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La multiplication matricielle est-elle commutative ?

Transcription de la vidéo

dans cette vidéo on va revenir un petit peu sur le produit de deux matrices et on va se poser cette question qui est assez importante est-ce que la multiplication de deux matrices et commutative ou pas c'est à dire que si on prend deux matrices a et b est ce que à x b va être égal à b x a donc est ce que l'ordre dans lequel on fait la multiplication va avoir de l'importance alors on va commencer par revenir un petit peu à la manière dont on avait défini le produit de deux matrices je vais prendre une première matrice à et je vais la x une deuxième matrice b ce qu'on avait dit c'est que cette multiplication là étaient bien définis quand le nombre de colonnes de cette première matrice coïncidait avec le nombre de lignes de la deuxième matrix c'est à dire qu'ici je vais prendre une matrice par exemple d'ordre np et puis ici une matrice d'ordre paix m dans ce cas là je peux effectivement définir le produit de ces deux matrices puisque le nombre de colonnes de la matrice à coïncide avec le nombre de lignes de la matrice p est ce que j'obtiens dans ce cas là c'est une troisième matrice c'est qui va avoir une ligne et ème colonne elle ligne m colonnes voilà alors je t'engage à revenir sur les vidéos où on a effectivement définit comment calculer le produit de cette sénatrice ce qu'on va faire ici c'est juste demandé est-ce qu'on peut inverser ce produit là est ce qu'on peut est ce qu'on peut faire la multiplication dans l'autre sens c'est à dire est-ce que je peux écrire la multiplication dans cet ordre la becquée donc une matrice à p ligne ème colonne x à qui est une matrice à une ligne p colonnes mais en fait dans ce cas là tout simplement je ne peux pas définir le produit de ces matrices puisque le nombre de colonies 6ème de la première matrice ne coïncide pas avec le nombre n 2 lignes de la deuxième matrice donc ce produit là n'est pas défini n'est pas défini voilà ça répond en partie à la question en général la multiplication de deux matrices n'est pas commutative puisqu'en général on peut tout simplement pas faire la multiplication dans les deux ordres alors on peut quand même poussé l'étude un petit peu plus loin c'est à dire que si je prends une matrice à andy et paix colonnes par exemple que je multiplie par une matrice paix qui est cette fois ci une matrice qui ap ligne et n colonnes dans ce cas là je peux les murs pliez entraîne je peux calculer le produit de ces deux matrices puisque le nombre de colonnes de la première matrice coïncide avec le nombre de lignes de la deuxième matrix dans ce cas-là j'obtiens une matrice que je vais appeler encore une fois c'est qui va être une matrice carré d'ordre em donc avec une ligne et une colonne et cette fois ci je peux définir le produit dans l'ordre dans l'autre ordre c'est à dire que je peux exécuter la multiplication de b par a puisque ici b est une matrice ap ligne n colonnes et à est une matrice am lignes et colonnes et ici le nombre de colonnes de la matrice b coïncide avec le nombre de lignes de la matrice a donc je peux effectivement exécuté ce produit alors est ce qu'on obtient ici la même matrice que tout à l'heure en fait dans le cas général non puisque ici ce qu'on obtient c'est une matrice qui va avoir paix ligne ep colonnes donc c'est une matrice d qui est de matrix ap ligne ep colonnes donc en général c'est aider ne sont pas les mêmes donc finalement à x b est différent de b fois à dans ce cas là même si on peut effectivement calculé le produit de ces deux matrices dans les deux ordres alors là encore on n'a pas terminé complètement l'étude parce qu'il nous reste à examiner le cas de deux matrices carré de matrix carré de même ordre donc ça je vais le faire ici si je prends par exemple une matrice à matrice carea d'ordre rennes donc matrix avec une ligne nd colonnes mais que je vais multiplier par une matrice b d'ordre no6 carré d'ordre e n donc avec une ligne n colonnes quand je calcule le produit de ces deux matrices et bien j'obtiens une matrice c'est qui va être une matrice carré d'ordre no6 donc une matrice avec une ligne n colonnes et je peux aussi calculé le produit de ces matrices dans l'ordre inverse d'après ce qu'on a dit tout à l'heure donc je peux tout à fait calculer le produit de la matrice b car est d'ordre n donc avec une ligne en colonnes par la matrice à carhaix d'ordre no6 donc avec une ligne n colonnes est ce que j'obtiens mais pour l'instant je vais supposer que c'est une matrice t qui va avoir ordre n aussi donc une matrice carré d'ordre on n avait qu une ligne n colonnes et maintenant il faut qu'on arrive à déterminer si ces deux matrices sont égales c'est à dire si la matrice et est égal à des dons qu est ce que c est égal à d dans le cas général alors on va tout simplement prendre un contre exemple je vais prendre deux matrices carré d'ordre 2 par exemple je vais prendre d'abord cette matrice la 1 023 que je vais multiplier par la matrice becuwe qui va être disons 2 - 1 0 alors ce que je tenir c'est une matrice carré d'ordre 2 je peux déjà déduire ça et puis pour calculer les éléments de cette matrice et bien je vais exécuter la multiplication ligne par colonne donc je vais d'abord multiplier la première ligne de la première matrice par la première colonne de la deuxième matrix et ça ça va me donner le premier élément qui va être ici donc on va le faire c'est un x 2 + 0 x 0 c'est à dire en fait un x 2 ça fait deux donc ici j'ai mon premier élément qui est deux ensuite je vais multiplier la première ligne de la première matrice par la deuxième colonne de la deuxième matrix ça me donne un foie - c'est-à-dire moins 1 + 0 x 1 c'est à dire en tout - et ça ça me donne l'élément de la première ligne 2e colonnes de la matrice produits ensuite pour trouver l'élément qui est ici sur la deuxième ligne première colonne et bien je vais multiplier la deuxième ligne de ma première matrice par la première colonne de la deuxième matrix donc ça me donne deux fois 2 4 + 3 x 0 donc 4 ici j'ai 4 et puis pour terminé le dernier élément qu'est là je vais multiplier la deuxième ligne de ma première matrice par la deuxième colonne de la deuxième matrix donc ça me donne deux fois moins 1 c'est-à-dire moins 2 + 3 x 1 c'est à dire 3 donc moins de +3 c'est égal à 1 voilà donc là j'ai calculé le produit à foix b2 mais deux matrices maintenant je vais calculé le produit de ces deux matrices dans l'autre ordre donc je vais calculé le produit dans cet ordre là c'est à dire d'abord la première matrice de 0 - 1 1 x la deuxième matrix 1 023 et je vais faire ça exactement de la même manière donc ça va me donner une matrice d'ordre deux carrés d'ordre 2 et pour trouver le premier élément je vais multiplier cette première ligne par cette première colonne donc deux fois 1 ça fait deux - 1 x 2 - 2 donc 2 - 2 ici j'ai 1 0 ensuite pour cet élément là je vais multiplier la première ligne par la deuxième colonne ici ça me donne deux fois 0 c'est-à-dire 0 - 1 x 3 c'est-à-dire moins trois donc ici j'ai 1 - 3 en fait je vais continuer les calculs quand même mais on peut déjà répondre à notre question on voit bien qu ici cette matrice là et cette matrice là ne vont pas être les mêmes je vais quand même continuer le travail pour trouver cet élément là je vais prendre la preuve la deuxième ligne par don de ma première matrice que je vais multiplier par la première colonne 0 fois ça fait zéro une fois de ça fait deux donc je l'obtiens zéro + 2 c'est-à-dire 2 ensuite le dernier élément celui là et bien je l'obtiens faisant la multiplication de cette ligne par cette colonne 0 x 0 ça fait zéro + 1 x 3 ça fait 3 donc ici j'obtiens 1 3 donc ici j'ai multiplié à x b et j'obtiens cette matrice là que j'appelle c'est ici j'ai multiplié b par à et j'obtiens cette matrice là qui est pas du tout la même c'est une matrice que j'appelle des du coup ce qu'on peut en déduire ici c'est que à x b est différent de beffroi à donc ça c'est un contre exemple mais ce contre exemple suffit à dire à répondre à la question qu'on s'est posée la multiplication de deux matrices en général n'est pas commutative