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Algèbre

Cours : Algèbre > Chapitre 13 

Leçon 3: Multiplier ou diviser des fractions rationnelles
Mathématiques
Algèbre
Les fractions rationnelles
Multiplier ou diviser des fractions rationnelles
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Multiplier deux fractions rationnelles

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La méthode à utiliser pour calculer le produit de deux fractions rationnelles.

Prérequis :

Une fraction rationnelle est le quotient de deux polynômes. Une fraction rationnelle n'est pas définie si son dénominateur est égal à 0.
Pour simplifier une fraction rationnelle, on factorise son numérateur et son dénominateur et on simplifie par les facteurs communs.
Reportez-vous éventuellement aux leçons :
  • Qu'est-ce qu'une fraction rationnelle ?
  • Simplifier une fraction rationnelle

Le sujet traité

Cette leçon porte sur le produit de deux fractions rationnelles.

Multiplier deux fractions rationnelles

D'abord, un rappel sur la façon dont on multiplie deux fractions numériques.
Par exemple :
=34×109=32×2×2×53×3=32×2×2×53×3=56\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{3}{4}\times \dfrac{10}{9}\\\\ &=\dfrac{\greenD3}{\blueD2\times 2}\times \dfrac{\blueD2\times 5}{\greenD3\times 3} &&\small{\gray{\text{}}} \\\\ &=\dfrac{\greenD{\cancel{3}}}{\blueD{\cancel{2}}\times 2}\times \dfrac{\blueD{\cancel{2}}\times 5}{\greenD{\cancel{3}}\times 3}&&\small{\gray{\text{}}} \\\\ &=\dfrac{5}{6}&&\small{\gray{\text{}}} \end{aligned}
On a décomposé les numérateurs et les dénominateurs des deux fractions en un produit de facteurs premiers et on a simplifié par les facteurs communs avant de multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

Exemple 1 : start fraction, 3, x, squared, divided by, 2, end fraction, times, start fraction, 2, divided by, 9, x, end fraction

On peut procéder de la même façon que pour les fractions numériques.
=3x22×29x=3×x×x2×23×3×x(si x≠0)=3×x×x2×23×3×x=x3\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{3x^2}{2}\times \dfrac{2}{9x}\\\\\\ &=\dfrac{3\times x\times x}{2}\times \dfrac{2}{3\times 3\times \goldD x}&& \small{\gray{\text{}}}\\ \\ &\quad \small{(\text{si } \goldD{x\neq 0})}\\ \\ \\&=\dfrac{\blueD{\cancel{3}}\times \greenD{\cancel{ x}}\times x}{\purpleC{\cancel{2}}}\times \dfrac{\purpleC{\cancel{2}}}{\blueD{\cancel{ 3}}\times 3\times \greenD{\cancel{ x}}}&& \small{\gray{\text{}}} \\ \\ &=\dfrac{x}{3}&&\small{\gray{\text{}}} \end{aligned}
Attention le produit donné n'est défini que si x, does not equal, 0. Si x, equals, 0, le produit n'existe pas. Donc il ne faut pas oublier de préciser la condition x, does not equal, 0.
Le produit des deux fractions est :
start fraction, x, divided by, 3, end fraction si x, does not equal, 0

À vous !

1) Effectuer :
start fraction, 4, x, start superscript, 6, end superscript, divided by, 5, end fraction, times, start fraction, 1, divided by, 12, x, cubed, end fraction, equals
si x, does not equal
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Exemple 2 : start fraction, x, squared, minus, x, minus, 6, divided by, 5, x, plus, 5, end fraction, times, start fraction, 5, divided by, x, minus, 3, end fraction

On factorise le numérateur et le dénominateur de chacune des fractions, on simplifie par les facteurs communs, puis on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
=x2−x−65x+5×5x−3=(x−3)(x+2)5×(x+1)×5x−3(si x≠−1 et x≠3)=(x−3)(x+2)5×(x+1)×5x−3=x+2x+1\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{x^2-x-6}{5x+5}\times \dfrac {5}{x-3}\\\\\\ &=\dfrac{(x-3)(x+2)}{5\times \goldD{(x+1)}}\times \dfrac{5}{\maroonD{x-3}}&&\small{\gray{\text{}}}\\ \\ &\quad \small{(\text{si }\goldD{x\neq -1}} \text{ et }\maroonD{x\neq 3} )\\ \\ &=\dfrac{\blueD{\cancel{(x-3)}}{(x+2)}}{\greenD{\cancel{5}}\times ({x+1})}\times \dfrac{{\greenD{\cancel{5}}}}{\blueD{\cancel{x-3}}}&&\small{\gray{\text{}}}\\ \\ &=\dfrac{x+2}{x+1}&&\small{\gray{\text{}}} \end{aligned}
Ce produit n'est défini que si x, does not equal, minus, 1 et x, does not equal, 3.
De façon générale, le produit de deux fractions rationnelles n'est pas défini pour les valeurs de la variable pour lesquelles l'une ou l'autre des fractions du produit n'est pas définie.

À vous !

2) Effectuer :
start fraction, 5, x, cubed, divided by, 5, x, plus, 10, end fraction, times, start fraction, x, squared, minus, 4, divided by, x, squared, end fraction, equals
A quelle(s) condition(s) cette fraction existe-t-elle ?
Choisissez toutes les réponses possibles :

3) Effectuer :
start fraction, x, squared, minus, 9, divided by, x, squared, minus, 2, x, minus, 8, end fraction, times, start fraction, x, minus, 4, divided by, x, minus, 3, end fraction, equals
A quelle(s) condition(s) cette fraction existe-t-elle ?
Choisissez toutes les réponses possibles :

Et ensuite ?

La leçon suivante est : Diviser deux fractions rationnelles.

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  • blobby green style l'avatar de l’utilisateur dypa1993
    Posté il y a il y a 2 ans. Lien direct vers le message de dypa1993 «p>0p, is greater than, 0 ... »
    p>0p, is greater than, 0 and q = 0q=0q, equals, 0 so p \ times \ dfrac qpp×
    p
    q
    In addition to this, you need to know more about it.
    p, times, start fraction, q, divided by, p, end fraction is ...
    (1 vote)
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