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Algèbre

Cours : Algèbre > Chapitre 9 

Leçon 7: La formule des racines d'un polynôme du second degré
Mathématiques
Algèbre
Les équations et les fonctions du second degré
La formule des racines d'un polynôme du second degré
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Bien comprendre la formule

Google Classroom
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Cette leçon porte sur la formule des solutions d'une équation du second degré.
La forme générale d'une équation du second degré est :
a, x, squared, plus, b, x, plus, c, equals, 0 avec a ≠ 0
Cette formule permet de trouver ses solutions, c'est-à-dire les valeurs de x qui vérifient l'égalité.

La formule des racines d'un polynôme du second degré

x, equals, start fraction, minus, b, plus minus, square root of, b, squared, minus, 4, a, c, end square root, divided by, 2, a, end fraction
Vous pouvez tout de suite vous entraîner à l'appliquer en faisant ces exercices :
Résoudre une équation du second degré en utilisant la formule

Exemple

Il faut d'abord identifier les valeurs de a, b et c. La première étape est de s'assurer que l'équation est sous la forme a, x, squared, plus, b, x, plus, c, equals, 0.
Soit l'équation x, squared, plus, 4, x, minus, 21, equals, 0
  • a est le coefficient du terme du second degré, x, squared. Ici a, equals, 1 (a est toujours différent de 0, sinon l'équation ne serait pas du second degré).
  • b est le coefficient du terme du premier degré, x. Ici b, equals, 4.
  • c est le terme constant. Ici c, equals, minus, 21.
On remplace a, b et c par leurs valeurs dans la formule :
x, equals, start fraction, minus, 4, plus minus, square root of, 16, minus, 4, times, 1, times, left parenthesis, minus, 21, right parenthesis, end square root, divided by, 2, end fraction
On obtient :
x=−4±1002=−4±102=−2±5\begin{aligned} x&=\dfrac{-4\pm\sqrt{100}}{2} \\\\ &=\dfrac{-4\pm 10}{2} \\\\ &=-2\pm 5 \end{aligned}
Donc les solutions de l'équation sont 3 et minus, 7.

Que peut-on en déduire ?

Ci-dessous la parabole représentative de la fonction x, ↦, x, squared, plus, 3, x, minus, 4. Les points d'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses sont les solutions de l'équation x, squared, plus, 3, x, minus, 4, equals, 0.
Tracer la courbe représentative de la fonction du second degré
Les solutions de cette équation sont minus, 4 et 1.
Attention, ce serait du temps perdu d'utiliser la formule si le trinôme du second degré est simple à factoriser. Par exemple la formule est totalement inutile pour résoudre l'équation x, squared, minus, 8, x, plus, 16, equals, 0 ou l'équation x, squared, minus, 121, equals, 0 ou même l'équation x, squared, minus, 4, x, plus, 3, equals, 0.
Il faut réserver son utilisation aux cas où la factorisation du trinôme est difficile et fastidieuse.

Exemple 2

Soit à résoudre l'équation :
3, x, squared, plus, 6, x, equals, minus, 10
On l'écrit sous la forme a, x, squared, plus, b, x, plus, c, equals, 0 :
start underbrace, 3, end underbrace, start subscript, a, end subscript, x, squared, plus, start underbrace, 6, end underbrace, start subscript, b, end subscript, x, plus, start underbrace, 10, end underbrace, start subscript, c, end subscript, equals, 0
On applique la formule :
x=−6±62−4×3×102×3=−6±36−1206=−6±−846\begin{aligned} x&=\dfrac{-6\pm\sqrt{6^2-4\times 3\times 10}}{2\times 3} \\\\ &=\dfrac{-6\pm\sqrt{36-120}}{6} \\\\ &=\dfrac{-6\pm\sqrt{-84}}{6} \end{aligned}
Il n'existe pas de nombre réel dont le carré est minus, 84, donc l'équation n'a pas de solution. On peut le vérifier graphiquement. Ci-dessous la parabole représentative de la fonction x, ↦, 3, x, squared, plus, 6, x, plus, 10. Elle n'a pas de point d'intersection avec l'axe des abscisses.
Afficher la courbe représentative sur une calculatrice
Vous voyez que la formule est simple à utiliser !
Vous trouverez d'autres exemples dans les deux vidéos ci-dessous.

Conseils

  • Toujours commencer par mettre l'équation sous la forme: a, x, squared, plus, b, x, plus, c, equals, 0.
  • Il peut être avisé de calculer d'abord b, squared, minus, 4, a, c, car s'il est négatif, il est inutile de continuer puisque qu'il est sûr que l'équation n'a pas de solution réelle.
  • Attention aux erreurs de signe en calculant b, squared, minus, 4, a, c
  • Ne pas oublier le plus, slash, minus afin d'obtenir les DEUX solutions
  • Il faut toujours donner les valeurs exactes des solutions et non des valeurs approchées, donc il ne faut pas calculer la racine carrée à la calculatrice .⁡⁡⁡⁡\operatorname{}\operatorname{}\operatorname{}\operatorname{}

Étape suivante :

Conteneur de vidéo Khan Academy
Using the quadratic formulaVoir la transcription de la vidéo
  • ou celle-ci qui montre comment on a établi la formule :
Conteneur de vidéo Khan Academy
Proof of the quadratic formulaVoir la transcription de la vidéo

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