Trouver les racines d'un polynôme 3

bonjour alors on va continuer notre travail sur les polynôme donc gse polynôme p 2 x qui est donnée par cette expression là en fait c'est un produit le produit d'un polynôme de degré 4 ici celui ci par un polynôme 2° un élevée au carré c'est une forme qui est donc non développés et pour la développer il faudrait développer ce carré déjà 3 x -8 élevée au carré ça nous donnerait quelque chose avec 9 x au carré le carré de 3 x ensuite il faudrait développer ça donc on aurait un terme qui serait 9,6 au carré x 3 x puissance 4 tu veux dire que ce polynôme là c'est un polynôme 2° 6 même si ça ne se voit pas tout de suite c'est quand même intéressant de savoir repérer le degré d' un polynôme bon ici notre objectif ça va être de trouver les valeurs qui annule ce paulino autrement dit on va essayer de résoudre cette équation la paix 2 x égalisé on va donc trop cherché les valeurs réelles de la variable x qui annule ce polinum donc je vais préciser sa x est un nombre réel c'est pas un nombre complexe alors une autre manière de dire c'est qu'on va chercher les racines réels de ceux polinum donc pour faire ça il faut arriver à factoriser complètement le polynôme puisque quand j'ai un produit à x b qui est égal à zéro et bien ce produit là n'était gallas ne peut être égal à zéro que si à égal à zéro ou b égal à zéro donc si on factories le plus possible le polynôme p on va pouvoir trouver les solutions donc trouver les racines de ce polinum alors je vais enlever de ça et maintenant le but c'est donc de factoriser complètement ce polynôme alors je te laisse réfléchir un petit peu mais la vidéo sur pause et ensuite on le fera ensemble donc le polynôme p c'est un produit déjà et ici on voit que ce terme là 3x -8 le tout est élevée au carré ça c'est complètement factoriser donc c'est très bien par contre ce qu'il faut qu'on arrive à faire c'est un factoriser ce terme se polynôme la 2° 4 donc celui ci je vais leur écrire là c'est 3 x puissance 4 - 8 x au cube plus 15 x + 40 donc on va essayer de factoriser ça est bon en général c'est pas du tout facile de factoriser apolline au 2° 4 donc il faut se débrouiller soit en trouvant un facteur commun mais ici je n'en vois aucun ou alors l'autre possibilité c'est de faire des regroupements qui vont être intéressants c'est ce que je vais faire ici je vais commencer par factoriser quelque chose dans ces deux termes là et puis ensuite par factoriser quelque chose dans ces deux termes je l'utilisais un petit peu à l'aveuglette mais bon je vais commencer par faire comme ça on verra bien ce que ça donne dans cette partie là dans ces deux termes là je peux mettre en facteur ici j'ai un x puissance 4 ici à 10 puissance 3 donc je peux mettre en facteur x puissance 3 et je vais avoir donc ici 3x -8 à ça c'est assez intéressant puisque on retrouve ici ce terme 3 x - 8 qui est déjà dans le bolide homme paie donc ça c'est pas mal ensuite je vais m'occuper de ces deux termes là et ici j'ai 15 x la g40 donc je peux mettre en facteurs le nombre 15,5 pardon donc je vais faire comme ça 5 et il me reste ici 3x à je me suis trompé tout à l'heure recopions le polynôme il faut faire attention ici c'est pas plus 40 1 c'est moins 40 que je voulais écrire - 40 et du coup là quand je factories 5 j'obtiens cinq facteurs de 3x -8 3 x mobile et donc on retrouve encore une fois ce facteur 3 x -8 donc je vais factoriser ça encore je vais mettre le terme 3 x - 8 au facteur cette parenthèse là donc le faire comme ça 3x -8 et puis il va me rester x occupe ici + 5 + 5 voilà et là j'ai factoriser complètement ce polynôme de degré 4 donc maintenant je vais réécrire cette équation la pdx égal à zéro mais en remplaçant paix par l'expression factoriser que j'ai déterminé donc déjà il ya ce polinum de degré 4 que je vais remplacer par son expression que je viens de trouver 3 x - huit facteurs de xo cube x au cube pardon plus cinq facteurs de cette partie là 3x -8 que j'aurais écrit ici 3x -8 élevée au carré donc finalement les valeurs que je cherche elle doit satisfaire cette équation là alors je peux même la réécrire un petit peu mieux puisque ici j'ai 3 x -8 et là aussi 36.8 donc je vais la réécrire comme ça je vais abandonner les couleurs on n'a plus vraiment besoin ça va être x au cube plus cinq facteurs de 3x -8 au cube égal à zéro et donc pour que ça se soit vrai il faut que x au cube +5 soit égal à zéro ou que 3 x -8 élevé au cube est levée au cube soit égal à zéro alors cette première partie là elle nous donne x au cube égal à moins 5 alors est-ce qu'un cube peut être négatif et oui effectivement moins élevé à la puissance 3 eh bien ça fait moins 20 moins de élevé à la puissance 3 fait moins 8 enfin contrairement aux quarts aile qui sont toujours positifs les cubes peuvent être négatif donc là on fait ce qu'on va faire c'est prendre la racine cubique deux mois 5 x est égale à la racine cubique de -5 ça c'est donc un nombre si tu veux on peut le calculer on va le faire avec la calculatrice alors je vais prendre la racine cubique donc je vais écrire 5 je vais prendre la racine cubique de moissac ça c'est moins 5 je vais prendre sa racine public c'est comme ça alors racine cubique ces puissances un tiers donc il faut que je joue vraie parenthèse pour saisir l'exposant donc voilà je ferme la parenthèse et j'ai bien ici moins cinq puissances un tiers c'est donc racine cubique de -5 et ça nous donne moins 1,70 99 et c'est donc en fait x ici est égale environ à moins à 1,71 est ce que c'est bien ça - 1,71 c'est ça ça c'est donc une première racine ici x égales - 1,71 c'est une solution de cette équation p 2 x égal à zéro ce qui veut dire que si tu remplaces x par cette valeur dans l'expression de paix eh bien tu trouveras 0 alors maintenant on va examiner l'autre possibilité c'est que 3 x -8 élevé à la puissance 3 soit égal à zéro alors ça c'est vrai si et seulement si 3x -8 est égal à zéro c'est à dire 6 3 x est égal à 8 ou encore 6 x est égal à 8 hier j'ai juste dit viser les deux membres par trois et j'obtiens cette deuxième racines ici x égale 8 hier et là j'ai déterminé toutes les racines réel du polynôme paix c'est à dire toutes les solutions réelles de l'équation p 2 x égal 0