Une autre inéquation rationnelle

essayons de résoudre une autre inéquation rationnel dans laquelle on va rencontrer des situations différentes de celles que nous avons vu à la vidéo précédente x - 3 sur x + 4 supérieur ou égal à 2 donc qu'est-ce qui va changer qu'est ce qui va être différent et qui va nous changer un petit peu la solution déjà y'a pas supérieur et à supérieur ou égal et ça ça va changer quelque chose à la solution est ensuite à droite le membre de droite ça n'est plus 0 ces deux et ça ça peut-être pas l'air mais ça va changer beaucoup de choses à la solution est donc à une vidéo précédente j'avais montré deux méthodes eh bien je vais te montrer ces deux méthodes mais cette fois je vais commencer par la deuxième je vais inverser l'ordre alors que disait cette méthode de résolution elle disait que j'aimerais bien me débarrasser des fractions en multipliant parle dénominateur x + 4 mai comme le dénominateur x + 4 je ne sais pas combien ils vont et je ne connais pas son signe je ne sais pas si les inégalités change de sens ou non je vais de vente de voir distinguer entre deux cas premier cas celui où x + 4 est positif et où quand je vais multiplier l'inégalité ne va donc pas changer de sens et le deuxième cas celui où x + 4 est négatif et où quand je vais multiplier les inégalités va changer de sens donc résolvons maintenant le premier cas lorsque x + 4 est positif c'est au qu'ici équivalent à écrire que x est supérieur à moins 4 je te rappelle que x ne peut pas être que x 4 ne peut pas être égal à zéro puisqu'il est au dénominateur donc tout ce qu'on va faire là par la suite c'est sous l'hypothèse que x est supérieur à moins 4 reprenons notre équation x + 3 x - 3 sur x + 4 d'un côté et deux de l'autre côté et on a dit que pour supprimer le dénominateur on multiplie à gauche et à droite par x + 4 parce que je suis en train de noter maintenant et qu'est ce qu'il advient de l'inégalité d'un comics +4 a été supposé positifs se multiplient à gauche et à droite par un nombre comme positif donc l'inégalité ne change pas de sens et je garde mon supérieur ou égal maintenant j'effectue les calculs algébrique je simplifie la fraction et une reste x + 3 dans le nombre de gauche supérieur ou égal à dans le membre de droite je développe 2x plus 84 x 2 ça fait 8 voilà donc maintenant je vais retirer xo de membres l'âge résoudre une équation tout à fait standard - 3 supérieur ou égal à x + 8 et maintenant je vais retirer huit je vais soustraire 8o de membres - troyes - 8 ça fait moins 11 est supérieur ou égal à est la nôtre x reste tout seul donc on a résolu une inéquation c'est moins 11 supérieure ou égale à x qui peut aussi s'écrire x inférieur ou égal à -11 1 - supérieur ou égal à x c'est exactement la même chose que de dire que x est inférieur ou égal à -11 et c'est là qu'on s'aperçoit qu'on a un petit problème parce que je te rappelle que tout ce qu'on avait fait c'était sous l'hypothèse que x est supérieur ou égal à -4 et je ne crois pas qu'il existe de nombreux jeux même sûr il n'existe pas de nombre qui soit à la fois plus grand que -4 et à la fois plus petit - 11/1 toutes et tous qui est plus grand qu'eux - 4 devrait aussi être plus grand qu'au moins 11 donc en fait la condition que j'ai posée est la solution que j'ai trouvée se contredisent ce qui veut dire que je ne les trouvait aucune valeur de x qui correspond à ça donc là je n'ai aucune valeur de x ce que je vais signalé par ce petit symbole là qui veut dire ce petit symbole s'appelle ensemble vide ça ça veut dire je ne trouve pas de solution donc est ce que ça veut dire que l'inéquation tels que j'ai les données dans l'énoncé n'a pas de solution bah non parce qu'il reste le deuxième cas que ce n'est pas traiter le cas où l'inégalité change de sens où x + 4 est négatif 1 donc x + 4 négatif ça veut dire x inférieures à - 4 et donc que je vais faire dans cette deuxième partie de solution ça va être sous la condition que x soit inférieur à moins 4 est ce que je vais faire c'est exactement la même chose multiplier à gauche et à droite par x + 4 donc je reprends mon inéquation x - 3 sur x + cats d'un côté deux de l'autre côté je multiplie à gauche et à