Simplifier une fraction rationnelle - 1

quand on a commencé à parler des fractions on s'est intéressé à la simplification de fractions pour obtenir des fractions aux irréductibles par exemple la fraction 3/6 elle se simplifient facilement on sait que troyes ac 3 x 1 et que si ces trois fois 2 et on observe on a réussi à faire apparaître au numérateur et au dénominateur de la fraction le facteur commun 3 et on peut simplifier ce facteur commun et on obtient la fraction et réductible 1/2 rats comment simplifie d'effraction bon ça on sait le faire on va se donner un autre exemple pour être sûr disons par exemple 8 24e alors si on veut simplifier 8/24 c'est exactement la même idée on dit que on n'a qu'à dire que huit ses huit fois et que 24 ces trois fois huit et encore une fois on a au numérateur et le dénominateur le même facteur commun 8 qui peut se simplifier et on obtient que cette fraction se simplifie en un tiers eh bien on peut faire exactement la même chose lorsque les fractions sont des fractions rationnelle c'est à dire que lorsqu au numérateur dénominateur apparaît spontanée nombreux produits mais des expressions littérale avec des variables et pas n'importe pas n'importe quelle expression littéral enfin on va pas de trop détaillées ont valu on va donner des exemples par exemple je prends la fraction rationnel ne fixe plus 3 sur 12 x + 4 1 c'est une fraction rationnelle au lieu d'avoir des nombres connu au numérateur et délits mineurs j'ai des expressions littérale avec des variables évincé expression je venais factoriser pour trouver un facteur commun au numérateur et le dénominateur ne fixe plus 3 je peux factoriser 3 ces trois facteurs de 3x plus et 2x plus 4g un facteur commun 4 et j'obtiens que ces quatre facteurs de 3 x plus un égale ment voilà si tu redéveloppe le numérateur et le dénominateur du trouve bien la fraction qu'on avait au départ et là il apparaît que on a un facteur commun au numérateur et le dénominateur qui s'appelle 3x plus 1 donc on peut simplifier le 3 x + 1 du numérateur avec le 3 x + 1 du dénominateur et qu'est ce qui nous reste une fois qu'on a simplifié il nous reste que ceci est égal à l'infraction trois quarts donc voilà une fraction rationnelle se simplifient exactement avec la même idée qu on simplifiait l'effraction l'effraction connu avant faisons quelques autres exemples 1 donc on factories le numérateur et le dénominateur et si on trouve un facteur commandes simplifiées un autre exemple on va tâcher de simplifier la fraction x carré - 9 / 5 x + 15 alors factories au numérateur et le dénominateur alors qu'est ce qu'on va obtenir xxi arrêts - 9 x carré moins 9 20 c c'est une identité remarquable c'est à carré - becquart et ça ce facteur is en expulse 3 x x - 3 et 5 x +15 ya un facteur commun 5 et saas factories en cinq facteurs de x + 3 et je peut simplifier les x + 3 et j'obtiens x ou la fraction simplifiée x - 3 sur 5 mais là faut faire attention je suis tenté de dire que la fraction que j'avais au départ est égal à x - 3 sur 5 est bien c c'est presque tout le temps vrai c'est juste pas vrai au cas où le dénominateur de la fraction de l'énoncé ça nul parce que si on si le dénominateur s'annulent la fraction est indéfini et on voit que le dénominateur de la fraction dénoncer ça nul pour x égal moins 3 je dois donc spécifié que tout ce que j'ai fait est vrai sauf si x est égal à -3 c'est tout ce que j'ai fait est vrai pour x différents - 3 parce que lorsque x est égal à -3 bas xe - 3 sur 5 ses biens définis par contre notre énoncé lui ne le dénominateur s'annulent il est indéfini donc tout ce que j'ai fait est valide dans le cas où x est différent de -3 et donc ça va nous dire qu'à chaque fois qu'on a une expression rationnel on pouvoir pouvoir la simplifier tout en spécifiant que le dénominateur ne doit pas annuler tout en spécifiant le problème de définition et en fait on s'aperçoit que ça j'aurais dû le faire dans la dans l'exemple précédent imaginons que l'exemple précédent là ne fixe plus 3 sur 12 x + 4 ce soit une fonction la fonction y également fixe + 3 sur 12 x + 4 eh bien on peut dire que c'est exactement la même chose que la fonction