On me demande résoudre une équation du deuxième degré donc avec un x² et un x en plus. je m'explique. 3x² - 9x = 0 Mais comment faire avec le x simple en plus? help me

A Marie Lorette Il faut toujours chercher à factoriser le 1er membre. Ici, on peut mettre 3x en facteur : 3x² - 9x = 3x(x - 3). ab = 0 équivaut à a = 0 ou b = 0 donc 3x(x - 3) = 0 équivaut à 3x = 0 ou x - 3 = 0 ce qui équivaut à x = 0 ou x = 3

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Cours : Algèbre > Chapitre 9

Leçon 3: Résoudre une équation de la forme X² = a

Résoudre une équation de la forme X² = a

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Comment résoudre des équations du type x^2=36 ou (x-2)^2=49.

Prérequis :

Le sujet traité

Jusqu'à présent vous avez résolu des équations du premier degré. Dans ces équations ne figurent que des termes en

x

et des constantes.

Cette leçon est la première d'une série de leçons sur les équations du second degré. Une équation est du second degré s'il y figure au moins un terme en

x^{2}

Voici des exemples d'équations du second degré :

x^{2} = 36

(x - 2)^{2} = 49

2 x^{2} + 3 = 131

La première est de la forme

x^{2} = a^{2}

, la deuxième est de la forme

(x - a)^{2} = b^{2}

et la troisième se ramène à une équation de la forme

x^{2} = a^{2}

. La résolution de ce type d'équation du second degré est simple.

La résolution des équations du type $x^{2} = 36$ ‍

Résoudre l'équation

x^{2} = 36

signifie trouver le ou les nombres dont le carré est $36$ ‍.

On applique le théorème :

x^{2} = a^{2}

équivaut à

x = a

x = - a

Voici la résolution de l'équation :

\begin{aligned} x^{2} = 36 équivaut à x^{2} = 6^{2} \\ x^{2} = 6^{2} équivaut à x = 6 ou x = - 6 \\ les solutions sont x = 6 et x = - 6 ou x = \pm 6 \end{aligned}

Une recommandation et une observation :

Une recommandation‍

Pour résoudre une équation de la forme

x^{2} = a^{2}

, le bon réflexe est d'écrire

x^{2} = a^{2}

équivaut à

x = a

x = - a

Une équation de ce type a deux solutions.

Il est possible d'utiliser le signe $\pm$ ‍

Il y a deux nombres dont le carré est

a^{2}

a

et son opposé

- a

. Dans cet exemple, les deux nombres dont le carré est

36

sont

6

- 6

. Ce sont les deux solutions de l'équation

x^{2} = 36

Le symbole

\pm

est un raccourci commode pour noter deux nombres opposés. Par exemple,

\pm

6

signifie

6

- 6

. On écrira que les solutions de l'équation

x^{2} = 36

sont $\pm$ ‍ $6$ ‍.

À vous !

Exercice 1

Résoudre $x^{2} = 16$ ‍.

x = \pm

Exercice 2

Résoudre $x^{2} = 81$ ‍.

x = \pm

Exercice 3

Les solutions de l'équation $x^{2} = 5$ ‍ sont :

La résolution des équations du type $(x - 2)^{2} = 49$ ‍

Voici une méthode pour résoudre l'équation

(x - 2)^{2} = 49

\begin{aligned} (x - 2)^{2} = 49 & équivaut à (x - 2)^{2} = 7^{2} \\ (x - 2)^{2} = 7^{2} & équivaut à x - 2 = 7 ou x - 2 = - 7 \\ x - 2 = 7 ou x - 2 = - 7 & équivaut à x = 9 ou x = - 5 \end{aligned}

Il y a donc deux solutions $x = 9$ ‍ et $x = - 5$ ‍.

Une recommandation et une observation :

Une recommmandation

Pour résoudre une équation de la forme

X^{2} = a^{2}

, le bon réflexe est d'appliquer le théorème

X^{2} = a^{2}

équivaut à

X = a

X = - a

Une observation

Il y a deux équations du 1er degré à résoudre :

x - 2 = 7

x - 2 = - 7

Il y a deux solutions

x = 9

x = - 5

La vérification :

$x = 9$ ‍	$x = - 5$ ‍
$\begin{aligned} (9 - 2)^{2} & \overset{?}{=} 49 \\ 7^{2} & \overset{?}{=} 49 \\ 49 & \overset{✓}{=} 49 \end{aligned}$ ‍	$\begin{aligned} (- 5 - 2)^{2} & \overset{?}{=} 49 \\ (- 7)^{2} & \overset{?}{=} 49 \\ 49 & \overset{✓}{=} 49 \end{aligned}$ ‍

Dans les deux cas, l'équation est vérifiée, donc elles sont bien, toutes deux, solutions de l'équation.

