left[\begin{array}{rrrr}{2} &1&8 \\ 7& 5&5 \end{array}\right].
Le produit C, D est-il défini ?
Choisissez une seule réponse :

3) A est une matrice 4, times, 2 et Bune matrice 2, times, 3.
Le produit A, B est-il défini ?
Choisissez une seule réponse :

Le produit B, A est-il défini ?
Choisissez une seule réponse :

Dimension de la matrice produit

La matrice produit d'une matrice start color #11accd, m, end color #11accd, times, start color #ed5fa6, n, end color #ed5fa6 par une matrice start color #ed5fa6, n, end color #ed5fa6, times, start color #e07d10, k, end color #e07d10 est une matrice start color #11accd, m, end color #11accd, times, start color #e07d10, k, end color #e07d10.
Soit la matrice A, B, avec A=[132425]A=\left[\begin{array}{rr}{1} &3 \\ 2& 4 \\ 2& 5 \end{array}\right] et B=[13222451]B=\left[\begin{array}{rrrr}{1} &3&2&2 \\ 2& 4&5&1 \end{array}\right].
A est une matrice start color #11accd, 3, end color #11accd, times, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, elle a start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6 colnnes. B est une matrice start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, times, start color #e07d10, 4, end color #e07d10, elle a start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6 lignes. Donc la matrice produit A, B est définie.
Pour calculer la matrice produit A, B, on calcule les produits scalaire de chacun des vecteurs associés aux lignes de la matrice A et de chacun des vecteurs associés aux colonnes de la matrice B. Donc le nombre de lignes de la matrice A, B est le même que celui de la matrice A qui est une matrice start color #11accd, 3, end color #11accd, times, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, donc qui a start color #11accd, 3, end color #11accd lignes. Et le nombre de colonnes de la matrice A, B est le même que celui de la matrice B qui est une matrice start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, times, start color #e07d10, 4, end color #e07d10, donc qui a start color #e07d10, 4, end color #e07d10 colonnes. La matrice A, B est donc une matrice start color #11accd, 3, end color #11accd, times, start color #e07d10, 4, end color #e07d10.

À vous !

4) A=[246473]A=\left[\begin{array}{rr}{2} &4 \\ 6& 4 \\ 7& 3 \end{array}\right] et B=[2185]B=\left[\begin{array}{rr}{2} &1 \\ 8& 5 \end{array}\right].
Quelle est la dimension de la matrice A, B ?
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
times
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

5) C=[431672]C=\left[\begin{array}{rr}{4} &3&1 \\ 6&7& 2 \end{array}\right] et D=[314]D=\left[\begin{array}{r}{3}\\ 1 \\ 4 \end{array}\right].
Quelle est la dimension de la matrice C, D ?
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
times
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

6) A est une matrice 2, times, 3 et B est une matrice 3, times, 4.
Quelle est la dimension de la matrice A, B ?
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
times
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

7) X est une matrice 2, times, 1 et Y est une matrice 1, times, 2.
Quelle est la dimension de la matrice X, Y ?
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
times
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

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