If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Si vous avez un filtre web, veuillez vous assurer que les domaines *. kastatic.org et *. kasandbox.org sont autorisés.

Contenu principal

Transcription de la vidéo

dans cette vidéo on va étudier le théorème fondamental de l'algèbre alors s'ils ont des voeux mais aujourd'hui on aurait probablement choisi quelque chose d'un peu différemment parce que tout d'abord il n'est pas si fondamental que ça vu qu'il ne parle que des polynômes et l'algèbre c'est bien plus que les polynôme aujourd'hui mais à l'époque c'est ce qui avait le plus important est ensuite et là on pinaille à un peu mais ce n'est pas exactement ce qu'on peut appeler un théorème car il n'y a pas de démonstration purement algébrique de cet énoncé donc voici le théorème fondamental de l'algèbre et pourquoi est il aussi important bah c'est parce qu'il permet d'étudier les racines d'un polynôme et trouvé des racines d'un polinum c'est quelque chose qui nous intéresse beaucoup et donc là j'ai été la forme générale d'ims polynôme p 2 x est égal à à 1 10m x x puissance n + et cetera jusqu'à plus à un 10 1 x x plus le terme constant à 0 donc là on a un peu linum 2° n est ce qu'on dit sur ce plénum 2° nc qu'il peut se factoriser ainsi on a en un produit d'un certain nombre de de polinum du premier degré fois une constante cas ici donc ici j'ai une constante reali cas que je multiplie par combien de polinum du premier degré lorsque je factories complètement cette expression eh bien je je il ya un produit de haine polynôme du premier degré et cette formulation du théorème fondamental de l'algèbre permet réellement de voir l'application qui ont découlent c'est lorsqu'on passe de la forme générale à la forme factoriser eh bien on sait qu'on va faire apparaître n facteur est donc en faisant apparaître des facteurs cela veut dire que le polynôme aen racines de r1 r2 r3 jusqu'à rn sont tous racines du polynôme gare par exemple ici si je remplace x par r1 et bien j'aurai r1 - r1 qui fait zéro et donc j'aurai 0 fois quelque chose qui me donnera 0 donc ce sera bien une solution à l'équation p 2 x est égal à zéro donc ici on a bien r1 jusqu'à rn qui sont toutes des racines alors il faut faire attention ses racines peuvent être non en réel on peut avoir des racines complexes qui font apparaître un un imaginaire une partie imaginaire qui dépasse 0 et aussi il faut faire attention que ses racines ne sont pas forcément distinctes ça veut dire qu une racine peut apparaître plusieurs fois par exemple ici on pourra avoir r1 et r2 qui sont tous les deux égaux à 1 donc un est une racine qui a une on va dire qu'il ya une multiplicité 2 ça veut dire qu'elle apparaît deux fois dans la forme factoriser de p 2 x très bien donc maintenant passons à un exemple pour mieux comprendre cette histoire alors ici je vais représenter 3 polynôme la représentation graphique de 3 polinum donc d'abord un premier qui est x carré - 1 donc je vais me limiter à des polynômes du second degré car tu les connais bien et pour illustrer le théorème autant choisir des exemples assez simple donc x carré - 1 ensuite je vais prendre tout simplement x carré et jack est égal mais bien de réécrire y est égal à x carré est finalement un troisième une troisième parabole ou là j' y est égal à x car est plus un alors pour la première part à bâle donc on a un polynôme du second degré est la question que je vais te poser c'est est-ce que c'est cohérent avec le théorème fondamental de l'algèbre c'est à dire qu'est ce que c'est pauline hommes qui sont tous des polygones du second degré et ce qu'ils ont chacun bien de racine alors on va voir pour le premier oui c'est assez évident parce que là même un camp visuellement les on les voit les deux racines les deux racines sont moins 1 et 1 - 1 et 1 sont tous les deux les solutions de l'équation x carré - 1 est égal à zéro donc ce paulino a bien de racine et là on se retrouve dans le cas particulier où on a deux racines réels c'est à dire que la partie imaginaire de ces nombres est égal à zéro on a moins 1 + 0 ici et un plus gros ici donc on est dans le cas particulier de racine réel alors ici y est égal à x carré donc là on a une racine parce que ici on voit bien qu'on a une racine réel qui est qui et 0 la solution de l'équation x carré égal zéro à une seule racines dont à une seule solution donc là tu ne diras mais du coup ce n'est pas ce n'est pas cohérent avec le théorème fondamental de l'algèbre messi car on peut réécrire x carré comme ça x carré est égal à x - 0 x x - 0 et là on voit que la racine 0 donc racine 0 l à une multiplicité 2l apparaître deux fois donc il faut faire attention à cette histoire de multiplicité il ya certaines racines qui peuvent apparaître deux fois donc là on a une racine réel mais qui apparaît deux fois lorsqu'on écrit la forme factoriser 2x carré très bien et finalement on a y est égal à x car est plus sain alors là tu me diras mais ça ne compte même pas l'ex dx donc on n'a pas de donc il n'ya pas de racines alors tu as raison si on se cantonnait au domaine d'airelles effectivement c'est ce polynôme n'a pas de racines réel mais l'équation exquis arrêt +1 est égal à zéro donc qu'ils aient la même chose que x car est égal à -1 et bien là si tu as étudié les nombres complexes tu sais qu' il y a deux solutions non réels qui sont x est égal à 1 et x est égal à moins et donc on a bien de racine nom réel mais qui appartiennent bien au domaine des complexes et on a dit qu'il faut faire attention parce que les racines peuvent être complexes est quelque chose de très important c'est que lorsqu'il y a une racine complexe elle ne vient jamais tout seul les racines complexe viennent toujours en terre donc si x 6 x est une racine le conjuguer 2x est une racine aussi donc x qui peut s'écrire a + b i ou à et la partie réelle et b la partie imaginaire ca plus pays et solutions alors à - pays qui est le conjuguer de a + b i am - béhi et solutions également donc voilà en résumé le théorème de l'algèbre dit qu'un polinum 2° n à andy sin complexe si on prend en compte la multiplicité et un point important que j'ai ajouté à la fin c'est que lorsqu'il y a une racine complexe elle ne vient jamais tout seul les racines complexe viennent en perd six s'il existe une racine complexes sont conjugués est une racine également