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Algèbre

Cours : Algèbre > Chapitre 9 

Leçon 7: La formule des racines d'un polynôme du second degré
Mathématiques
Algèbre
Les équations et les fonctions du second degré
La formule des racines d'un polynôme du second degré
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Le discriminant d'un trinôme du second degré

Google Classroom
Tout ce qu'il faut comprendre et retenir à propos du discriminant.

Rappel

La formule
x, equals, start fraction, minus, start color #e07d10, b, end color #e07d10, plus minus, square root of, start color #e07d10, b, end color #e07d10, squared, minus, 4, start color #7854ab, a, end color #7854ab, start color #e84d39, c, end color #e84d39, end square root, divided by, 2, start color #7854ab, a, end color #7854ab, end fraction
permet de résoudre l'équation du second degré
start color #7854ab, a, end color #7854ab, x, squared, plus, start color #e07d10, b, end color #e07d10, x, plus, start color #e84d39, c, end color #e84d39, equals, 0

Qu'est-ce que le discriminant ?

b, squared, minus, 4, a, c s'appelle le start color #e07d10, start text, d, i, s, c, r, i, m, i, n, a, n, t, end text, end color #e07d10 du trinôme a, x, squared, plus, b, x, plus, c. C'est l'expression qui est sous le radical dans la formule des racines.
x, equals, start fraction, minus, b, plus minus, square root of, start color #e07d10, b, squared, minus, 4, a, c, end color #e07d10, end square root, divided by, 2, a, end fraction
Il peut être positif, nul ou négatif. Il suffit de connaître son signe pour connaître le nombre de racines réelles de l'équation a, x, squared, plus, b, x, plus, c, equals, 0.
  • Si le discriminant est positif, l'équation a, x, squared, plus, b, x, plus, c, equals, 0 a deux racines réelles distinctes.
  • Si le discriminant est égal à 0, l'équation a, x, squared, plus, b, x, plus, c, equals, 0 a une racine réelle double.
  • Si le discriminant est négatif, l'équation a, x, squared, plus, b, x, plus, c, equals, 0 n'a pas de racine réelle.
La vidéo.

Exemple

Combien cette équation a-t-elle de racines réelles ?
6, x, squared, plus, 10, x, minus, 1, equals, 0
On identifie les coefficients :
  • a, equals, 6
  • b, equals, 10
  • c, equals, minus, 1
On calcule le discriminant :
b2−4ac=102−4×6×(−1)=100+24=124\begin{aligned} &b^2-4ac\\\\ =&10^2-4×6×(-1)\\\\ =&100+24\\\\ =&124 \end{aligned}
Il est positif donc l'équation a deux racines réelles distinctes.
On peut le vérifier graphiquement.
La parabole représentative de la fonction x, ↦, 6, x, squared, plus, 10, x, minus, 1
La parabole représentative de la fonction x, ↦, 6, x, squared, plus, 10, x, minus, 1 a bien deux points d'intersection avec l'axe des abscisses.

À vous !

Exercice 1
  • Actuelle
P, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, squared, plus, 24, x, plus, 48
Calculer le discriminant de P, left parenthesis, x, right parenthesis.
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
Quel est le nombre des racines réelles de l'équation P, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0, question mark
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

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