Une équation qui se ramène à une équation du second degré

bonjour alors je te propose d'essayer de résoudre cette équation là qui fait intervenir des fractions rationnelle donc mais la vidéo sur pause essaye de le faire de ton côté et ensuite on se retrouve alors évidemment ici c'est une équation donc on va chercher les valeurs de x qui vérifie cette équation qui sont solution de cette équation là mais rien n'empêche quand même de regarder les membres de mon équation est de voir pour quelle valeur de hic cette équation a un sens en particulier ici ce qu'il faut faire c'est regarder les deux fractions rationnelle et regarder quelles sont les valeurs interdite donc pour la première fraction rationnel il faut que 3 x -12 3 x - 12 soit différente 0 ça ça veut donc dire que 3 x doit être différent de 12 et donc x doit être différent de 4 ça c'est pour la première fraction rationnelle pour la deuxième qui à droite du signe égal il faut que x - 4 soit différente 0 et donc on obtient en fait la même valeur que tout à l'heure x différent de 4 donc cette équation là elle a un sens pour x différents de 4 ça c'est quelque chose d'important et en fait ici tu pourrais très bien imaginer d'ailleurs qu' on a ici une fonction f 2 x ici et puis une deuxième fonction à droite g2x et donc tu cherches résoudre cette équation la chercher les valeurs de x qui ont la même image paref et par g et comme ce sont des fonctions effectivement il faut que tu regardes le domaine de définition de ces deux fonctions là alors un bon réflexe est d'essayer de faire des simplifications donc de regarder s'il ya des facteurs communs dans les numérateur et le dénominateur à droite et à gauche ou bien des facteurs communs dans l'expression de droite et dans l'expression de gauche donc ça c'est quelque chose d'utile alors ici on pourrait essayer de factoriser le numérateur qui est ici xo carhaix - 10 x + 21 et pour faire ça il faudrait trouver deux nombres dont le produit est égal à 21 et dont la somme est égal à moins 10 donc si le produit est égal à 21 sa veut dire que les deux nombres ont le même signé comme leur sommet négatives eh bien ils doivent être tous les deux négatifs et ici on peut prendre le moins 3 et -7 parce que moins trois fois moins sept ça fait 21 et - 3 - 7 ça fait moins 10 donc ici ce polynôme là on peut le factoriser comme ça c'est x - sept facteurs de x - 3 ensuite le dénominateur ici 3x -12 bon là je peux factoriser 3 et en fait ça fait trois fois x - 4 pour la deuxième cette fraction rationnelle ci qui est à droite du signe égal j'ai rien de spécial à faire puisqu'elle est déjà factoriser le plus possible donc en fait ce que je vais faire c'est simplifier cette expression là en utilisant ce que je viens de faire alors la factorisation du numérateur va pas me servir ici puisque j'ai fait apparaître aucun facteur commun que je retrouve ailleurs par contre je vais écrire le dénominateur sous cette forme là alors je vais réécrire du coup mon équation comme ça xo carré - 10x plus 21 sur 3 x x - 4 égal à x moins 5 sur x -4 et là je peux multiplier des deux côtés par x - 4 ce que je peux faire même s'est multiplié des deux côtés par trois fois x - 4 comme ça ici je vais me débarrasser de ce numérateur complètement et ça je peux le faire parce que attention on a bien vu que x devait être différent de 4 donc ici x et x -4 n'y a pas de danger que ce soit une multiplication par 0 donc ça je peux le faire donc je vais avoir 3 x x moins quatre fois la fraction que j'ai ici donc x au carré - 10x plus 21 sur 3 x x - 4 et ça ça va être égal à 3 fois x - 4 x la fraction rationnelle qui est ici x moins 5 sur 6 - 4 ici ce terme-là 3 x x - 4 va s'annuler avec celui ci est ici le facteur x - 4 va s'annuler avec le dénominateur x man 4 qui est ici alors je vais tout réécrire maintenant ça va me donner x au carré - 10 x +21 égal ici j'ai 3 x x moins 5,3 x x - 5 alors maintenant je vais développer ce terme là donc je l'obtiens x au carré - 10x plus 21 égal 3 x - 15 et donc là on est presque au bout de nos peines en fait je vais me ramener à la recherche d'un des racines d'un polynôme 2° 2 en faisant passer tout ce terme là de l'autre côté déjà je vais soustraire 3x aux membres de droite donc il faut que je fasse la même chose aux membres de gauche et puis je vais aussi ajouter 15 à droite et donc bien sûr il faut pas que j'oublie d'ajouter 15 de l'autre côté du signe égal voilà alors maintenant je vais fermer addition ici j'obtiens x au carré - 10 x - 3 x et donnent moins 13 x et puis ici +21 +15 alors 21 +10 a fait 31 +5 ça fait 36 36 et de l'autre côté j'ai zéro du coup puisque j'avais fait tout tout exprès pour avoir zéro ici et donc j'obtiens cette équation là qui est beaucoup plus simple de la ré écrire ici xo carré - 13 x +36 égal 0 donc c'est un polynôme 2° 2 tu peux utiliser le discriminant si tu veux pour le factoriser pour trouver les racines de ce polynôme donc les solutions de cette équation là mais ici ce que je vais faire c'est comme tout à l'heure utilisé la technique de la somme et du produit en fait je cherche de nombre dont le produit est égale à 36 donc à x b doit être égale à 36 ce qui veut dire que a et b sont soit tous les deux positifs soient tous les deux négatifs et puis a + b doit être égale à moins 13 donc là en fait ça veut dire que a et b puisqu'ils sont de même signe ils sont forcément tous les deux négatifs alors j'ai une factorisation de 36 qui me vient à l'esprit c'est 9 x 4 ou plutôt moins neuf fois moins 4 et ça ça va marcher parce que moins neuf moins quatre ça fait bien moins 13 donc ce polynôme là en fait qui est ici je vais pouvoir le factoriser comme ça c'est x - 9 facteur 2 x - 4 donc mon équation c'est celle 6,9 facteur 2 x - 4 est égal à zéro donc là on trouve tout de suite ces solutions il faut que x soit égal à 9 ou de biens que x soit égal à 4 voilà donc ça ce sont les deux solutions qu'on obtient de notre équation mais il faut faire attention parce qu'en fait ce sont les solutions de cette équation là et nous ce qu'on a vu c'est que de toute façon notre équation n'a aucun sens si on prend la valeur x égale 4 ce qui veut dire que cette valeur là ici n'est pas une solution de notre équation c'est une solution de cette équation là mais pas de l'équation de départ qu'on avait ici donc la seule solution de cette équation là c'est celle ci x et gagnent 9