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Algèbre
Cours : Algèbre > Chapitre 9
Leçon 6: La forme canonique- La forme canonique
- Mettre un trinôme du second degré sous forme canonique
- Calcul de la valeur de c si x² - 44x + c est le carré d'une somme
- Forme canonique d'un trinôme du second degré 1
- Écrire un trinôme du second degré sous forme canonique
- Résoudre une équation du second degré après avoir mis le trinôme sous forme canonique
- Forme canonique d'un trinôme du second degré 2
- Utiliser la forme canonique 2
- La forme canonique
- Utiliser la forme canonique 3
- Forme canonique d'un trinôme du second degré - ce qu'il faut retenir
Mettre un trinôme du second degré sous forme canonique
Par exemple, si on met le trinôme x²+6x+2 sous forme canonique, c'est-à-dire si on montre que x²+6x+2 = (x+3)²-7, alors la résolution de l'équation x²+6x+2=0 se ramène à celle de l'équation (x+3)²-7=0
Les prérequis
Le sujet traité
Jusqu'à maintenant, nous avons vu comment résoudre des équations du second degré grâce à deux méthodes, relativement simples et efficaces : prendre la racine carrée ou factoriser. Malheureusement, elles ne sont pas toujours applicables.
Cette leçon donne LA solution pour résoudre une équation du second degré quels que soient les coefficients et .
Résoudre une équation du second degré en utilisant la forme canonique
On considère l'équation . On ne peut ni prendre la racine carrée, ni factoriser.
Mais tout espoir n'est pas perdu ! On utilise ici la forme canonique. Voici ce dont il s'agit :
Il y a deux solutions et .
On regarde de plus près
À la ligne , on a ajouté et retranché . Ceci permet de faire apparaître qui est le développement du carré de . On obtient, à la ligne , . Or, est le carré de racine de , donc on a fait apparaître une différence de deux carrés que l'on peut factoriser. s'appelle la forme canonique du trinôme .
Ce n'est bien sûr pas par hasard que l'on a choisi d'ajouter et de retrancher . C'était en vue de mettre en évidence le développement du carré d'une somme.
Le choix du nombre à ajouter et retrancher
Si on a choisi le nombre c'est parce que est le début du développement du carré de . En effet .
On peut poser le problème d'une autre façon. On peut se demander quelle doit être la valeur de pour que . De cette égalité on déduit que :
, donc .- Le nombre qu'il faut ajouter à
est , c'est-à-dire .
À vous !
Remarque. On peut en déduire une formule. Pour mettre le trinôme sous forme canonique, il faut ajouter et retrancher .
Par exemple, pour mettre sous forme canonique, on ajoute et on retranche .
Un dernier exemple
Le voici :
Soit à résoudre l'équation .
On a obtenu . Or, est le carré de racine de , donc on a fait apparaître une différence de deux carrés, facile à factoriser.
À vous !
Deux règles à observer
Règle 1 : D'abord écrire l'équation sous la forme
Par exemple, soit l'équation .
Si on entreprend de mettre en évidence un carré dans le premier membre et que dans l'autre membre il y a des termes en , la méthode ne marchera pas.
Il faut toujours commencer par mettre l'équation sous la forme .
Règle 2 : Diviser éventuellement tous les termes par pour que le coefficient de soit égal à .
Soit l'équation .
Cette méthode ne fonctionne que si le coefficient de est .
C’est pourquoi à la ligne on a divisé par qui est le coefficient de .
Bien sûr, parfois cette division par le coefficient de fait apparaître des fractions.
A vous !
Vous souhaitez rejoindre la discussion ?
- Je ne comprends pas la règle n°2.(4 votes)
- Avec cette méthode, on part d'un trinôme et on cherche à obtenir une forme du type (x + a)² ou (x - a)².
Or, si on voulait faire l'opération en sens inverse, on obtiendrait un trinôme dont le facteur de x² serait 1:
(x + a)² = 1x² + 2ax + a²
ou
(x - a)² = 1x² - 2ax + a²
Voilà pourquoi la Règle nº2 nous dit de diviser tous les termes du trinôme de façon a obtenir un facteur de 1 pour le terme au carré, tel que:
(1) 3x² - 93x + 14 = 0
(2) 3x²/3 - 93x/3 + 14/3 = 0
(3) 1x² - 31x + 14/3 = 0
Qu'on pourra ensuite factoriser avec la méthode décrite dans ce cour. Et là ou les méthodes précédentes n'auraient pas marché avec n'importe quel trinôme, là, j'ai pris des valeurs au pif, parce que ça marchera avec tous les trinômes.
Si je ne me suis pas planté, la solution de cet exemple serait:
(x - 31)² - 2827/12 = 0
Donc:
x = sqrt(2827/12) - 31 || x = -sqrt(2827/12) - 31(2 votes)