droite par x + 4 et 7 x comme x + 4 est supposé négatif l'inégalité change de sens et mon supérieur ou égal que j'avais dans l'énoncé cette fois va devenir inférieur ou égal parce que je change d'inégalités de sang c'est la règle du changement de sens une fois que j'ai écrit ça il me reste plus qu'à faire les opérations algébrique simplifier la fraction est distribué j'obtiens x -3 inférieure ou égale à 2 x +81 j'obtiens plus ou moins ce que j'avais obtenu dans le premier cas sauf que l'inégalité et dans l'autre sens et on va exactement faire les mêmes opérations à jebri qu'on va soustraire xd des deux côtés on va obtenir comme comme à gauche la moins trois inférieur ou égal à x + 8 on enlève lui et on obtient moins 11 inférieur ou égal à x ce qui veut dire aussi que x est supérieur ou égal à moins 11 pour ceux qui préfèrent avoir le x du côté gauche de l'inégalité est donc x est supérieur ou égal à -11 dans le cas où on l'a supposé inférieur à moins 4 alors cette fois la condition qu'on a posés et la solution qu'on a trouvées ne se contredisent pas parce qu'il existe des nombres qui sont supérieures ou et qui sont supérieures à mons tout en étant inférieures à - 4 ce sont les nombres qui sont entre -11 et -4 ça peut s'écrire comme ça comme une chaîne d'inégalités - 11 inférieur ou égal à x inférieures à - 4 voilà et donc voilà là c'est nombre là qui sont entre -11 et moins quatre sont bien dans l'ensemble des solutions est en fait comme on n'avait pas obtenu de solutions de l'autre cas qu'on a traité ces salles ensemble des solutions et si tu veux je vais je vais le représenter sur la droite réel donc je dessine la droite réel et je la gr du de manière à pouvoir voir le moins 11 et voir le moins quatre qui vont intervenir dans leur présentation donc on va mettre -11 par ici on va mettre moins quatre par la voix là et je dois représenter tous les nombres qui sont entre -2 et -4 c'est facile je fais un trait qui va qui se battent à se trouver entre le moins osé le moins 4 maintenant pour les crochets comme j'ai un inférieur ou égal comme j'ai un x supérieur ou égal à -11 ans - ans je fais un crochet qui est tourné vers la ligne et comme grx inférieur strictes à moins 4 ans -4 je fais un crochet qui tourne le dos à la ligne ça c'est là la représentation dont on a l'habitude des d ensemble de nombres sur la droite réel on ne se trompe pas donc dans le sens des crochets et voilà donc notre première méthode de résolution voilà maintenant on va essayer de résoudre cette équation en appliquant l'autre méthode qu'on avait vu x - 3 sur x + 4 supérieur ou égal à 2 donc là on recopie l'inéquation et comment on avait dit dans l'autre méthode d'un autre méthode on avait dit que lorsqu'on a un quotient assure b qui est positif eh ben ça veut dire soit que a et b que a et b sont eux mêmes signes soit qu'ils sont tous les deux positifs soit qu'ils sont tous les deux négatifs il ça ça marche pour positif ça marche pour supérieur à zéro mais ça marche pas pour supérieure à 2 j'ai pas de règle pour ses jets pas de règle comme ça pour supérieure à 2 donc il faut que je me ramène à supérieur à 0 et pour ceux ramenés à supérieur à zéro mais on va soustraire deux des deux côtés l'inéquation et on obtient x - 3 sur aix + 4 - 2 supérieur ou égal à zéro et là tu me diras main oui mais à gauche on n'a plus une fraction pour avoir une fraction il suffit de rêve de réduire au même dénominateur de prendre le x points 3 sur aix + 4 - 2 et de me soumettre au même dénominateur pour art une fraction est le dénominateur ça va être exclu ce 4 ça va s'écrire ça ça va s'écrire sous la forme x - 3 - 2 fois parenthèse x + 4 le tout divisé par x + 4 supérieur ou égal à zéro ensuite je vais pouvoir développer ça va me faire x -3 à la joue juste les parenthèses - 2x moins 8 le tout sur x + 4 qui est supérieur ou égal à 0 et enfin je peux simplifier le numérateur donc on va simplifier le numérateur x - 3 - 2 x - 8 ben ça 6 - 2 x a fait moins x et - 3 - 8 ça fait moins 11 donc je vais me retrouver au numérateur avec un moins x - 11 sur mon dénominateur commun x + 4 là est évidemment mon supérieur ou égal à zéro et là voilà je me suis ramené à ce qu'on avait