constante trois quarts dont la courbe représentative et une droite horizontale sauf sauf lorsque le dénominateur 12 x + 4 ça nul sauf lorsque ce dénominateur là est égal à zéro et ce dénominateur là est égal à 0 1 pour x est égal à moins un tiers donc je dois spécifié j'aurais dû spécifié que tout ce travail là est valide uniquement dans le cas où x n'est pas égal à moins un tiers voilà et dans ce cas là et c'est duty mouvement dans ce cas où x n'est pas égal à moins d'un tiers que la fraction de départ est la version simplifiée que j'ai trouvés sont équivalents on va faire d'autres exemples qui sont basés sur le même principe et tiens par exemple on va essayer de simplifier la fraction rationnelle x au carré plus on va dire + 6 x + 5 / x au carré - 6 - 2 voilà donc factories on le numérateur et le dénominateur alors pour factoriser ça là on voit pas de facteur commun et c'est pas non plus une identité remarquable ce numérateur et ce dénominateur sont ce qu'on appelle des trinômes des trinômes c d expression de la forme nombre x x au carré plus nombreu x x plus une constante x au carré plus 6 x + 5 c'est une fois x au carré plus 6 x x + 5 nombre x x au carré plus nombreu x x + 5 plus c'est une constante ça s'appelle un trinôme là je vais m'intéresser uniquement au numérateur quand on aura compris ce qui se passe avec le numérateur avec le dénominateur il se passera exactement la même chose donc voilà lorsqu'on a un trinôme à factoriser on cherche dans notre tête on a un truc on cherche dans notre tête 2 nombre tel que lorsque je multiplie ses deux nombres ça me donne la constante c'est à dire ici le 5 et lorsque j'additionne ces deux nombres ça me donne le coefficient 2 x c'est-à-dire ici le 6 alors on fait une petite pause et on se concentrait ce convoi est ce qu ont réussi à deviner de nombres qui quand on les multiplie donne 5 et qui quand on les additionne donne 6 et bien c'est assez facile et non qui compte on les multiplie de no 5 qui a 1 et 5 et donc si je prends les nombres 1 et 5 quand on les multiplie ça donne bien 5 et quand on les additionne en plus 5 ça donne bien 6 et à l'aide de scène de nombreux là une fois que j'ai trouvé c'est de nombreux là je vais pouvoir factoriser mon trinôme j'ai trouvé les deux nombres qui convenait 1 et 5 et je vais pouvoir dire que mon trinôme qui est au numérateur il se factories en knicks + 5 x x mon x + 1 les deux nombres en fait que je me suis imaginé eh bien je vois là c'est ça marche pour tous les trinôme dont le coefficient x carré est multiplié par 1 en fait c'est x car est plus un nombre plus un autre nombre 1c trinôme là s'appelle des trinômes unitaire unitaire parce que le x carré est multiplié par 1 le x car elle toute seule les assauts factories en utilisant cette petite astuce alors on va faire pareil avec le dénominateur x carré - 6 - 2 en fait le terme en xxi les x - 1 puisque j'ai moins x et la constante c'est moins deux alors est ce que je réussis à m'imaginer deux nombres qui quand on les multiplie quand on les multiplie sa 2 - 2 et quand on les additionne ça donne moins 1 puisque leur multiplication à ces deux noms que j'essaie de deviner de -2 ces deux noms doivent être l'un positif et l'autre négatif et on voit très bien qu'on peut très bien prendre moins de et donc moins deux fois un ça donne bien - 2 et - 2 plus un ca de nias - 1 donc on a deviné - 2 et 1 donc notre trinôme et dénominateur vasseux factoriser ans on avait dit - 2 et 1 c'est-à-dire x - 2 x x plus et là une fois qu'on a réussi à factoriser c'est trinôme bas on s'aperçoit que on a un facteur commun au numérateur et donne au dénominateur on a éliminé 1 x + 1 au numérateur et le dénominateur qu'on peut simplifier et il nous reste l'expression x + 5 sur x - 2 et on n'oublie pas de prise de spécifier de spécifier que tout ceci est valide s'il dénominateur ne s'annule pas c'est à dire 6 est différente - 1 et 6 os x est différente moins deux parce que six était égal à -2 ni l'énoncé du départ ni la fraction que j'ai à l'arrivée ne sont définis donc x doit être différent - 1 parce que dans ce cas là j'ai l'une des deux fractions qui n'est pas défini x doit être