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Nombre et types de racines d'un polynôme

Il s'agit de vérifier le théorème fondamental de l'algèbre dans le cas d'un polynôme de degré 7. Créé par Sal Khan.

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Transcription de la vidéo

dans cette vidéo je vais m'assurer que tu as bien compris le théorème un fondamental de l'algèbre jusqu'au bout en l'appliquant un polynôme 2 degrés cette nuit là tu as bien vu qu'on a un polynôme de degré 7 car c'est l'exposant du terme a- en l'exposant le plus élevé alors première question qui est vraiment l'application directe du théorème de l'algèbre d2x à combien de racine distinctes au minimum et au maximum alors lire les racines de paix de x donc c'est le nombre de solution à l'équation p 2 x est égal à zéro etc on sait qu'au maximum on en a 7 ça c'est ce que nous dit le terme fondamental de l'algèbre on a autant de racine que le degré du polydôme par contre parmi ses racines il y en a qui peuvent se répéter plusieurs fois et on peut même aller jusqu'à une seule racines qui se répète cette fois comme par exemple lorsqu'on a tout les coefficients talent de b à h qui sont égales à zéro et dans ce cas là il nous reste que ax puissance cette expulsion set a seulement une racine qui est zéro et qu'ils répètent cette fois donc voilà on a on peut avoir entre une et cette racine distinctes alors maintenant c'est là que ça devient intéressant on te dis qu'on peut écrire un polynôme de degré 7 sous cette forme 3 polinum 2° 2 et un polynôme du premier degré en fait cette propriété n'est pas propre polinum de degré 7 faisons attention c'est c'est pour n'importe quel degré en fait on peut on peut factoriser en autant de polinum 2° 2 que que l'on peut et à la fin si on a un polynôme 2° un père et on rajoute un peu le degré 1 à la fin par exemple un polynôme 2° 8 ce sera le produit 2,4 polynôme 2° 2 et un polynôme 2° 9,4 polinum de degré de et un polynôme du premier degré alors et cette forme factoriser suivante elle nous garantit que on garde que des coefficients réel on peut écrire tout polinum ce sous la forme d'un fonds d'un produit de polinum 2° 2 tout en garantissant toujours qu'on va garder des coefficients à réel et du coup ça ça nous permet de faire apparaître le type de racine qu'on peut obtenir lorsque maintenant voilà la question de en faisant référence aux discriminant de chacun de ses pôles y nomme 2° 2 combien de racines de chaque type réelle et non réelle peut-on obtenir alors on voit que on va avoir trois discriminant on a un premier polinum qui va nous donner un premier discriminant delta 1 1 2e polinum de 2e degré qui va nous donner un discriminant delta 2 et on va avoir un troisième discriminant pour pour ce troisième polinum du du deuxième degré et là il nous reste un polynôme du premier degré pour lequel on sait déjà que la racine sera égal à - b / à ce sera réelle parce que la solution à l'équation expulse b est égal à zéro et un cx est égal à moins d sera donc là on a déjà une racine réel qui est moins b sera donc là on a on est déjà sûr que ici on va avoir une racine réel alors maintenant quid des des racines qui vont être déduite des autres polynôme qu'on a ici eh ben il va dépendre du sind chacun d'eux c'est discriminant et là je pense que tu comment savoir où est-ce que ça mène cette histoire est que et ça devrait évoquer aussi de pourquoi les racines nom réel viennent toujours pas repères et que et par paire oullins et le conjuguer de l'autre alors regardons maintenant tous les cas possibles premier cas on à delta un delta 2 et delta 3 tous positifs tous positifs ou égal à zéro dans ce cas là on aura que des racines réel incertaine peuvent se répéter si par exemple ici delta 1 est égal à zéro on aura une racine qui se répète deux fois mais on va ignorer cette histoire de multiplicité pour l'instant et on va et on va dire que ces deux on va les traiter comme de racine donc si delta 1 2 et 3 sont tous positifs ou nuls là on obtient en tout on obtient cette racine réel on va faire un tableau d'ailleurs de tous les cas possibles con qu'on obtient donc là on a les racines qui sont toutes réel et les racines qui ne sont pas réels donc combien on en aura dans ce cas là des racines on est libre on en arrache 0 il ya aucun désastre imminent qui est négatif et c'est seulement lorsqu'on a un discriminant négatif qu'on peut obtenir des racines nom réel où on doit faire appel aux nombres imaginaire donc voilà ça c'est le premier cas après on va on va avoir un deuxième cas où un des deltas va être négatif un des delta qui va être négative soit delta ans le delta 2 soit delta 3 et dans ce cas là on va avoir une paire de racine nom réel qui va apparaître par exemple si si delta ii est négatif eh ben ce polinum 2° 2 va nous donner de racine nom réel donc voilà un deuxième cas possibles ou on a deux racines non réelle et non en reste donc 5 de réel donc là je pense que tu vois la forme qu'elle va voir ce tableau il va y avoir encore deux autres possibilités soit on va avoir deux des discriminant qui seront strictement négatif et dans ce cas là on aura cadre racines non réelle et trois racines réels soient tous les discriminant sont négatifs les trois sont strictement négatif et là du coup on va avoir trois paires de racine nom réel qui vont apparaître soit 6 racines nom réel et il nous restera ce ce petit r1 est égal à moimbé sur assad racines réel qui va nous rester obligatoire et donc voilà il ya quatre cas possibles soit sade racines réel 0 nom réel cing réel de noms réels trois réelles quatre noms réels une réelle et sinon réel