Décomposition en éléments simples 1

dans cette vidéo et les suivantes on va s'entraîner à décomposer une fraction rationnelle en éléments simples donc ça s'appelle la décomposition en éléments simples et l'idée c'est de prendre une fraction rationnelle et de l'exprimer sous forme de sommes et dans cette somme il va y avoir un polynôme plus d'autres fractions mais qui vont être beaucoup plus simple que celle ci qu'on va appeler des éléments simples donc ça va être des fractions en fait les éléments simples sont des fractions dont les dénominateurs sont des polynômes irréductible et qui ne simplifie pas et la regardons notre action rationnelle notre fraction rationnelle et donc un quotient de deux fractions de deux polynôme pardon dont le degré du numérateur est égal au degré du dénominateur alors ce que lorsque le degré du numérateur est supérieure ou égale du haut degré du dénominateur la décomposition va être sous la forme polynôme plus éléments simples lorsque le degré du numérateur est inférieure au degré du dénominateur la décomposition va être juste sous la forme d'éléments simples et nous n'aurons pas de pauline sommes donc là comme le comme les deux degrés sont égaux il va y avoir un polynôme comment est ce que je fais pour trouver le polynôme bien j'effectue la division euclidienne du numérateur par le dénominateur c'est à dire j'ai effectué la division euclidienne 2x carré - 2x moins 37 par x carré - 3 x - 40 et donc effectué on l'a donc en x car et combien de fois x car il y va une fois et donc j'effectue une fois je doit retrancher une fois x carré - 3 x -40 retranché ça veut dire qu'il faut que je change les signes donc il faut que j'ajoute l'opposé c'est à dire qu'il faut que j'ajoute - 6/4 et + 3 x + 40 et j'obtiens le reste 20 px caressa nul ça a été fait pour le reste vaut x + -37 +40 c'est à dire x + 3 voilà revenons un instant sur ce que veut dire cette division euclidienne vers cette division un cli diène veut dire que en fait la fraction que j'avais au départ s'écrit aussi sous la forme un sur x + 3 1 plus pardon x + 3 / x carrément 3x moins 40 ça c'est toute l'idée de la division euclidienne c'est quand on divise de nombre ça donne exactement la même chose ailleurs tu peux recalculer cette somme que j'ai écrite en bas tu trouveras bien la fraction le rationnel qu'on avait donné en eau est juste pour se convaincre que ça marche quand on divise de nombre quand on divise par exemple 13 par deux si on pose la division presse divisé par deux alors comment on fait on ch'ti en 213 combien de fois de il y va 6 x 6 x 2 égale 12-12 au t2 trez hir est un et qu'est ce que ça veut dire que le quotient insisté que le reste voir ça veut dire que la fraction 13/2 peut se réécrire sous forme de le quotient 6 plus le reste sur le dénominateur + 1/2 donc ça c'est pas trop dur de voir que c'est vrai 13/2 ses 6,5 et 6 + 1/2 c'est aussi par définition 6,5 donc comme donc vraiment là on a fait avec les polynôme exactement ce qu'on ferait si on divisait le nombre donc en fait notre la fraction rationnelle qu'on avait au départ ce peut se mettre sous la forme polynôme plus une deuxième infraction rationnel que je préfère pourquoi je la préfère celle là parce que dans celle là le degré du numérateur est inférieure au degré du dénominateur donc si on décompose celle là elle va nous donner que des éléments simples c'est à dire qu'on va essayer des composés juste cette deuxième fraction rationnelle les expulse 3 au numérateur sous la forme d'une somme de fractions avec uniquement des éléments au dénominateur qui sont irréductibles pour trouver des éléments irréductibles on va factoriser le dénominateur donc là ici la chose à faire c'est de factoriser le dénominateur alors cherchons de nombre dont le produit vaut moins 40 et la somme au moins trois alors pour que le produit vaille moins 40 on pourrait il faut donner de signes différents et pour que la somme veille -3 je pense qu'on peut s'en tirer avec -8 et +5 donc on peut réécrire cette fraction rationnel avec le dénominateur factoriser ça va nous donner un x x plus en plus six mois plus 3 / x + 5 x x - 8 j'ai remplacé le dénominateur par sa forme factoriser est là le fait d'avoir factory c'est le dénominateur ça me donne une idée de la lure général des éléments simples que je recherche ça ça veut dire que cette fraction rationnel avec le x3 au numérateur va se décomposer en somme de deux fractions l'une avec x + 5 au numérateur et l'autre au dénominateur pardon et l'autre avec 6 - 8 au dénominateur donc elle va pouvoir se réécrire sous la forme traction sur x + 5 + traction sur x -8 tailleur un plus on recopie le un plus pour que l'égalité soit vrai un numérateur que cherche que j'appelle à sur x + 5 plus un autre numérateur que cherche que j'appelle b sur x -8 et comme je sais que le degré du numérateur doit être inférieur au degré du dénominateur ça implique que a et b doivent être dénombre donc ici je cherche a et b sous la forme de nombre et donc je me demande quelles sont la valeur de à et la valeur de b pour lesquelles eh bien c'est la somme de ces deux fractions là me donne le x + 3 sur x + 5 x et x - 8 alors comment est-ce qu'on pourrait ferment pour elle ce tir si on additionne les deux fractions avec a et b qu'on réduit cette addition même dénominateur il va bien falloir qu'on trouve ex +3 au numérateur donc essayons de l'écrire donc à ce risque plus simple plus b sur x mon ami tu donc le dénominateur commun quand on additionne de