If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Si vous avez un filtre web, veuillez vous assurer que les domaines *. kastatic.org et *. kasandbox.org sont autorisés.

Contenu principal
Heure actuelle :0:00Durée totale :11:22

Les asymptotes à la courbe représentative d'une fonction rationnelle

Transcription de la vidéo

bonjour dans cette vidéo on va voir comment est-ce qu'on peut déterminer les asymptote horizontal et vertical d'une fonction rationnel alors ici je te propose une fonction rationnelle fdx égal 3 x carhaix - 18 x - 81 sur 6 x au carré - 54 alors il ya une chose que je considère vraiment comme un réflexe important ce que quand tu as une fonction quelle qu'elle soit la première chose c'est de regarder quand est ce qu'elle est définie donc je vais déjà avant de commencer déterminer son domaine de définition donc il faut que le dénominateur ne s'annule pas alors je vais travailler sur ce dénominateur alors 6 x au carré - 54 je vais factoriser ne 6 donc c'est 6 x x au carré - 9 et là je reconnais une différence de carhaix donc le peut encore factoriser ça me donne 6 x x - 3 x x + 3 voilà de cette manière je trouve les deux valeurs qui annule mon dénominateur donc les deux valeurs pour lesquelles ma fonction n'est pas défini du coup le domaine de définition de cette fonction je vais l'écrire comme ça c'est l'ensemble des nombres réels privé des valeurs moins 3 et 3 voilà ça je te conseille de le faire tout de suite quoi qu'il arrive même si c'est pas demandé c'est vraiment une indication importante qui concerne la fonction alors maintenant on va rentrer dans le vif du sujet on va essayer de déterminer les asymptote horizontale et verticale de cette fonction si elle existe et pour ça évidemment il faut se souvenir de ce qu'on appelle une asymptote est en fait il s'agit de regarder le comportement de la fonction quand on s'approche des bornes du domaine de définition donc d'une part quand la variable tend vers plus ou moins l'infini et puis quand elle tend vers l'une des valeurs interdite de la fonction alors on va commencer par regarder les asymptote horizontale alors les asymptote horizontale et c'est à 70 horizontale en fait celle revient à regarder le comportement de la fonction quand x tend vers plus ou moins l'infini donc en fait on doit regarder en gros la limite quand la valeur absolue de x tend vers plus l'infini donc ça ça veut dire que x temps vers moins l'infini ou plus cela finit donc on regarde la limite de f 2 x 100 x tend vers plus ou moins l'infini il faut que cette limite soit un nombre fini donc il faut pas que cette limite soit plus ou moins l'infini voilà ce nombre là doit être un nombre fini alors je parle de cette limite comme si c'était une seule limite en fait évidemment il ya la limite en plus l'infini et la limite en moins l'infini et les deux ne sont pas forcément également il ya des vidéos sur la khan academy dans lesquels on calcule les limites en plus c'est moins l'infini de fonctions rationnelle je m'engage à les regarder et en fait l'idée principale pour calculer la limite en plus ou moins l'infini d'une fonction rationnelle c'est que en fait cette limite elle est déterminée par le quotient des termes de plus haut degré donc ici le quotient des termes de plus haut degré c'est ce quotient l'a36 au carré sur 6 x au carré donc finalement ici la limite quand x qu'en valeur absolue de x tend vers plus cela fini de f 2 x eh bien ça va être exactement la limite quand valeur absolue de x tend vers plus l'infini de ce quotient l'a36 au carré sur 6 x o car est en quelque sorte ce qui est important n'est au numérateur c'est ce terme dominant ici 3x au carré qui est celui qui va diverger le plus rapidement et au dénominateur il se passe exactement la même chose donc en fait c'est ce quotient là qui déterminent le comportement de notre fonction à l'infini voilà donc là on peut