vu aux cas précédents c'est à dire à une fraction que je compare avec 0 cette méthode là elle marchera si on compare une fraction avec zéro et là on va donc distinguer les deux cas qu'on avait distingué précédemment si j'ai une fraction de ce qui est une division en fait qui est supérieur à 0 ou supérieur ou égal à zéro ça veut dire que le numérateur et le dénominateur sont de même signe alors de deux choses l'une soit ils sont tous les deux positifs soit ils sont tous les deux négatifs alors une petite précaution là on a un supérieur ou égal dans l'inéquation ce qui veut dire que notre numérateur il pourra éventuellement être supérieur ou égal à zéro mais notre dénominateur lui n'a pas le droit d'être égal à zéro et on va bien exprimer ça dans nos conditions d'accord donc dans nos conditions quand est-ce que je peux avoir positif sur positif 1 positif sur positif ça veut dire que mon - x - 11 est supérieur ou égal à zéro comme l'inéquation me le dit d'accord et que mon x + 4 lui et donc que mon x + 4 lui lui il a pas le droit d'être égal à zéro parce qu'il est au dénominateur et je peux pas / 0 mon x + cac lui doit être supérieur strictes à zéro on mettra toujours un supérieur strictes pour les dénominateurs puisqu'ils peuvent pas être nul voilà donc ça ça me fait mon premier cas ou alors le deuxième cas dans lequel cette fraction serait positif ce serait que le numérateur et le dénominateur soit négatif donc le numérateur lui peut être négative ou nulle parce que l'inéquation me dit que ça lui que ça correspondrait bien à ce qu'on veut mais le dénominateur lui ne peut pas être nul donc le dénominateur dans ce cas là va être strictement négatifs comme je les écris la voilà donc qui nous reste plus qu'à résoudre ces deux cas là et a trouvé notre ensemble des solutions qui va ressembler qui va être exactement le même que celui qu'on avait trouvé suivons la première méthode on reconnaît déjà le 4 et le moins qu'on avait qu'on avait obtenu bien par exemple pour cet hymne équation la première on va rajouter xd d'un des deux côtés on obtient -11 supérieur ou égal à x qui est exactement la même chose de dire que de dire que x est inférieur ou égal à -11 et x + 4 supérieur à zéro donc concevoir ou se retrancher 4 des deux côtés ça fait chic supérieur à -4 d'accord et là je me dis je dois avoir à la fois que mon x est inférieur à moins 11 et en même temps que x est supérieur à -4 et c'est pas possible quand un nombre est supérieur à moins 4 il a aussi plus grande - on ne peut pas être inférieur à moins 11 donc là dans ce cas là j'écris l'ensemble vide j'écris ce petit signe là pour dire que je ne trouve pas il n'y a pas de solution c'est impossible c'est pas logique plus grand que -4 ça peut pas être plus petits points 11 maintenant on va résoudre l'autre car ça nous rassure on obtient bien la même chose que ce qu'on avait vu dans les méthodes précédentes le cas donc le 2ème calmes dans le cas où le numérateur et le dénominateur sont tous deux négatifs et bien résolvons les deux petites inéquation là et essayons de voir lorsqu'elle tant elles sont vraies toutes les deux bien là on va faire pareil on va ajouter x des deux côtés de la première inéquation ça va nous donner moins 11 inférieur ou égal à x c'est-à-dire x supérieur ou égal à moins 11 voilà et pour la deuxième une équation on va faire la même chose on va retrancher 4 des deux côtés donc gx +4 inférieures à zéro je retranche cadre des deux côtés ça me donne x inférieures à - icade donc dans ce deuxième cas je dois à l'avoir doit avoir à la fois que x est supérieur ou égal à -11 est à la fois en même temps que x est inférieur à moins 4 et ça c'est tout à fait logique il suffit que x soit compris entre -2 et -4 ce que j'écris ici mon inférieur ou égal à x inférieures à - 4 et si je veux représenter sa sur la déjà notre ensemble des solutions écrit algébrique mans c'est le même que celui qu'on a trouvé avant et si je représente ça sur la droite réel évidemment les mêmes causes produisant les mêmes effets je vais avoir exactement le même dessin sur la droite réel en faisant tourner les crochets dans le bon sens et représentant bien les nombres qui sont entre -11 et -4