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Décomposition en éléments simples 3

La décomposition en éléments simples de la fraction (6x²- 19x + 15)/(x - 1)(x - 2)². Créé par Sal Khan.

Transcription de la vidéo

il ya un autre cas de décomposition de fractions à sionnel en éléments simples hommes qu'il faut qu'on voie parce qu'on l'a pas vu avant et c'est de la situation à laquelle on a au dénominateur une racine multiples donc on a fait un petit problème donc que rogue une regarde ce petit problème la 6/4 et -19 fixe + 15 on va le diviser je donne le dénominateur déjà factoriser pour gagner du temps par x - 1 fois et là je suis maître une racine multiples dénominateur x x - 2 au carré et donc là on a une racine d'ordre d'aude et dominateur déjà on observe que le numérateur et degré de est le dénominateur va être de degré 3 si on développe donc tuera pas de parties entières et on va se demander à quoi ressemble la décomposition infractions rationnelle si par exemple j'écrivais comme modèle de décomposition grand assure x - un plus grand baie sur x - deux plus grands c'est sur x - 2 eh bien ça ça collerait pas parce que pourquoi ça collerait pas parce que ben est sûre et moins de plus c'est sur x - 2 c au même dénominateur ça peut se regrouper en une seule fraction et si on additionnait ça on n'obtiendrait pas le dénominateur ex conjointe sur x - 2 au carré qu'on a obtenus au départ donc ça ça n'aurait ça correspond pas au dénominateur avec une racine d'ordre de ce soft qui nous agressent pondre est à un dénominateur avec une racine simple avec des racines simple et bien pourquoi bien comment est ce qu'on va pouvoir russe obtenir un dénominateur de rendre d'ordre de et bien il va il va nous falloir des éléments simples avec des dénominateurs qu'ils soient déjà qui a des racines d'entre eux autrement dit va nous falloir du xe - 2 au carré au dénominateur donc la décomposition de la fraction rationnelle va être de la forme suivante assure x - inde + b sur x - 2 attention pas au carré cette fois et on va rajouter le sait sur x - 2 au carré voilà notre des compositions de traction rationnelle va ressembler à sa mère il se peut qu'on est un élément simple de la forme un nombre sur x - deux racines simple mais on en aura forcément aussi un autre sur x - 2 au carré voilà et abc et en dénombre ceci nous garantira l'unicité de la décomposition parce qu'en fait la troisième infraction un dénominateur de degré 2 j'aurais pu penser que le numérateur secret de degré 1 mais si je le mettais 2° ainsi je m'étais cx plus des à la place de ces au numérateur ça aurait pu ça pourrait se combiner avec la levée sur x -2 et ça pourrait s'écrire de plusieurs manières différentes comme on veut l'unicité la décomposition fraction rationnelle c'est cette forme là c'est cette forme là que nous allons que nous allons rechercher b sur x - 2 / c est plus c'est sur x - 2 au carré donc comment on va faire on va raisonner de la même manière que ce qu'on avait fait auparavant je vais déjà effacé tout ça qui sert plus à rien on va raisonner de la même manière que ce qu'on a fait auparavant on va réduire toute la partie droite de l'égalité au même dénominateur et on va essayer d'identifier les numérateur c'est à dire que bon notre dénominateur d'un ce sera le dénominateur de l'énoncé on a tout fait pour ça c'est x moisins surexploités au carré elle numérateur il va ressembler à quoi eh bien on va multiplier chaque numérateur parce qu'il faut pouvoir le dénominateur commun donc à multiplier par 1 x quoi allier sur x - 1 et donc je vais x x man 2 au carré pour avoir le même dénominateur et tu vois qui simplifie cette fraction ce qui est bien le assure x mens donc bay hill et sur x - deux doigts le x x - et par un autre ex moins deux pour faire du xe - 2 au carré est une autre c'est le sait il est sur x - 2 au carré lui manque donc un mix moins 5 pour être même dénominateur jeunes x x - 1 et donc ça me fait tout ce grand numérateur là sur x - 1 x x - dos carré qui est censé être égal à la fraction rationnelle donné dans énoncé c'est-à-dire à 6x carré - 19 x + 15 sur x - info x - 2 au carré voilà et quand on voit ça on se dit nous avons deux fractions égales les dénominateurs sont égaux les numérateur sont donc ego aussi et donc je vais leur écrire pour que ce soit bien clair ça nous dit que assure x - 2 au carré plus b sur x 9 x x -2 plus c'est x x moisins est égal à 6 x carré - 19 x + 15 alors on a identifié les numérateur et là la méthode employée est de se dire que puisque cette égalité est vrai pour toutes xe nous allons choisir certaines valeurs