À vous !

Exercice 4

Les solutions de l'équation $(x + 3)^{2} = 25$ ‍ sont :

Exercice 5

Les solutions de l'équation $(2 x - 1)^{2} = 9$ ‍ sont :

Exercice 6

Les solutions de l'équation $(x - 5)^{2} = 7$ ‍ sont :

Pourquoi ne pas développer pour enlever les parenthèses ?

On reprend l'exemple de l'équation

(x - 2)^{2} = 49

et on développe le carré pour supprimer les parenthèses (comme on le fait d'habitude dans une équation du premier degré).

On obtient :

x^{2} - 4 x + 4 = 49

Et maintenant ? On peut écrire que

x^{2} - 4 x = 45

. Mais ensuite la racine carrée du premier membre est

\sqrt{x^{2} - 4 x}

et on ne peut pas écrire autrement cette racine carrée.

On a réussi -facilement- à résoudre l'équation

(x - 2)^{2} = 49

, alors que l'on ne sait pas (pas encore) résoudre l'équation

x^{2} - 4 x + 4 = 49

. Donc ce n'était pas avisé de développer.

En règle générale, il faut toujours conserver les carrés ou les produits de facteurs dans une équation du second degré.

La résolution des équations du type $2 x^{2} + 3 = 131$ ‍

Cette équation n'est pas sous la forme

x^{2} = a^{2}

, mais on peut la mettre sous cette forme.

Pour cela, on isole

x^{2}

\begin{aligned} 2 x^{2} + 3 & = 131 \\ 2 x^{2} & = 128 \\ x^{2} & = 64 \\ x^{2} & = 8^{2} \\ x & = 8 ou x = - 8 \end{aligned}

À vous !

Exercice 7

Les solutions de l'équation $3 x^{2} - 7 = 5$ ‍ sont :

Exercice 8

Les solutions de l'équation $4 (x - 1)^{2} + 2 = 38$ ‍ sont :

Un dernier exercice

Les solutions de l'équation $x^{2} + 8 x + 16 = 9$ ‍ sont :

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Trier par :

Joanna Rdg
Posté il y a il y a 6 ans. Lien direct vers le message de Joanna Rdg «Dans la dernière équation ... »
Dans la dernière équation à résoudre, x²+8x+16=9, les solutions sont -1 et -7. EN utilisant le discriminant, je tombe sur les mêmes valeurs mais du signe opposé... J'ai seulement fait une erreur de signe avec cette autre technique ? Ou elle n'est pas à choisir pour cet exercice ?
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(2 votes)
Réponse
😊
Posté il y a il y a 6 ans. Lien direct vers le message de 😊 «X(x-3/2)=0 je veux résoud ... »
X(x-3/2)=0 je veux résoudre cette équation et j n'y arrive pas
Bouton qui renvoie à la page de connexionCommentez le post de 😊 «X(x-3/2)=0 je veux résoud ... »
(1 vote)
Réponse
Marie Lorette
Posté il y a il y a 8 ans. Lien direct vers le message de Marie Lorette «On me demande résoudre un ... »
On me demande résoudre une équation du deuxième degré donc avec un x² et un x en plus. je m'explique.
3x² - 9x = 0 Mais comment faire avec le x simple en plus? help me
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(1 vote)
Réponse
- mgdenizet
  Posté il y a il y a 7 ans. Lien direct vers le message de mgdenizet «A Marie Lorette Il faut t ... »
  A Marie Lorette
  Il faut toujours chercher à factoriser le 1er membre. Ici, on peut mettre 3x en facteur :
  3x² - 9x = 3x(x - 3).
  ab = 0 équivaut à a = 0 ou b = 0
  donc 3x(x - 3) = 0 équivaut à 3x = 0 ou x - 3 = 0 ce qui équivaut à x = 0 ou x = 3
  Bouton qui renvoie à la page de connexion
  (3 votes)
Thomas Hua
Posté il y a il y a 6 ans. Lien direct vers le message de Thomas Hua «Merci pour ces exercices ... »
Merci pour ces exercices :D
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(1 vote)
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