très facilement calculer cette limite puisque 3 x au carré sur 6 x au carré je peux évidemment simplifiée divisé en haut et en bas par ixo carré et donc j'obtiens que cette limite là c'est 3 sur 6 c'est à dire un demi voilà donc ça ça suffit à dire que j'ai une asymptote horizontale en plus l'infini et en moins l'infini qui est pour équation y égale un demi puisque quand x tend vers plus l'infini la fonction s'approche de la valeur 1/2 et quand x temps vers moins l'infini c'est la même chose la fonction s'approche de cette valeur 1/2 alors si tu es pas convaincu par ce que je viens de faire on peut très rapidement le retrouver je vais écrire ça comme ça alors f 2 x en fait je vais la réécrire mais en factories ans en haut et en bas les termes de plus haut degré donc au numérateur je vais factoriser 3x au carré et donc j'aurai 3x au carré facteur de 1 - 18 x sur 3 x au carré - 81 sur 3 x au carré je ferme la parenthèse et puis au dénominateur je vais m en facteur le terme de plus aux deux grecques et 6x au carré et j'aurai donc un -54 sur 6 x au carré alors là on va pas précisément regarder ce qui se passe mais c'est assez facile de voir que ce terme là quand x tend vers plus ou moins l'infini ce terme là tend vers zéro ce terme là tend vers zéro aussi donc cette parenthèse là elle tend vers 1 et puis au dénominateur il se passe exactement la même chose ce terme là dans vers zéro quand x tend vers plus ou moins l'infini et donc cette parenthèse la tend vers un camp x tend vers plus l'infini ce qui fait que finalement tout ce quotient là la limite de tous cette fraction qui est ici et bien c'est un tout cette fraction la tend vers un aussi donc finalement la limite de f2 xc la limite de ce quotient x 1 donc c'est tout simplement la limite de ce quotient la voilà ça c'est vraiment la technique très générale pour calculer la limite en plus ou moins l'infini d'une fonction rationnelle donc retourne voir les vidéos ci c'est pas clair maintenant on va se pencher sur le cas des as en mode vertical alors les asymptote verticale alors en fait on peut avoir une asymptote verticale dans les valeurs ou la fonction n'est pas défini c'est à dire qu'ici on pourrait avoir une asymptote verticale d'équations x égal moins 3 et une autre d'équations x égal 3 donc ça ce sont des candidats possibles il peut pas y avoir des symptômes verticale dans d'autres valeurs que moins 3 et 3 mais ces deux là ne sont pas forcément des asymptote verticale alors pour voir ça je vais transformer ma fonction donc je vais la ré écrire ici fgx et je vais essayer de factoriser le plus possible pour voir si effectivement ces points là sont des points de discontinuité ou de divergence donc où on aura une asymptote alors je vais factoriser le numérateur donc je vais déjà je peux factoriser 3 ça sera plus simple j'aurais 3x au carré - 6 x - 27 / le dénominateur qui est donc 6 x x - 3 je l'écris sous forme factoriser x x + 3 ça c'est exactement ma fonction je vais essayer de factoriser le numérateur alors ici en fait bon tu peux me croire ou tu peux le faire de comme tu préfères il ya plusieurs techniques pour faire ça ici en fait c'est 3 x x - 9 x x + 3 si on redescend peut voir que ça marche x x x a fait x au carré x x 3 ça fait 3 x 10 6 g - 9 x donc finalement je me retrouve avec 3 x 9 x qui est bien mais moins 6 x et puis -9 fois trois on retrouve bien le moins 27 voilà alors au dénominateur rien à faire de spécial g 6 x x - 3 x x + 3 or là il se passe quelque chose d'assez intéressant et d' assez perturbant peut-être pour toi c'est que en fait cette expression là on peut du coup simplifiée diviser le numérateur et le dénominateur par x + 3 donc on peut simplifier par ce terme là et donc on a envie d'écrire que notre fonction elle est égale à 3 x - 9 x 6 x - 3 et en fait c'est pas tout à fait exact de dire ça puisque tu vois que notre fonction de départ elle n'était pas défini pour x égal moins 3 or celle ci elle est tout à fait défini pour x également 1 3 une fois que j'ai fait mais simplification donc c'est cette expression là ne va pas exactement quand je la simplifie elle ne va pas exactement représenter ma fonction f pour avoir exactement ma fonction est il faut que j'écrive ça de cette manière là on va regarder f 2 x qui est défini cette manière là comme 3 x x - 9 sur 6 x x - 3 il faut ajouter cette indication là que c'est pour x pour x différent de moins 3 important de comprendre ça parce que ici on a une fonction f qui est définie par une certaine expression mais qui n'est pas défini pour x également 1 3 et pour x égal 3 cette expression la 3 x x - 9 sur 6 x x - 3 elle est définie pour rixes et galles - 3 donc on peut pas considérer que cette expression là et cette expression la définissent les mêmes fonctions 1 pour que ce soit le cas il faut vraiment préciser que c'est pour x différent de -3 la faune autre fonction n'est pas défini en moins 3 alors maintenant qu'on a fait ce travail là on peut répondre à nos cette question là est ce que c'est de droite sont des as un mode vertical en fait non c'est seulement cette droite claquette une asymptote verticale puisque ici effectivement quand x tend vers la valeur 3,7 fonction la fonction f va tendre vers plus ou moins l'infini je te laisse étudier ça alors que cette valeur x égal moins trois en fait c'est juste un point où la fonction n'est pas définie mais la limite en ce point ci de notre fonction ne va pas être plus ou moins l'infini donc c'est pas une asymptote c'est ce point là x également à 3 est simplement un point de ce qu'on appelle un point de discontinuité voilà alors on m'a répondu à notre notre problématique on a trouvé une asymptote horizontale en plus c'est moins l'infini qui a pour équation y égale un demi et puis une asymptote verticale d'équations x égal 3 alors je vais rapidement faire un petit croquis re parce que évidemment c'est asymptote nous donne une indication sur la courbe représentatives de la fonction mais elles permettent pas de trace est complètement la courbe mais quand même ça donne une indication alors je vais le faire ici donc ici celle axes d y là c'est l'origine et la celac ce dx l'ex des abscisses donc j'ai une asymptote horizontale qui est celle ci équation ig est égale 1 2 me puis j'ai une asymptote verticale d'équations x égal 3 je vais le faire comme ça donc ça c'est une droite d'équations x égal 3 et donc ce que je peux dire d'après ce qu'on vient de voir c'est que quand x temps vers moins l'infini on a notre courbe qui s'approche de cette droite là tu donc peut-être qu'elle fait quelque chose comme ça et puis quand x temps vers 3 eh bien on a une asymptote verticale alors peut-être qu'elle monte comme ça et puis que finalement on a eu notre branche ici par exemple voilà qui s'approche de l'éclat symptô rizon talent quand x tend vers plus là philippe voilà ça c'est vraiment là symptômes verticale alors c'est une possibilité évidemment il va falloir enlever la valeur - 3 puisque ici pour x et galore ça c'est moins trois ici j'aurai un point de discontinuité donc ici la fonction n'est pas défini pour x également à 3 ça pourrait être quelque chose comme ça ou bien ça pourrait être quelque chose comme ça la courbe et s'approche de la droite y égale un demi quand x temps vermont l'infini mais en étant dessous et puis peut-être qu'elle fait quelque chose comme ça voilà elle s'approche de son adaptateur vers tikal quand x temps vers 3 et puis on aura peut-être une branche ici comme ça ou alors ça pourrait être une branche là voilà pour en savoir un peu plus il faudrait évidemment poursuivre l'étude de notre fonction mais ce que nous apporte l'étude des asymptote c'est en fait une des indications sur le comportement de la fonction au board de son ensemble de définition