de x qui vont faire ça nul et plein de choses et qui vont donc rendre à b et c est plus facile à trouver comme par exemple on voit qu'on a six points 1 qui revient souvent on se dit si on substitue un à la place de x ça va annuler tous les hits tous les termes high kicks monza donc ça vaut le coup d'essayer en substituant à la place de x et on réécrit cette égalité avec 1 à la place de x et donc on obtient à facteur de 1 - 2 c'est un voisin - au cari ça fait 1 donc ca fois un je peux juste laisser le a le b comme yayi les x x - un ça va ce annulé le terme ans et x x - ça va ça nul et donc il m'a plu me restait que à gauche du sénégal et à droite du signe également 6 x 1 ça fait 6 - 19 points d'ailleurs - 19 +15 il me reste plus qu'à calculer ça ça me donne la valeur de a donc six plus qu'un ça fait 21 21 - 19 ça fait deux et donc à est égal à 2 voilà qui voient déjà une bonne chose de faite ensuite on va essayer tête de caumont voies des xe - 2 revenir souvent on va essayer de substituer x égal 2 ça nous annulera tous les termes en x points 2 donc on substitue x égal 2 et qu'est ce qu'on obtient à fois explosé au carré disparaît b x x - 1 x x - deux disparaît parce que x et des galas de et que tous les x men 2 0 etc et x x - c'est-à-dire par 2 - 1 donc c'est va être multiplié par 1 j'obtiens c'est égal et à droite on substitue également x égal 2 6 x 4 24 - 19 x 2 c'est-à-dire moins 38 +15 et combien sa faible 24 plus qu'un ça fait trente neuf et 39 38 ça fait 1 donc c est égal à 1 et voilà il ne reste plus qu'à trouver bel et bien pour trouver b comme c'est la dernière valeur qui reste à trouver on va substituer les valeurs qu'on a trouvé avant c'est à dire qu'on va substituer à égal 2 on a substitué c'est égal 1 et on va choisir une valeur de x n'importe laquelle puisque on sait que ça marche pour tweet x atteint aucune importance on obtiendra toujours le même c'est ma choisi son x égal zéro par exemple puisse toujours pratique de stud de substituer 0 il ya plein de choses qui s'annulent quand son compte on substitue 0 donc si on substitue x égal zéro à égal 2 essais égal 1 donc on obtient deux facteurs de 0 - 2 au carré donc c'est moins de au carré ça fait quatre ans et deux fois 4 + bclb on ne connaît pas c'est là c'est ce qu'on cherche donc on recopie halle b x 0 - 1 c'est-à-dire fois moins 1 fois 0 - 2 c'est-à-dire fois moins deux plus c'est x 0 - 1 c'est-à-dire fois monza c'est à dire de plus un fois moins un parent parce que c est égal à 1 est égal à ben tout ce qui est à droite ça s'annule sauf le 15 donc on obtient deux fois 4 8 + 2 b ce que ça ça fait 2 + 1 x - 1 donc c'est moins un est égal à 15 et ça c'est une petite équation toute simple 8 - ça fait 7 15 - 7 ça fait 8 donc j'obtiens 2b égale 8 et en divisant tout par deux on obtient que b est égal à quatre et on a fini on l'a fini notre décomposition en éléments simples renferme a trouvé les trois mondes qu'il faut il nous reste plus qu'à les substituer dans le modèle delà des propositions en éléments simples pour à notre résultat donc à est égal à 2 bettega qu'a dressé est égal à 1 donc on n'obtient que la fraction donné au départ est égal à 2 sur x 15 1 + 4 / x men 2 plus notre cct un donc un sur x - 2 au carré et voilà notre décomposition éléments simples ce à partir de ça par exemple qu'on trouvera une primitif de cette fraction rationnelle si on si on en cherche une est donc juste pour bien clarifier ce qu'on a fait au début si par exemple on a une fraction rationnelle qui est sous la forme d'un un polynôme au numérateur sur par exemple x - à puissance 10 je prends 10 pour exagérer une puissance très grande évidemment on suppose que le polynôme et degré inférieur à 10 eh bien ça ça va se décomposer en a sur x - a plus b sur x - za au carré plus et cetera plus c'est sur xna occupe plus d sur x man 2 à puissance 4 jusqu'à arriver à la 10eme lettres de l'alphabet c'est j surgit plus j sur x - za puissance 10 voilà donc voilà comment on traite dans la décomposition en éléments simples les racines d'ordre multiples au dénominateur on te demandera jamais de décomposer une fraction rationnel avec une racine d'ordre 10 ce serait beaucoup plus serait beaucoup trop compliqué ça te prendrais 10 heures ce serait répétitif si j'avais vraiment on avait à faire quelque chose avec une racine d'ordre dissous une racine d'ordre 5 il vient on demanderait on programmera sans doute un ordinateur pour qu'ils nous pour qu'il nous fasse les calculs et qu'ils nous trouvent la décomposition en éléments simples mais bon ça c'était pour te donner une idée de la démarche à suivre