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Algèbre

Cours : Algèbre > Chapitre 9 

Leçon 6: La forme canonique
Mathématiques
Algèbre
Les équations et les fonctions du second degré
La forme canonique
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Mettre un trinôme du second degré sous forme canonique

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Par exemple, si on met le trinôme x²+6x+2 sous forme canonique, c'est-à-dire si on montre que x²+6x+2 = (x+3)²-7, alors la résolution de l'équation x²+6x+2=0 se ramène à celle de l'équation (x+3)²-7=0

Les prérequis

  • Résoudre une équation de la forme X² = a.
  • Résoudre une équation du second degré à l'aide d'une factorisation.

Le sujet traité

Jusqu'à maintenant, nous avons vu comment résoudre des équations du second degré grâce à deux méthodes, relativement simples et efficaces : prendre la racine carrée ou factoriser. Malheureusement, elles ne sont pas toujours applicables.
Cette leçon donne LA solution pour résoudre une équation du second degré quels que soient les coefficients a,b et c.

Résoudre une équation du second degré en utilisant la forme canonique

On considère l'équation x2+6x=−2. On ne peut ni prendre la racine carrée, ni factoriser.
Mais tout espoir n'est pas perdu ! On utilise ici la forme canonique. Voici ce dont il s'agit :
(1)x2+6x+2=0(2)on fait apparaître le carré d’une sommex2+6x+9−9+2=0(3)première identité remarquable(x+3)2−7=0(4)troisième identité remarquable[(x+3)−7][(x+3)+7]=0(5)x+3=±7(6)x=−3±7
Il y a deux solutions x=−3+7 et x=−3−7.

On regarde de plus près

À la ligne (2), on a ajouté et retranché 9. Ceci permet de faire apparaître x2+6x+9 qui est le développement du carré de (x+3). On obtient, à la ligne (3), (x+3)2−7. Or, 7 est le carré de racine de 7, donc on a fait apparaître une différence de deux carrés que l'on peut factoriser. (x+3)2−7 s'appelle la forme canonique du trinôme x2+6x+9.
Ce n'est bien sûr pas par hasard que l'on a choisi d'ajouter et de retrancher 9. C'était en vue de mettre en évidence le développement du carré d'une somme.

Le choix du nombre à ajouter et retrancher

Si on a choisi le nombre 9 c'est parce que x2+6x est le début du développement du carré de x+3. En effet (x+3)2=x2+6x+9.
On peut poser le problème d'une autre façon. On peut se demander quelle doit être la valeur de a pour que x2+6x+a2=x2+2ax+a2=(x+a)2. De cette égalité on déduit que :
  1. 2a=6, donc a=3.
  2. Le nombre qu'il faut ajouter à x2+6x est a2, c'est-à-dire 32=9.
À vous !
Exercice 1
Quel nombre faut-il ajouter à x2+10x pour obtenir le développement du carré d'une somme ?
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

Exercice 2
Quel nombre faut-il ajouter à x2−2x pour obtenir le développement du carré d'une différence ?
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

Exercice 3
Quel nombre faut-il ajouter à x2+12x pour obtenir le développement du carré d'une somme ?
  • Votre réponse doit être
  • une fraction simplifiée telle que 3/5

Un dernier exercice
Quel nombre faut-il ajouter à x2+b×x pour obtenir le développement du carré d'une somme ?
Choisissez une seule réponse :

Remarque. On peut en déduire une formule. Pour mettre le trinôme x2+bx sous forme canonique, il faut ajouter et retrancher (b2)2.
Par exemple, pour mettre x2+6x sous forme canonique, on ajoute et on retranche (62)2=9.

