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Cours : Algèbre > Chapitre 13

Leçon 3: Multiplier ou diviser des fractions rationnelles

Diviser deux fractions rationnelles

La méthode à utiliser pour calculer le quotient de deux fractions rationnelles.

Prérequis :

Une fraction rationnelle est le quotient de deux polynômes. Une fraction rationnelle n'est pas définie si son dénominateur est égal à

0

La méthode pour multiplier deux fractions rationnelles est analogue à celle que l'on utilise pour multiplier deux fractions numériques. On factorise les numérateurs et les dénominateurs des deux fractions, on simplifie par les facteurs communs, puis on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

Reportez-vous éventuellement aux leçons :

Qu'est-ce qu'une fraction rationnelle ?
Simplifier une fraction rationnelle
Multiplier deux fractions rationnelles

Le sujet traité

Cette leçon porte sur le quotient de deux fractions rationnelles.

Diviser une fraction rationnelle par une fraction rationnelle

Pour diviser une fraction numérique par une autre fraction numérique, on multiplie la première fraction par l'inverse de la seconde. Par exemple :

\begin{aligned} \frac{2}{9} \div \frac{8}{3} \\ = \frac{2}{9} \times \frac{3}{8} & on multiplie par l’inverse \\ = \frac{2}{3 \times 3} \times \frac{3}{2 \times 4} \\ = \frac{2}{3 \times 3} \times \frac{3}{2 \times 4} \\ = \frac{1}{12} \end{aligned}

On utilise la même méthode pour diviser une fraction rationnelle par une autre fraction rationnelle.

Exemple 1 : $\frac{3 x^{4}}{4} \div \frac{9 x}{10}$ ‍

\begin{aligned} \frac{3 x^{4}}{4} \div \frac{9 x}{10} \\ = \frac{3 x^{4}}{4} \times \frac{10}{9 x} & on multiplie par l’inverse \\ = \frac{3 \times x \times x^{3}}{2 \times 2} \times \frac{2 \times 5}{3 \times 3 \times x} \\ = \frac{3 \times x \times x^{3}}{2 \times 2} \times \frac{2 \times 5}{3 \times 3 \times x} \\ = \frac{5 x^{3}}{6} \end{aligned}

Il ne faut pas oublier d'exclure les valeurs interdites. Le quotient de deux fractions rationnelles n'est pas défini pour :

les valeurs de la variable pour lesquelles l'une ou l'autre des fractions dont on calcule le quotient n'est pas définie,
les valeurs de la variable pour lesquelles la fraction par laquelle on divise est nulle.

Autrement dit, le quotient

\frac{A}{B} \div \frac{C}{D}

n'est pas défini si

B = 0

C = 0

D = 0

On examine les deux fractions.

$\frac{3 x^{4}}{4}$ ‍ est définie pour tout $x$ ‍ réel.
$\frac{9 x}{10}$ ‍ est définie pour tout $x$ ‍ réel et elle est égale à $0$ ‍ si $x = 0$ ‍.

Donc le quotient des deux fractions est défini si

x \neq 0

Le quotient des deux fractions est $\frac{5 x^{3}}{6}$ ‍ si $x \neq 0$ ‍

À vous !

1) Effectuer :

\frac{3}{10 x^{2}} \div \frac{6}{15 x^{5}} =

x \neq

Exemple 2 : $\frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} + 3 x - 10} \div \frac{x + 3}{x - 5}$ ‍

On multiplie la première fraction par l'inverse de la seconde. On factorise les numérateurs et les dénominateurs des deux fractions. On simplifie par les facteurs communs, puis on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Enfin on exclut les valeurs interdites

\begin{aligned} \frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} + 3 x - 10} \div \frac{x + 3}{x - 5} \\ = \frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} + 3 x - 10} \times \frac{x - 5}{x + 3} \\ = \frac{(x + 3) (x - 2)}{(x + 5) (x - 2)} \times \frac{x - 5}{x + 3} \\ = \frac{(x + 3) (x - 2)}{(x + 5) (x - 2)} \times \frac{(x - 5)}{x + 3} \\ = \frac{x - 5}{x + 5} \end{aligned}

On examine les deux fractions pour déterminer les valeurs interdites.