fractions mais au même dénominateur saeed x + 5 sur x x x -8 et pour mettre au même dénominateur il va falloir que je multiplie le à paris xe - 8 donc je vais avoir au numérateur à x x -8 et pour le bébé on va faire la même chose on voit bien que ce qu'on a écrit c'est égal à sur x + 5 en simplifiant le xe - minutes et puis pour le b on va faire pareil on va avoir une fraction dans le dénominateur avec le dénominateur commun x + 5 x x -8 et maintenant et le b il va falloir x x + 5 pour ça reste égale à ce qu'on avait avant et voilà là on se rend bien compte qu'on a réduit au même dénominateur et que on obtient une somme de fraction qui est exactement la même que la somme des deux fractions que l'on avait au départ et maintenant donc on peut réécrire sa sous la forme de on peut écrire que donc la somme que l'on avait ça va être donc à écrire comme ça la fraction qu'on avait au départ explique 3 sur x + 5 x x - 8 est égal à bas on additionne les numérateur ça nous donne à x x - 8 + b x x coup plus cinq et on met tout ça sous le dénominateur commun x + 1 x x - 8 et là on se dit bon on a une égalité deux fractions les dénominateurs sont les mêmes pour que cette égalité françois vrai il faut que les numérateur soient les mêmes alors pour que les comment trouver la valeur de à et la valeur de bhv écrit alors ce qu'il nous faut donc il faudrait que lennon numérateur soient les mêmes dont x + 3 égal à faux x - 8 + b x x + 5 donc on pourrait faire comme ça développe et identifiés et obtenir un système d'équations que nous résoudre est maintenant en est un malin on peut faire on peut retrouver le a et le b beaucoup plus simplement et le raisonnement c'est le suivant le raisonnement est de se dire puisque cette égalité doit être vrai pour n'importe quelle valeur de x pourquoi ne pas choisir une valeur de x qui va nous éliminer le b qui va nous annulé le terme b x x + 5 donc qu'est-ce qu'il faudrait choisir comme valeur de x qui va de nous éliminer le b x x + 5 et bien essayons de substituer x également à 5 on voit bien que le x + 5 va s'annuler cx égal moins 5 on se dit donc puisque cette égalité est vrai pour tout xl va être aussi vrai pour x égal moins 5 donc ça va être vrai que -5 +3 égale granta fois moins cinq +85 -8 pardon plus grand baie fois moins 5 + 5 et ça ça va bien nous arranger les choses parce que bon qu'est ce qu'on obtient en simplifiant ceci on obtient moins 5 + 3 c - 2 est égal à a fois moins cinq points suite c'est moins 13 donc on obtient mon 13 ha et moins 5 + 5 ça fait zéro donc tout ce qui à mon bep disparaît et là on a obtenu moins de égales - 13 ha et donc le à y arrive tout de suite il suffit / - 13 et on obtient que notre à est égal à 2 13e et donc tu vois on a trouvé le a de manière beaucoup plus facile que si on avait résolu un système d'équations et évidemment on va faire la même chose pour le b on se dit pour trouver b il va falloir trouver il va falloir substituer à la place de x quelque chose qui va nous annulé le a et on va substituer 8 et donc on va écrire que si on substitue et on obtient 8 + 3 égalent 11 égalent 11 égale grand à x 0 puisque on a fait tout fait pour que ce soit 0 + b x 8 + 5 c'est à dire plus beffroi 13 autrement dit on égale 13 b et en divisant par 13 on n'obtient que notre la valeur de b que l'on cherchait était et de 11/13 la valeur de b que l'on cherchait et dont ce 13e donc revenons à ce qu'on faisait ça veut dire que ici mort à ses 2 13e et mon b c ont ce treizième donc la somme donc en fait si je reprends l'énoncé comptes donnait ont pour bien répondre à la question notre fraction rationnelle elle s'écrit sous la forme un + 2 13e c'était sur x plus 5 plus on ce 13e sur x moins 8,3 ce qu'on avait trouvé et si on n'aime pas parce que c'est assez mal commode d'avoir des fractions à l'intérieur de fractions n'y a aucun problème avec le xiii au dénominateur à l'obtenir 2 sur 13 x + 13 x x + 5 + 11 sur 13 fois ils sont huit et c'est ça qu'on appelle la décomposition en éléments simples et là on pourrait se demander mais à quoi ça sert d'avoir pris une fraction rationnelle qui a l'air bien raisonnable et de la transformer en cette somme de fractions cherchant des 2 13e et des oms 13e ça m'a pas l'air d'avoir simplifié les choses dans c'est vrai ça simplifie pas les choses si on pense d'un point de vue algébrique ça n'a aucune utilité de faire ça si on veut faire de l'algèbre si on veut résoudre des équations des choses comme ça ça n'a aucune utilité de faire ça par contre ça va avoir une très grande utilité si on veut se servir de cette fraction rationnel dans des domaines autres que l'algèbre par exemple en analyse si on veut faire des calculs et des intégrales trouver une primitive de la fonction x carré - 2 x 4 ans est sur x carrément 3x moins 40 si tu veux essayer de trouver une primitive de cette fraction rationnelle telle qu'elle est écrite à gauche eh bien je te souhaite bonne chance par contre il va être beaucoup plus facile de trouver une primitive sous la forme des composés en éléments simples donc en fait la décomposition en éléments simples c'est un outil qui va servir dans d'autres domaines des mathématiques que l'algèbre lorsqu'on aura besoin des fractions rationnel dans d'autres domaines que l'algèbre par exemple ça va servir vire aussi pour pour calculer des inverse de transformer de la place donc c'est un outil et on va s'exercer à manipuler cet outil parce qu'on a encore beaucoup d'autres choses à voir dans les vidéos suivantes