Forme canonique d'un trinôme du second degré - ce qu'il faut retenir

Mettre un trinôme du second degré de la forme $x^2+bc+c$‍ sous forme canonique, c'est l'écrire sous la forme $(x+A{)}^2+B$‍.

Par exemple, la forme canonique du trinôme $x^2+2x+3$‍ est $(x+1{)}^2+2$‍. L'avantage est que l'équation $(x+1{)}^2+2=0$‍ est plus simple à résoudre que l'équation $x^2+2x+3=0$‍

Pour résoudre cette équation :

On commence par se débarrasser du terme constant, en ajoutant $28$‍ dans les deux membres. L'équation s'écrit :

$x^2+2\times 5x$‍ est le début du développement du carré de $x+5$‍. L'artifice est d'ajouter et de retrancher $25$‍.

On obtient :

Ce qui équivaut à :

$(x+5+1)(x+5-1)=0$‍ donc $(x+6)(x+4)=0$‍.$$‍

On en déduit les solutions de l'équation.

$x=-6$‍ et $x=-4$‍$$‍

Pour résoudre cette équation :

On divise les deux membres de l'équation par le coefficient du terme du second degré.

${\displaystyle \frac{25}{4}}$‍ est le carré de ${\displaystyle \frac{5}{2}}$‍ et $5$‍ est son double, donc le trinôme est de la forme $a^2+2ab+b^2$‍

L'équation sécrit :

Ce qui équivaut à :

On en déduit que

La solution de l'équation est : $x=-{\displaystyle \frac{5}{2}}$‍

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices :