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Algèbre

Cours : Algèbre > Chapitre 9 

Leçon 7: La formule des racines d'un polynôme du second degré
Mathématiques
Algèbre
Les équations et les fonctions du second degré
La formule des racines d'un polynôme du second degré
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Démonstration de la formule

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La formule
x, equals, start fraction, minus, start color #e07d10, b, end color #e07d10, plus minus, square root of, start color #e07d10, b, end color #e07d10, squared, minus, 4, start color #7854ab, a, end color #7854ab, start color #e84d39, c, end color #e84d39, end square root, divided by, 2, start color #7854ab, a, end color #7854ab, end fraction
permet de résoudre l'équation du second degré
start color #7854ab, a, end color #7854ab, x, squared, plus, start color #e07d10, b, end color #e07d10, x, plus, start color #e84d39, c, end color #e84d39, equals, 0
Si vous préférez voir voir la démonstration en vidéo, cliquez ici.

La démonstration

On commence par mettre le trinôme sous start color #11accd, start text, f, o, r, m, e, space, c, a, n, o, n, i, q, u, e, end text, end color #11accd. Si besoin, revoyez cette vidéo : Qu'appelle-t-on la forme canonique ?.

1 - On met le trinôme sous forme canonique

ax2+bx+c=0(1)ax2+bx=−c(2)x2+bax=−ca(3)x2+bax+b24a2=b24a2−ca(4)(x+b2a)2=b24a2−ca(5)\begin{aligned} \purpleD{a}x^2 + \goldD{b}x + \redD{c} &= 0&(1)\\\\ ax^2+bx&=-c&(2)\\\\ x^2+\dfrac{b}{a}x&=-\dfrac{c}{a}&(3)\\\\ \blueD{x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{b^2}{4a^2}}&\blueD{=\dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac{c}{a}}&(4)\\\\ \blueD{\left (x+\dfrac{b}{2a}\right )^2}&\blueD{=\dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac{c}{a}}&(5) \end{aligned}

2 - On résout l'équation

On cherche les valeurs de x telles que :
(x+b2a)2=b24a2−ca(5)(x+b2a)2=b24a2−4ac4a2(6)(x+b2a)2=b2−4ac4a2(7)x+b2a=±b2−4ac4a2(8)x+b2a=±b2−4ac2a(9)x=−b2a±b2−4ac2a(10)x=−b±b2−4ac2a(11)\begin{aligned} \left (x+\dfrac{b}{2a}\right )^2&=\dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac{c}{a}&(5) \\\\ \left (x+\dfrac{b}{2a}\right )^2&=\dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac{4ac}{4a^2} &(6)\\\\ \left (x+\dfrac{b}{2a}\right )^2&=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}&(7)\\\\ x+\dfrac{b}{2a}&=\pm \dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{\sqrt{4a^2}}&(8)\\\\ x+\dfrac{b}{2a}&=\pm \dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}&(9)\\\\ x&=-\dfrac{b}{2a}\pm \dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}&(10)\\\\ x&=\dfrac{-\goldD{b}\pm\sqrt{\goldD{b}^2-4\purpleD{a}\redD{c}}}{2\purpleD{a}}&(11) \end{aligned}
Et la formule est démontrée !

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