Les propriétés de la multiplication matricielle

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Les propriétés de la multiplication matricielle

AA, BB et CC sont des matrices n×nn\times n , II est la matrice identité de dimension n×nn\times n et OO est la matrice nulle de dimension n×nn\times n.
PropriétéExemple
La multiplication matricielle n’est pas commutative\small{\red{\text{n'est pas commutative}}}ABBAAB\neq BA
La multiplication matricielle est associativeQuelles que soient AA, BB et CC, (AB)C=A(BC)(AB)C=A(BC)
La multiplication matricielle est distributive sur l'additionQuelles que soient AA, BB et CC, A(B+C)=AB+ACA(B+C)=AB+AC
(B+C)A=BA+CA(B+C)A=BA+CA
La matrice identité II est élément neutre pour la multiplicationQuelle que soit la matrice AA, IA=AIA=A et AI=AAI=A
La matrice produit d'une matrice par le matrice nulle est la matrice nulleQuelle que soit la matrice, OA=OO A=O and AO=OAO=O
Dimension de la matrice produitLa matrice produit d'une matrice m×nm\times n et d'une matrice n×kn\times k est une matrice m×km\times k.
On va examiner ces propriétés l'une après l'autre.

Prérequis :

Chacun des éléments de la matrice produit est le produit scalaire du vecteur associé à l'une des lignes de la première matrice et du vecteur associé à l'une des colonnes de la deuxième matrice.
Si nécessaire, reportez-vous à la leçon Multiplier deux matrices.
et aux leçons :

La multiplication matricielle n'est pas commutative

La différence majeure entre la multiplication dans l'ensemble des matrices et la multiplication dans l'ensemble des réels est que la multiplication dans l'ensemble des matrices n'est pas commutative.
Donc il n'est pas vrai que quelles que soient les matrices AA et BB, la matrice produit A×BA×B est égale à la matrice B×AB×A.

Vérifiez-le vous même !

Si par exemple,
A=[3412]A=\left[\begin{array}{rr}{3} &4 \\ 1&2 \end{array}\right] \quad B=[6232]B=\left[\begin{array}{rr}{6} &2 \\ 3& 2 \end{array}\right]
Les deux matrices produit sont différentes. A×BB×AA×B\neq B×A, donc la multiplication matricielle n'est pas commutative.
Mise à part cette différence, les propriétés de la multiplication dans l'ensemble des matrices sont analogues aux propriétés de la multiplication dans l'ensemble des réels.

La multiplication matricielle est associative : quelles que soient les matrices AA, BB et CC, (A×B)×C=A×(B×C)(A×B)×C=A×(B×C)

On peut regrouper comme l'on veut les matrices à multiplier.
On peut d'abord multiplier les matrices AA et BB puis multiplier le résultat par la matrice CC, ou d'abord multiplier les matrices BB et CC puis multiplier le résultat par la matrice AA,
Mais attention, il ne faut pas modifier l'ordre des matrices du produit puisque la multiplication n'est pas commutative.

La distributivité de la multiplication sur l'addition

C'est la même propriété que celle la multiplication dans l'ensemble des réels.
  • Quelles que soient les matrices AA, BB et CC, A(B+C)=AB+ACA(B+C)=AB+AC
  • Quelles que soient les matrices AA, BB et CC, (B+C)A=BA+CA(B+C)A=BA+CA
Attention à bien respecter l'ordre des facteurs, c'est-à-dire à multiplier chacune des matrices de la somme B+CB+C par la matrice AA, soit à gauche, soit à droite.

L'élément neutre de la multiplication matricielle

La matrice identité de dimension n×nn\times n, notée InI_n, est une matrice carrée de nn lignes et nn colonnes. Tous les éléments de sa diagonale sont égaux à 11 et tous les autres éléments sont égaux à00.
Par exemple :
I2=[1001]I3=[100010001]I4=[1000010000100001]I_2=\left[\begin{array}{rr}{1} &0 \\ 0& 1 \end{array}\right]\quad I_3=\left[\begin{array}{rr}{1} &0 &0 \\ 0& 1&0\\0&0&1 \end{array}\right]\quad I_4=\left[\begin{array}{rr}{1} &0 &0&0 \\ 0& 1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1 \end{array}\right]
Quelle que soit la matrice AA de dimension n×nn\times n, si on la multiplie, à droite ou à gauche par la matrice InI_n, on obtient la matrice AA elle-même. Quelle que soit la matrice AA, A×I=I×A=AA\times I=I\times A=A.
Dans l'ensemble des réels, quel que soit aa, a×1=aa\times 1=a et 1×a=a1\times a=a. Le rôle de la matrice identité InI_n dans l'ensemble des matrices n×nn\times n est le même que celui de 11 dans l'ensemble des réels.

Multiplication par la matrice nulle

Une matrice nulle est une matrice dont tous les éléments sont égaux à 00. Par exemple, la matrice nulle de dimension 3×33\times 3 est la matrice O3×3=[000000000] O_{3\times 3}=\left[\begin{array}{rrr}0 & 0&0 \\ 0 & 0&0 \\ 0 & 0&0 \end{array}\right].
Dans toute la suite on désignera la matrice nulle par OO. Si nécessaire, on peut mettre sa dimension en indice.
Quelle que soit la matriceAA de dimension n×nn\times n, la matrice produit de la matrice AA par la matrice nulle de dimension n×nn\times n est la matrice nulle de dimension n×nn\times n. Quelle que soit AA, A×O=O×A=OA\times O=O\times A=O.
Dans l'ensemble des réels, quel que soit aa, a×0=0a\times 0=0 et 0×a=00\times a=0. Le rôle de la matrice nulle dans l'ensemble des matrices n×nn\times n est le même que celui de 00 dans l'ensemble des réels.

Dimensions des matrices du produit et dimension de la matrice produit

Rappel :
  1. Pour que le produit de deux matrices soit défini, il faut que le nombre de colonnes de la première matrice soit égal au nombre de lignes de la deuxième.
  2. Si la matrice produit existe, elle a le même nombre de lignes que la première matrice et le même nombre de colonnes que la deuxième.
Par exemple, si AA est une matrice 3×2\blueD3\times \maroonC2 et BB une matrice 2×4\maroonC2\times \goldD4 matrix, alors
  • La matrice produit ABAB est définie.
  • ABAB est une matrice 3×4\blueD3\times \goldD4.

À vous !

Voici des exercices dans lesquels il faut appliquer ces propriétés.
Dans les trois exercices, AA, BB et CC sont des matrices 2×22\times 2 et OO est la matrice nulle de dimension 2×22\times 2 .
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