$\frac{(x + 3) (x - 2)}{(x + 5) (x - 2)}$ ‍ est définie si $x \neq - 5$ ‍ et $x \neq 2$ ‍.
$\frac{x + 3}{x - 5}$ ‍ est définie si $x \neq 5$ ‍ et elle est égale à $0$ ‍ si $x = - 3$ ‍.

Donc le quotient des deux fractions est défini si

x \neq - 5

x \neq - 3

x \neq 2

x \neq 5

On doit écrire les conditions

x \neq 5

x \neq 2

x \neq - 3

, mais il n'est pas nécessaire d'écrire la condition

x \neq - 5

car elle est "visible" puisque le dénominateur du quotient trouvé est

x + 5

$\frac{x - 5}{x + 5}$ ‍ si $x \neq 5$ ‍, $x \neq 2$ ‍ et $x \neq - 3$ ‍

À vous !

2) Effectuer :

\frac{x - 7}{x^{2} - 4} \div \frac{x^{2} - 6 x - 7}{2 x + 4} =

A quelle(s) condition(s) cette fraction existe-t-elle ?

\begin{aligned} \frac{x - 7}{x^{2} - 4} \div \frac{x^{2} - 6 x - 7}{2 x + 4} \\ = \frac{x - 7}{x^{2} - 4} \times \frac{2 x + 4}{x^{2} - 6 x - 7} \\ = \frac{x - 7}{(x - 2) (x + 2)} \times \frac{2 (x + 2)}{(x - 7) (x + 1)} \\ = \frac{x - 7}{(x - 2) (x + 2)} \times \frac{2 (x + 2)}{(x - 7) (x + 1)} \\ = \frac{2}{(x - 2) (x + 1)} \end{aligned}

On examine les deux fractions pour déterminer les valeurs interdites.

$\frac{x - 7}{(x - 2) (x + 2)}$ ‍ est définie si $x \neq 2$ ‍ et $x \neq - 2$ ‍.
$\frac{(x - 7) (x + 1)}{2 (x + 2)}$ ‍ est définie si $x \neq - 2$ ‍ et elle est égale à $0$ ‍ si $x = 7$ ‍ ou $x = 1$ ‍.

Donc le quotient des deux fractions est défini si

x \neq - 2

x \neq - 1

x \neq 2

x \neq 7

3) Effectuer :

\frac{x + 4}{x^{2} - 9} \div \frac{x - 1}{x^{2} - 4 x + 3} =

A quelle(s) condition(s) cette fraction existe-t-elle ?

\begin{aligned} \frac{x + 4}{x^{2} - 9} \div \frac{x - 1}{x^{2} - 4 x + 3} \\ = \frac{x + 4}{x^{2} - 9} \times \frac{x^{2} - 4 x + 3}{x - 1} \\ = \frac{x + 4}{(x + 3) (x - 3)} \times \frac{(x - 1) (x - 3)}{(x - 1)} \\ = \frac{x + 4}{(x + 3) (x - 3)} \times \frac{(x - 1) (x - 3)}{(x - 1)} \\ = \frac{x + 4}{x + 3} \end{aligned}

On examine les deux fractions pour déterminer les valeurs interdites.

$\frac{x + 4}{(x + 3) (x - 3)}$ ‍ est définie si $x \neq - 3$ ‍ et $x \neq 3$ ‍.
$\frac{x - 1}{(x - 3) (x - 1)}$ ‍ est définie si $x \neq 3$ ‍ et $x \neq 1$ ‍.

Donc le quotient des deux fractions est défini si

x \neq - 3

x \neq 1

x \neq 3

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Le sujet traité

Diviser une fraction rationnelle par une fraction rationnelle

Exemple 1 : 3x44÷9x10‍

À vous !

Exemple 2 : x2+x−6x2+3x−10÷x+3x−5‍

À vous !

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Exemple 1 : $\frac{3 x^{4}}{4} \div \frac{9 x}{10}$ ‍

Exemple 2 : $\frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} + 3 x - 10} \div \frac{x + 3}{x - 5}$ ‍