Un dernier exemple

Le voici :
Soit à résoudre l'équation x2−10x+12=0.
(1)x2−10x+12=0(2)On fait apparaître le carré d’une différencex2−10x+25−25+12=0(3)deuxième identité remarquable(x−5)2−13=0(4)troisième identité remarquable[(x−5)−13][(x−5)+13]=0(5)x−5=±13(6)x=5±13
x2−10x est le début du développement du carré de x−5, donc à la ligne (2) on a ajouté et retranché 25 qui est le carré de 5.
On a obtenu (x−5)2−13. Or, 13 est le carré de racine de 13, donc on a fait apparaître une différence de deux carrés, facile à factoriser.
À vous !
Exercice 4
Les solutions de l'équation x2−8x=5 sont :
Choisissez une seule réponse :

Exercice 5
Les solutions de l'équation x2+3x=−14 sont :
Choisissez une seule réponse :

Deux règles à observer

Règle 1 : D'abord écrire l'équation sous la forme ax2+bx+c=0

Par exemple, soit l'équation x2+5x−6=x+1.
(1)x2+5x−6=x+1(2)équivaut àx2+4x−6=1(3)équivaut àx2+4x−7=0(4)on fait apparaître le carré d’une somme :(x2+4x+4)−4−7=0(5)mise sous forme canonique :(x+2)2−11=0(6)factorisation :[(x+2)+11][(x+2)−11]=0(7)x+2=±11(8)x=−2±11
Si on entreprend de mettre en évidence un carré dans le premier membre et que dans l'autre membre il y a des termes en x, la méthode ne marchera pas.
Il faut toujours commencer par mettre l'équation sous la forme ax2+bx+c=0.

Règle 2 : Diviser éventuellement tous les termes par a pour que le coefficient de x2 soit égal à 1.

Soit l'équation 3x2−36x=−42.
(1)3x2−36x+42=0(2)équivaut à x2−12x+14=0(3)équivaut àx2−12x+36−36+14=0(4)mise sous forme canonique(x−6)2−22=0(5)factorisation[(x−6)−22][(x−6)+22]=0(6)x−6=±22(7)x=6±22
Cette méthode ne fonctionne que si le coefficient de x2 est 1.
C’est pourquoi à la ligne (2) on a divisé par 3 qui est le coefficient de x2.
Bien sûr, parfois cette division par le coefficient de x2 fait apparaître des fractions.
A vous !
Exercice 6
Les solutions de l'équation 4x2+20x−3=0 sont :
Choisissez une seule réponse :

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  • blobby green style l'avatar de l’utilisateur amaryllis.swann
    Posté il y a il y a 6 ans. Lien direct vers le message de amaryllis.swann «Je ne comprends pas la rè ... »
    Je ne comprends pas la règle n°2.
    (4 votes)
    Default Khan Academy avatar l'avatar de l’utilisateur
    • mr pants purple style l'avatar de l’utilisateur Michael
      Posté il y a il y a 9 mois. Lien direct vers le message de Michael «Avec cette méthode, on pa ... »
      Avec cette méthode, on part d'un trinôme et on cherche à obtenir une forme du type (x + a)² ou (x - a)².

      Or, si on voulait faire l'opération en sens inverse, on obtiendrait un trinôme dont le facteur de x² serait 1:

      (x + a)² = 1x² + 2ax + a²
      ou
      (x - a)² = 1x² - 2ax + a²

      Voilà pourquoi la Règle nº2 nous dit de diviser tous les termes du trinôme de façon a obtenir un facteur de 1 pour le terme au carré, tel que:

      (1) 3x² - 93x + 14 = 0
      (2) 3x²/3 - 93x/3 + 14/3 = 0
      (3) 1x² - 31x + 14/3 = 0

      Qu'on pourra ensuite factoriser avec la méthode décrite dans ce cour. Et là ou les méthodes précédentes n'auraient pas marché avec n'importe quel trinôme, là, j'ai pris des valeurs au pif, parce que ça marchera avec tous les trinômes.

      Si je ne me suis pas planté, la solution de cet exemple serait:
      (x - 31)² - 2827/12 = 0
      Donc:
      x = sqrt(2827/12) - 31 || x = -sqrt(2827/12) - 31
      (2 votes)
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