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Préambule à la méthode de factorisation d'un trinôme du second degré en décomposant le terme en x

Ce préambule pour comprendre d'où vient la méthode pour factoriser un trinôme quand le coefficient du terme du second degré est différent de 1.

Prérequis

Factoriser un polynôme c'est l'écrire sous forme d'un produit.
Reportez-vous, si nécessaire, à la leçon Factoriser un polynôme si ses termes ont des facteurs communs.

Le sujet traité

Cette leçon est une introduction à une méthode qui permet de factoriser certains trinômes de la forme ax2+bx+c si a1. Le but est que vous compreniez d'où vient cette méthode.

Exemple 1 : Factoriser 2x2+8x+3x+12

Les termes de 2x2+8x+3x+12 n'ont pas de facteur commun. L'idée est de regrouper d'une part les deux premiers termes, d'autre part les deux derniers termes et de les factoriser séparément. On les regroupe en utilisant des parenthèses :
(2x2+8x)+(3x+12)
On met 2x en facteur dans les deux premiers termes et on met 3 en facteur dans les deux derniers termes :
2x(x+4)+3(x+4)
Maintenant, on peut mettre x+4 en facteur :
2x(x+4)+3(x+4)=(x+4)(2x+3)
On a factorisé le polynôme ! Pour vérifier qu'il n'y a pas d'erreur, on peut effectuer le produit obtenu.

Exemple 2 : Factoriser 3x2+6x+4x+8

Voici un deuxième exemple traité.
=3x2+6x+4x+8=(3x2+6x)+(4x+8)=3x(x+2)+4(x+2)=3x(x+2)+4(x+2)=(x+2)(3x+4) 
3x2+10x+8=(x+2)(3x+4).

À vous !

1) Factoriser 9x2+6x+12x+8.
Choisissez une seule réponse :

2) Factoriser 5x2+10x+2x+4.
 

3) Factoriser 8x2+6x+4x+3.
 

Exemple 3 : Factoriser 3x26x4x+8

Voici un cas où les coefficients des termes en x sont négatifs.
Voici les étapes de la factorisation de 3x26x4x+8.
0=3x26x4x+8(1)=(3x26x)+(4x+8)(2)=3x(x2)+(4)(x2)(3)=3x(x2)4(x2)(4)=3x(x2)4(x2)(5)=(x2)(3x4)
Donc 3x26x4x+8=(x2)(3x4). Pour vérifier, on peut effectuer le produit.
Voici les réponses aux deux questions que vous vous posez peut-être...
Pourquoi ce signe "+" entre les deux parenthèses qui n'existe pas dans le polynôme donné ?
À l'étape (1), on a mis un signe "+" entre (3x26x) et (4x+8). De cette façon la deuxième parenthèse contient bien le troisième terme du polynôme qui est (4x) et le quatrième terme.
Écrire que 3x26x4x+8 est égal à (3x26x)(4x+8) aurait été une erreur. Car (3x26x)(4x+8)=3x26x4x8, et ce polynôme n'est pas égal au polynôme donné.
Pourquoi mettre 4 en facteur plutôt que 4 ?
À l'étape (2), on a mis 4 en facteur de façon à obtenir le facteur commun (x2). Si on avait mis 4 en facteur, on aurait obtenu :
(3x26x)+(4x+8)=3x(x2)+4(x+2)
Attention à ne pas faire d'erreur si le coefficient du terme en x est négatif !

À vous !

4) Factoriser 2x23x4x+6.
Choisissez une seule réponse :

5) Factoriser 3x2+3x10x10.
 

6) Factoriser 3x2+6xx2.
 

Un dernier exercice

7) Factoriser 2x3+10x2+3x+15.
 

Peut-on toujours factoriser de cette façon ?

La réponse est non, car il faut que les termes qui sont entre parenthèses aient un facteur commun.
Par exemple, on peut factoriser ainsi 3x2+9x+2x+6 car 3x2+9x et 2x+6 ont un facteur commun :
(3x2+9x)+(2x+6)=3x(x+3)+2(x+3)
Mais pas 2x2+3x+4x+12, car 2x2+3x et 4x+12 n'ont pas de facteur commun :
(2x2+3x)+(4x+12)=x(2x+3)+4(x+3)

Pour factoriser un trinôme du second degré on peut toujours décomposer astucieusement le terme en x.

Par exemple, on peut décomposer le terme en x du trinôme 2x2+7x+3 de la façon suivante :
2x2+7x+3=2x2+1x+6x+3
Puis en déduire facilement que 2x2+1x+6x+3=(x+3)(2x+1).
Ceci fera l'objet d'une autre leçon.

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