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Comportement d'une fonction rationnelle aux points où elle n'est pas définie

Transcription de la vidéo

f et la fonction définie par eve 2 x et gallix au carré moins de six mois 24 / x au carré plus 10x plus 24 donc c'est une fonction rationnel alors la première chose à faire de toute façon quoi qu'il arrive c'est d'essayer de déterminer son domaine de définition donc pour ça je vais factoriser le dénominateur alors il faut que je trouve de nombre dont le produit est égal à 24 et la somme est égal à 10 alors si je prends 6 et 4 6 x 4 ça fait vingt-quatre et 6 + 4 ça fait 10 donc x au carré plus 10 x + 24 et bien je peux le factoriser comme ça c'est x plus si ce facteur 2 x + 4 voilà donc finalement le domaine de définition de ma fonction il faut que x aux différents de -6 et de -4 donc en fait le domaine de définition cr privé de moins 6 et de -4 et puis maintenant bon je vais lire ce qu'on me demande la fonction f s'annulent tel ans l'une des valeurs de x donné sa courbe at-elle une asymptote verticale ans l'une de ses valeurs peut- on l'a prolongé par continuité en l'une de ses valeurs alors ici on a trois valeurs qui sont données alors je vais travailler un petit peu sur cette fonction puisqu'en général dans le cas d'une fonction rationnels comme celle ci on peut avoir une un symptôme verticale aux endroits où la fonction n'est pas définir donc dans ces deux points là par exemple - 6 et -4 en fait je vais essayer de simplifier cette expression la voilà je sais déjà que le dénominateur je peux l'écrire comme x + 6 facteur 2 x + 4 et je vais essayer de autoriser aussi le numérateur alors là je vais faire la même chose il faut que je trouve deux nombres dont le produit est égal à -24 et la somme est égal à moins 2 alors ici je peux prendre 4 et moins 6 par exemple parce que quatre fois moins six ça fait moins 24 et 4 + - si ça fait bien moins deux donc là je peux écrire ça comme ça c'est donc x - si ce facteur 2 x + 4 ça c'est le numérateur que j'ai factoriser tu vois assez rapidement alors là c'est intéressant parce que on voit qu'il ya un facteur commun au numérateur et le dénominateur donc je peux le simplifier voilà je vais le faire comme ça est ce que j'ai envie d'écrire c'est que ma fonction en fait son expression cx moins 6 sur x + 6 mais il faut que je garde quand même ce domaine de définition là donc ça il faut faire attention parce que il faut quand même tenir compte du fait que x doit être différent de -4 donc ça c'est quand même important alors maintenant quand même ça mais claire pas mal parce que bon déjà je sais que si je cherche une valeur qui va annuler la fonction c'est ça on cherche une valeur dans laquelle la fonction s'annulent eh bien il faut que le numérateur s'annulent donc il faut que x mois ci soit égal à zéro donc que x soit égale à 6 alors ici j'ai sept valeurs laïques segal 6 effectivement dans cette valeur la fonction est égal à zéro alors maintenant j'ai sept valeurs laïques segal moins 6 donc je peux tout de suite dire quand ce point là la courbe va avoir une asymptote verticale donc ici la conclusion c'est que pour x également aussi c'est bien la courbe de la fonction à une asymptote verticale alors il nous reste un point à vérifier x égal moins 4 alors tu vois que ça c'est intéressant parce que pour eric segal -4 la fonction n'est pas défini ma fonction est ce n'est pas défini son expression c'est celle ci mais j'ai réussi en fait enlever cette discontinuité puisque j'ai réussi à exprimer la fonction différemment avec une expression qui est tout à fait défini pour x égal moins 4 ça veut dire que la situation elle est comme ça en fait j'ai mon repère voilà et j'ai la faux la valeur x égal moins 4 qui est ici et en fait ma fonction elle fait quelque chose comme ça alors je dessine n'importe quel courbe mais la courbe de la fonction c'est quelque chose comme ça n'est pas défini en ce point là mais elle repart ensuite donc à juste une discontinuité ici qu'on peut très bien maintenant en ayant exprimé de cette manière là on peut enlever cette discontinuité et pour ça on peut par exemple définir la valeur f de -4 à partir de cette expression là donc ça va être moins 4 - 6 / - 4 + 6 c'est à dire moins 10 sur deux donc moins 5 voilà donc ça ça s'appelle un prolongement par continuité on a une fonction qui au départ n'est pas défini pour x égal moins 4 mais on peut quand même prolonger cette fonction par continuité en ajoutant finalement l'image de -4 qu'on obtient à partir de cette expression là qu'on a simplifié donc pour x égal moins 4 la fonction peut être prolongée par continuité allez on en fait un autre de ce genre là on va faire celui là donc on a une fonction hd finit par h2x égale xo carey + 4 x - 32 sur x au carré - 8 x + 16 alors je vais faire comme tout à l'heure je vais commencer par déterminer le domaine de définition de h donc je vais essayer de factoriser le dénominateur pour déterminer des valeurs interdite éventuelles alors il faut que je trouve de nombre dont le produit est égale à 16 et dont la somme est égal à moins 8 donc ça veut dire que les deux nombres sont de même signe en fait ils sont tous les deux négatifs et je vais prendre moins 4 parce que moins quatre fois moins quatre ça fait 16 et -4 plus -4 ça fait moins 8 donc ici en fait ça veut dire que x au carré - 8 x + 16 je vais le factoriser comme x - 4 au carré x - 4 x x - 4 ce qui veut dire que le domaine de définition de h eh bien il faut que x - 4 soit différente 0 2 x soit différent de 4 donc le domaine de définition cr privé 2,4 alors maintenant je vais faire comme tout à l'heure je vais essayer de factoriser le numérateur pour voir si je peux faire des simplifications ici dans l'expression de h donc voilà je vais écrire en dessous le dénominateur que j'ai factoriser donc cx -4 au carré et puis je vais essayer de factoriser le numérateur alors il faut que je trouve de nombre dans le produit est égal à -32 et la somme est égal à moins 4 donc en fait ce polynôme là je peux le factoriser de cette manière la cx +8 facteur 2 x -4 que tu vois que là comme tout à l'heure on peut simplifier un petit peu notre expression puisque on peut diviser en haut et en bas au numérateur dénominateur par x - 4 c'est ce que je vais faire du coup ici ce que j'obtiens ses x + 8 facteur 2 x - 4 mais bon pour l'instant cette fonction-là est là le domaine de définition donc cr privé de 4 et ce qui se passe ici c'est un petit peu différent que ce qui s'est passé tout à l'heure avec l'autre fonction c'est que cette expression là le même domaine de définition que h donc les deux expressions sont vraiment complètement équivalente alors les valeurs qu'on propose ce qu'on me demande d'étudier cx égal moins 8 et x égale 4 alors pour x égal moins 8 évidemment ma fonction wass annulé puisque dans ce cas là x + 8 le numérateur va ça nul et ça donne moins huit +8 donc ici pour x égal moins huit la fonction est égal à zéro ensuite pour x égale 4 b on est tout à fait dans la situation de tout à l'heure on a une valeur interdite là pour le coup elle est encore interdite dans le cas de cette expression là donc ici la courbe de la fonction va avoir une asymptote verticale ici voilà j'espère que cette vidéo tu auras aider à comprendre un petit peu comment est-ce qu'on peut déterminer les héros d'une fonction les valeurs dans lesquelles elles s'annulent les asymptote verticale s'il y en a et puis surtout de comprendre comment est-ce qu'on peut prolonger une fonction par continuité