Forme canonique d'un trinôme du second degré - ce qu'il faut retenir

Mettre un trinôme du second degré de la forme $x^2+bc+c$x, squared, plus, b, c, plus, c sous forme canonique, c'est l'écrire sous la forme $(x+A)^2+B$left parenthesis, x, plus, A, right parenthesis, squared, plus, B.

Par exemple, la forme canonique du trinôme $x^2+2x+3$x, squared, plus, 2, x, plus, 3 est $(x+1)^2+2$left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, squared, plus, 2. L'avantage est que l'équation $(x+1)^2+2=0$left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, squared, plus, 2, equals, 0 est plus simple à résoudre que l'équation $x^2+2x+3=0$x, squared, plus, 2, x, plus, 3, equals, 0

Pour résoudre cette équation :

On repère que le coefficient du terme en $x$x, $10$10, est le double de $5$5. L'équation s'écrit :

$x^2 + 2×5x$x, squared, plus, 2, ×, 5, x est le début du développement du carré de $x+5$x, plus, 5. L'artifice est d'ajouter et de retrancher $\blueD{25}$start color #11accd, 25, end color #11accd.

On obtient :

Ce qui équivaut à :

$(x+5+1)(x+5-1)=0$left parenthesis, x, plus, 5, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 5, minus, 1, right parenthesis, equals, 0 donc $(x+6)(x+4)=0$left parenthesis, x, plus, 6, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, equals, 0.$\operatorname{}$

On en déduit les solutions de l'équation.

$x=-6$x, equals, minus, 6 et $x=-4$x, equals, minus, 4$\operatorname{}$

Pour résoudre cette équation :

On divise les deux membres de l'équation par le coefficient du terme du second degré.

$\blueD{\dfrac{25}{4}}$start color #11accd, start fraction, 25, divided by, 4, end fraction, end color #11accd est le carré de $\dfrac{5}{2}$start fraction, 5, divided by, 2, end fraction et $5$5 est son double, donc le trinôme est de la forme $a^2+2ab+b^2$a, squared, plus, 2, a, b, plus, b, squared

L'équation sécrit :

Ce qui équivaut à :

On en déduit que

La solution de l'équation est : $x = -\dfrac{5}{2}$x, equals, minus, start fraction, 5, divided by, 2, end fraction

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices :