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Algèbre

Cours : Algèbre > Chapitre 9 

Leçon 9: Caractéristiques des fonctions du second degré
Mathématiques
Algèbre
Les équations et les fonctions du second degré
Caractéristiques des fonctions du second degré
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Tracer une parabole

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Comment tracer la parabole représentative d'une fonction du second degré.
La courbe représentative d'une fonction du second degré est une parabole.
Cette leçon traite des méthodes à utiliser pour tracer une parabole selon la forme où est donnée la fonction .

Exemple 1 - La fonction est sous forme canonique

Tracer la parabole d'équation :
y, equals, minus, 2, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, squared, plus, 4
Cette équation est sous forme canonique :
y, equals, start color #e07d10, a, end color #e07d10, left parenthesis, x, minus, start color #11accd, h, end color #11accd, right parenthesis, squared, plus, start color #1fab54, k, end color #1fab54
left parenthesis, start color #11accd, h, end color #11accd, space, ;, start color #1fab54, k, end color #1fab54, right parenthesis est le couple de coordonnées du sommet de la parabole. Ici, ce couple est left parenthesis, minus, 5, space, ;, 4, right parenthesis.
Si a, is greater than, 0, la fonction est convexe sur ℝ, ce qui signifie que la parabole est située au-dessus de chacune de ses tangentes. Si a, is less than, 0, la fonction est concave sur ℝ, ce qui signifie que la parabole est située au-dessous de chacune de ses tangentes. Ici, start color #e07d10, a, end color #e07d10, equals, minus, 2, donc elle est concave.
Voici le début du tracé :
Ébauche du tracé
On détermine les coordonnées d'un autre point de la parabole.
On calcule l'ordonnée du point d'abscisse minus, 4.
y=−2×(−4+5)2+4=−2×12+4=−2+4=2\begin{aligned} y&=-2×(-4+5)^2+4\\\\ &=-2×1^2+4\\\\ &=-2+4\\\\ &=2 \end{aligned}
Un autre point est le point de coordonnées left parenthesis, minus, 4, space, ;, 2, right parenthesis.
La parabole d'équation y, equals, minus, 2, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, squared, minus, 4

Exemple 2 - La fonction n'est pas sous forme canonique

Comment tracer sa parabole représentative ? Voici un exemple :
g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, minus, x, minus, 6
Les solutions de l'équation g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 sont les abscisses des points d'intersection de la parabole avec l'axe des x.
g(x)=x2−x−60=x2−x−60=(x−3)(x+2)\begin{aligned} g(x)&=x^2-x-6 \\\\ 0&=x^2-x-6 \\\\ 0&=(x-3)(x+2) \end{aligned}
Les solutions sont 3 et minus, 2, donc ces points d'intersection sont les points de coordonnées left parenthesis, minus, 2, space, ;, 0, right parenthesis et left parenthesis, 3, space, ;, 0, right parenthesis.
On détermine les coordonnées du sommet de la parabole.
L'abscisse du sommet de la parabole est égale à la demi-somme des abscisses de ses points d'intersection avec l'axe des x.
La demi-somme de minus, 2 et 3 est 0, comma, 5.
On calcule l'ordonnée du sommet.
g(0,5)=(0,5)2−0,5−6=0,25−0,5−6=−6,25\begin{aligned} g(\blueD{0{,}5})&=(\blueD{0{,}5})^2-\blueD{0{,}5}-6 \\\\ &=0{,}25-0{,}5-6 \\\\ &=-6{,}25 \end{aligned}
Le couple de coordonnées du sommet est left parenthesis, 0, comma, 5, space, ;, minus, 6, comma, 25, right parenthesis. Voici le tracé de la parabole.
y, equals, x, squared, minus, x, minus, 6
.

À vous !

Exercice 1
  • Actuelle
Tracer la parabole d'équation :
y, equals, 2, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices :

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