aussi être différent de deux parce que dans ce cas là j'ai aucune des deux fractions n'est défini voilà voilà donc comment on factory cette exposition simplifie cette fraction rationnelle autre exemple 3 x car et + 3 x - 18 / 2 x car et + 5 x - 3 alors 3 x car et + 3 x - 18 on va déjà observé qu'on a un facteur commun qui vaut 3 donc on va simple ont donc on va déjà factoriser le 3 ça nous donne trois facteurs 2x carré plus x -6 et ce x car et +6 -6 on va factoriser comme précédemment essayons de deviner de nombre dont le produit de -6 et dont la somme de ne plus hein donc de nombre dans le produit donne - cissé dont l'asean de ne plus un bain j'ai moins 3 dont j'ai pardon - 2 et 3 donc le numérateur va être été à la 3 x x - 2 x x + 3 et si je développe ça si je développe tout ça en observant de la distributive it et je trouverai bien tu peut le vérifier 3 x car et + 3 x - 18 voilà maintenant pour le dénominateur c'est un petit peu plus compliqué parce que là on n'a aucun moyen de factoriser et notre trinôme 2x au carré plus 56.3 il n'est pas unitaire c'est à dire que x o car est n'est pas x 1 x au carré est multiplié par deux dans ce cas là on va l'écrire à part 2 x car et + 5 x - 3 il faut utiliser d'un petit subterfuge en plusieurs étapes pour réussir à le factoriser alors il faut réussir à deviner de nombre sept fois dont le produit va être égale non pas à - 3 mai au 2 à 2 fois moins trois au produit de du coefficient 2 x carré par la constante donc je cherche de nombre a et b disons tels que à x b est égale à deux fois moins trois c'est-à-dire à -6 est tel que a + b est telle que leur somme est égal à 1,5 voilà donc ces de nombreux là qu'elles vont n'est qu'elles vont ils être je veux que le produit soit égal à -6 et que la somme soit égale à 5 donc je pense que je vais pouvoir prendre - 6 6 pardon et -1 à égal 6 et b égales - 1 alors une fois que j'ai trouvé ces deux nombres qu'est-ce que j'en fais eh bien je prends le 5x le terme du milieu de mon trinôme et je vais le diviser je vais le gel des composés pardon en 6x - 1 x à l'aide des deux nombres que j'ai trouvé du 6 et du moins un et je vais donc dire que et je vais donc dire que mon trinôme il est égal à 2 x car et que je recopie plus au lieu d'écrire 5x je vais écrire plus 6 x - un x1 celle ci s'est le moins 1 sont les deux nombres que j'ai trouvé et je recopie le moins trois assez bien égal à la même chose que ce que j'avais avant le 5 x est transformé en 6x - 1 x est là je vais prendre les deux premiers termes que j'ai écrit le 2x carré plus 6x et juste ce 2 x car et + 6 x je vais pouvoir factoriser avec un facteur commun qui est 2 x 2 x car est plus physique juste lui c'est égal à 2 x factor 2 si je me trompe pas de facteurs de x + 3 et ensuite je prends les deux derniers terme - 1 x fois moins 1 x - 3 et là je peux factoriser le moins 1 c'est égal à moins un facteur également de x + 3 et là je vois que dans ce que j'ai obtenu apparaît un nouveau facteur commun qui est x + 3 et donc je vais pouvoir mettre le x + 3 ans facteur et j'obtiens que ces x + 3 facteurs de caisse qui me reste 2 2x moins 1 donc tout le monde est dominateur est égal à x + 3 facteurs de 2x moins un donc un revenons à ma fraction rationnellement dénominateur est égal à x + 3 facteurs 2 2x moins 1 et là je reconnais bon ça a été un peu compliqué peut-être faudrait-il s'entraîner à factoriser des trinômes mais ça c'est pas le c'est un autre sujet de vidéos donc toujours est il que lorsque je regarde ma fraction rationnelle après avoit factoriser je m'aperçois que j'ai le facteur commun x + 3 et que je peux simplifiée par x + 3 le numérateur et le dénominateur et que j'obtiens la version simplifiée de la fraction réactionnelle qui est trois facteurs de x - 2 au numérateur / 2 x monza étant bien entendu que ceux-ci tout ceci est valide s'il donne si aucun dénominateur ne s'annule c'est à dire si le x + 3 ne s'annulent paille pour ceci il faut au pays que ce soit différent - 3 et si le 2x moins ne s'annule pas pour ceci il faut qu' ils soient différents de 1/2 et donc voilà comment on simplifie et avec quelles précautions on simplifie cette fraction rationnelle