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Algèbre

Cours : Algèbre > Chapitre 4 

Leçon 2: Définir une suite arithmétique
Mathématiques
Algèbre
Les suites
Définir une suite arithmétique
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Établir une formule explicite qui définit une suite arithmétique

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Par exemple, comment établir la formule explicite de la suite 3, 5, 7.....
Prérequis : Définir une suite arithmétique par une formule.

Retour sur la formule explicite

Une forme explicite de la définition de la suite 3, comma, 5, comma, 7, comma, point, point, point est :
Pour tout n, ≥, 1, a, start subscript, n, end subscript, equals, 3, plus, 2, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis
n est un entier naturel supérieur ou égal à 1 et a, start subscript, n, end subscript est le terme d'indice n ou de rang n.
Pour trouver un terme de rang donné i, il suffit de remplacer n par i dans la formule.
Par exemple, pour calculer le cinquième terme, on remplace n par 5 :
a5=3+2×(5−1)=3+2×4=3+8=11\begin{aligned}a_{\greenE 5}&=3+2×(\greenE 5-1)\\\\ &=3+2\times4\\\\ &=3+8\\\\ &=11\end{aligned}
On peut vérifier que 11 est bien le cinquième terme de la suite.

À vous !

1) Calculer b, start subscript, 10, end subscript si une forme explicite de la définition de la suite left parenthesis, b, right parenthesis est : pour tout n, ≥, 1, b, start subscript, n, end subscript, equals, minus, 5, plus, 9, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
b, start subscript, 10, end subscript, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Etablir une formule explicite

Soit la suite arithmétique 5, comma, 8, comma, 11, comma, point, point, point Son premier terme est start color #0d923f, 5, end color #0d923f et sa raison est start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6.
A partir du premier terme qui est start color #0d923f, 5, end color #0d923f, on peut calculer de proche en proche chacun des termes de la suite en ajoutant à chaque fois la raison start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6 :
nCalcul du terme de rang n
1start color #0d923f, 5, end color #0d923fequals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, plus, 0, times, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, equals, 5
2start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 3, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, plus, 1, times, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, equals, 8
3start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 3, plus, 3, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, plus, 2, times, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, equals, 11
4start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 3, plus, 3, plus, 3, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, plus, 3, times, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, equals, 14
5start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 3, plus, 3, plus, 3, plus, 3, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, plus, 4, times, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, equals, 17
Le terme de rang n est égal à la somme du premier terme start color #0d923f, 5, end color #0d923f et du produit de la raison start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6 par n, minus, 1 : a, start subscript, n, end subscript, equals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 3, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
Une forme explicite de la définition de la suite left parenthesis, u, right parenthesis de premier terme u, start subscript, 1, end subscript, equals, start color #0d923f, a, end color #0d923f et de raison start color #ed5fa6, r, end color #ed5fa6 est :
u, start subscript, n, end subscript, equals, start color #0d923f, a, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, r, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis

À vous !

2) Une forme explicite de la définition de la suite 2, comma, 9, comma, 16, comma, point, point, point, de premier terme u, start subscript, 1, end subscript, est :
u, start subscript, n, end subscript, equals

3) Une forme explicite de la définition de la suite 9, comma, 5, comma, 1, comma, point, point, point, de premier terme v, start subscript, 1, end subscript, est :
v, start subscript, n, end subscript, equals

4) Une forme explicite de la définition de la suite arithmétique left parenthesis, w, right parenthesis est : pour tout n, ≥, 1, w, start subscript, n, end subscript, equals, minus, 6, plus, 2, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
Quel est le premier terme de cette suite ?
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
Quelle est sa raison ?
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Une formule explicite peut s'écrire de différentes façons

La forme explicite de la définition d'une suite arithmétique n'est pas unique.
Par exemple, voici des expressions de la formule explicite de la suite 3, comma, 5, comma, 7, comma, point, point, point :
  • 3, plus, 2, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis (comme on l'a vu plu haut)
  • 1, plus, 2, n
  • 5, plus, 2, left parenthesis, n, minus, 2, right parenthesis
Il est clair que ces expressions sont égales.
Mais ceci peut être une source d'erreur

Une erreur à ne pas faire

Si le premier terme de la suite est u, start subscript, 1, end subscript et si la formule explicite est sous la forme u, start subscript, n, end subscript, equals, a, plus, b, n, alors u, start subscript, 1, end subscript n'est pas égal à a et la raison de la suite n'est pas égale à b.
Par exemple, soit la suite 2, comma, 8, comma, 14, point, point, point, de premier terme u, start subscript, 1, end subscript, equals, start color #0d923f, 2, end color #0d923f et de raison start color #ed5fa6, 6, end color #ed5fa6.
Sa formule explicite est u, start subscript, n, end subscript, equals, start color #0d923f, 2, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 6, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis et non u, start subscript, n, end subscript, equals, start color #0d923f, 2, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 6, end color #ed5fa6, n qui définit une autre suite.
Pour écrire 2, plus, 6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis sous la forme a, plus, r, n, il suffit de développer et de réduire :
=2+6(n−1)=2+6n−6=−4+6n\begin{aligned}&\phantom{=}2+6(n-1)\\\\ &=2+6n-6\\\\ &=-4+6n\end{aligned}
La formule u, start subscript, n, end subscript, equals, minus, 4, plus, 6, n est plus courte que la formule u, start subscript, n, end subscript, equals, 2, plus, 6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis, mais l'avantage de la deuxième formule est de mettre en évidence le premier terme et la raison de la suite.

À vous !

5) Des écritures du deuxième membre de la formule explicite qui définit la suite 12, comma, 7, comma, 2, comma, point, point, point pour tout n, ≥, 1, sont :
Choisissez toutes les réponses possibles :

Un dernier exercice

6*) Quel est le 124, start superscript, start text, e, end text, end superscript terme de la suite arithmétique 199, 196, 193... ?
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

7*) left parenthesis, v, right parenthesis est une suite arithmétique. v, start subscript, 1, end subscript, equals, 5 et v, start subscript, 10, end subscript, equals, 59.
Quelle est la raison de cette suite ?
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

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