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Contenu principal
Heure actuelle :0:00Durée totale :7:12

Transcription de la vidéo

bonjour alors si tu as suivi les dernières vidéos qu'on a fait sur la khan academy tu dois connaître le nom plusieurs techniques différentes pour factoriser un polynôme du second degré alors là dans cette vidéo ce qu'on va faire c'est par reprendre toutes ces techniques mais c'est plutôt voir dans quelles conditions on doit utiliser telle ou telle technique alors ce que je vais faire c'est de donner plusieurs polynôme du second degré et puis on va les factoriser donc je vais commencer par celui ci 6 x au carré + 3 x alors ici c'est un réflexe quand tu as un polynôme quel qu'il soit si tu dois le factoriser une bonne chose c'est de regarder s'il n'y a pas un facteur commun dans tous les termes du polynôme alors effectivement ici le terme 3 x on peut le diviser par 3 x évidemment est en fait 6 x au carré on peut aussi le diviser par 3 x donc j'ai un facteur commun qu'est 3x donc je vais le mettre en facteurs ça va me donner 3 x factor de alors le premier terme ces 6 x o car est divisé par 3 x c'est-à-dire 2 x et puis ensuite j'ai plus le deuxième terme qui est 3 x / 3 x c'est-à-dire 1 voilà et tu vois là on a terminé complètement notre factorisation on a complètement factoriser space polynôme on l'a écrit comme le produit de deux polynôme 2° 1 donc on peut pas aller plus loin alors évidemment tu peux très bien vérifier que tu t'es pas trompé tout simplement en redéveloppant cette expression c'est à dire henry 10 redistribuant le facteur 3 xo2 terme de la parenthèse on va donc avoir 3 x x 2 x qui nous donne bien 6x au carré + 3 x x 1 qui nous donne bien 3 x voilà là on l'a factoriser uniquement en mettant en facteur un facteur commun et ça nous a permis de le factoriser complètement alors maintenant je vais prendre un deuxième polynôme on va prendre par exemple 4x au carré - 4 x - 48 et on va essayer de le factoriser alors ici aussi ce qu'on peut remarquer c'est que tous les termes de ce polynôme sont divisibles par quatre donc j'ai un facteur commun qui est quatre donc je vais le factoriser ça sera toujours ça de pris donc ça va être le polynôme là va être égal à quatre fois alors le premier terme cx au carré le deuxième c'est moins x et puis -48 diviser par quatre ses 12 voilà j'ai déjà factoriser d'une certaine manière mon paulino mais je peux le factoriser peut-être encore plus il faut que j'arrive à factoriser ce polynôme là si c'est possible c'est pas toujours possible mais là on va essayer de le faire et ici je peux pas utiliser les identités remarquables puisque ici j'ai un moins que le terme constant est négatif donc c'est absolument pas une identité remarquable donc je vais utiliser la technique que je connais qui est celle de la somme et des produits c'est à dire que je vais essayer de trouver deux nombres a et b dont le produit est égal aux termes constants donc à moins 12 il faut que je trouve de nombreux a et b tel que à x b soit égal à moins 12 et puis il faut que la somme de ses deux nombres a + b soit égal au coefficient dx qui s'y est alors ici on a moins x en fait c'est moins 1 x donc il faut que à puce b soit égal à -1 donc voilà le produit à x b doit être égale à -12 qui veut dire que a et b forcément ont des signes contraires alors je vais factoriser 12-12 je peux le factoriser déjà c'est peut être une fois 12 donc je peux par exemple prendre à égal à -1 et b égale à 12 et du coup dans ce cas là on aura la somme a + b qui sera égal à -1 +12 -1 +12 ça fait 11 ça fait pas moins un donc ça ça va pas je peux essayer avec à égal 1 et b égal moins 12 dans ce cas là le produit à x b est aussi égal à -12 et la somme c'est un -12 ça fait moins 11 donc ça sera pas égale à -1 donc ça va pas marcher donc ça c'est pas