Démonstration de la formule

La formule

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

permet de résoudre l'équation du second degré

a x^{2} + b x + c = 0

Si vous préférez voir voir la démonstration en vidéo, cliquez ici.

La démonstration

On commence par mettre le trinôme sous

forme canonique

. Si besoin, revoyez cette vidéo : Qu'appelle-t-on la forme canonique ?.

\begin{aligned} a x^{2} + b x + c & = 0 & (1) \\ a x^{2} + b x & = - c & (2) \\ x^{2} + \frac{b}{a} x & = - \frac{c}{a} & (3) \\ x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{b^{2}}{4 a^{2}} & = \frac{b^{2}}{4 a^{2}} - \frac{c}{a} & (4) \\ {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} & = \frac{b^{2}}{4 a^{2}} - \frac{c}{a} & (5) \end{aligned}

On cherche les valeurs de

x

telles que :

\begin{aligned} {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} & = \frac{b^{2}}{4 a^{2}} - \frac{c}{a} & (5) \\ {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} & = \frac{b^{2}}{4 a^{2}} - \frac{4 a c}{4 a^{2}} & (6) \\ {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} & = \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}} & (7) \\ x + \frac{b}{2 a} & = \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{\sqrt{4 a^{2}}} & (8) \\ x + \frac{b}{2 a} & = \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} & (9) \\ x & = - \frac{b}{2 a} \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} & (10) \\ x & = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} & (11) \end{aligned}

Et la formule est démontrée !

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