une bonne solution alors je peux essayer 12 ces deux fois six donc je peux prendre par exemple à égal à -2 et b égale à 6 et dans ce cas là la somme a + b sera égal à -2 +6 ce qui est égal à -4 donc ça marche pas alors je peux essayer avec à égal 2 et beghal moins 6 dans ce cas là la somme sera égal à 2 + - 6 ce qui est égal à -4 donc ça ça marche pas non plus alors il me reste à essayer par exemple 12 c'est 3 x 4 donc je vais essayer à égal à -3 et b égal à 4 alors dans ce cas là a + b ça serait égal à - 3 + 4 ce qui est égal à 1 donc ça marche pas je peux essayer avec à égal 3 et b égal moins 4 et dans ce cas là j'aurais a + b qui sera égal à 3 plus ou moins 4 donc 3 - 4 qui est bien égal à 1 donc ça c'est la bonne solution ce qui veut dire que finalement le polynôme qui est entre parenthèses ici on peut le factoriser de cette manière c'est x + 3 x + 3 facteur 2 x - quatre facteurs de x - 4 voilà et du coup si je veux factoriser complètement le polynôme qu'on avait au départ et bien en fait c'est égal à 4 x x + 3 x x - 4 voilà donc ça c'est une technique très efficace on recherche de nombre dont le produit est égal aux termes constants et la somme est égal au coefficient dx alors maintenant on va prendre un troisième polynôme je te propose celui ci 3x au carré plus 30 x + 75 alors ici aussi le réflexe est de ceux d'essayer de trouver un facteur commun est ici le premier terme est divisible par trois le deuxième aussi et le troisième aussi puisque 75 ses 25 x 3 donc je vais déjà m 3 en facteurs donc j'ai trois fois x au carré plus 10x plus 75 / 3 ça fait 25 voilà alors ça c'est assez utile parce que c'est un parent de toute façon en avant vers une factorisation et en plus c'est pas mal parce que le polynôme que tu as dans la parenthèse est quand même un peu plus simple à décoder que celui qui était au dessus alors évidemment ce polynôme là tu peux tout à fait le factoriser en appliquant en utilisant la méthode de la somme et du produit comme tout à l'heure ici tu dois trouver deux nombres a et b tel que à x b est égal aux termes constants donc à 25 et puis a + b doit être égale au coefficient dx donc à 10 et ici c'est assez facile puisque 25 c5 élevée au carré donc c'est 5 fois 5 donc tu peux très bien prendre à égal à 5 et b égale à 5 au 6 1 et dans ce cas là effectivement a + b est égal à 5 + 5 donc à 10 donc ça va marcher et dans ce cas là tu obtiens que le polynôme dans la parenthèse est égal alors je vais factoriser complètement le premier polynôme donc on va avoir trois fois le polynôme qui est dans la parenthèse qui est égal à x + 5 x x + 5 autrement dit notre polynôme de départ et bien on peut l'écrire comme ça c'est trois fois x + 5 au carré et là on l'a complètement factoriser en utilisant la même technique que tout à l'heure mais ici ce qu'on peut remarquer c'est quand on pouvait reconnaître une identité remarquable ici dans le polynôme dans la parenthèse puisqu'on a ici 25 le terme constants et 25 c 5 élevée au carré et puis le coefficient dxy si le disque est là et bien en fait on peut reconnaître que ces deux fois 5 je vais l'écrire ici 10x c'est égal à deux fois 5 x et donc on peut reconnaître qu'en fait le terme qui est ici c'est bien le double produit 2 x et de 5 2 x 5 x x donc on reconnaît ici une identité remarquable on reconnaît qu'en fait le polynôme qui est dans l'appât dans la parenthèse c'est le carré d'une somme c'est le carré de x + 5 au carré donc on peut tout de suite écrire que notre polynôme est bien égale à trois fois x + 5 élevée au carré voilà ça c'est une technique qui est plus mécanique plus rapide il suffit de reconnaître dans le terme constant un carré et dans le coefficient dx le double produit 2 x par le nombre qu'on a élevée au carré et à ce moment là on applique l'identité remarquable en reconnaissant le carré d'une somme