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Contenu principal

Des situations concrètes modélisées par une suite arithmétique ou géométrique

Transcription de la vidéo

ethan a envoyé par email une chaîne à 100 de ses amis en leur demandant de la faire suivre à leurs amis le lendemain et chacun des jours suivant le nombre de personnes qui ont reçu la chaîne a été supérieure de 20% au nombre de ceux qu'il avait reçu la veille ça veut dire que chaque jour le nombre de personnes qui reçoit la chaîne était augmenté d'à augmenté de 20% alors elle est un entier naturel et u2 n désigne le nombre de personnes qui ont reçu la chaîne le énième jours après l'envoi des tannes donc eu de n 1 c'est une suite numérique une suite de nombres ça représente le nombre de personnes qui ont reçu la chaîne le énième jours après l'envoi des talents quelle est la nature de la suite une arithmétique ou géométriques alors peut-être que tu répondes très rapidement à cette question là en faisant un raisonnement de tête et en disant simplement que comme chaque jour le nombre de personnes qui ont reçu la chaîne est supérieur de 100 de 20% au nombre de la veille mais en fait on obtient le nombre de personnes qui a reçu la chaîne un jour donné en prenant le nombre de personnes de la veille x 1,2 et donc effectivement tu pourra répondre que ça te donne une suite géométriques puisque chaque chaque terme nets obtenus à partir du précédent multipliant par un même nombre qui sera la raison alors c'est tout à fait le bon raisonnement qu'on va le détail est un petit peu pour être sûr qu'on comprenne bien alors je fais je vais en fait je vais faire un tableau de valeur je vais calculer les quelques premiers terme donc ici cn le rang du terme et là je vais m u2 n donc c'est le terme de rang n ici alors pour n égale 1 n égale 1 c'est en fait c'est le nombre de personnes à qui et anne a envoyé son son email c'est le jour 1 le premier jour et donc on sait que ce nombre là et bien c'est sens puisque ethan a envoyé son mail à 100 personnes voilà alors le jour 2 le deuxième jour et bien en fait ce que nous dit l'énoncé que c'est que le nombre de personnes qui a reçu la chaîne le deuxième jour est supérieur à celui ci de 20% donc on peut considérer qu ici on avait 100% masse en personne qui constitue 100 % des gens qui ont reçu le mail le premier jour et en fait ça va augmenter de 20 % donc on va passer en fait quand on augmente de 20% on se retrouve avec 120 % donc en fait le deuxième jour on à 120% de 2 ce nombre là donc 120% de sang ici ça fait 120 directement on peut calculer tout de suite et puis pour n égale trois donc le troisième jour et bien c'est toujours pareil le nombre de personnes a augmenté de 20% par rapport à la veille donc on va voir ici ce nombre-là + 20 % c'est-à-dire en fait 120 % de ce nombre là alors ça je peux le calcul et 120 pour cent vingt je vais faire 120 x 120 % alors 120% ses 1,2 dons mais j'ai multiplié sa part 1,2 voilà ça me donne 144 voilà bon je vais m'arrêter là je vais calculer ce nom je vais pas calculé d'autres termes de ça de suite ici ce qu'on peut voir c'est que pour passer du premier jour au deuxième jour on pourrait penser qu'on a ajouté 20 donc on pourrait penser que c'est le début d'une suite arithmétique mais ce qui se passe c'est que entre les termes de rang 2 et de rang 3 en fait on n'a pas ajouté 20 on a ajouté 24 donc ça ça suffit pour dire que c'est pas une suite arithmétique puisque on n'ajoute pas toujours la même chose pour passer d'un terme à ce au terme suivant par contre ici quand on est passé du terme de rang 1 au terme de rang 2 on a x 1,2 puisque c'est la définition en fait c'est ce qu'on nous dit ici dans l'énoncé on a augmenté de 20 % ça veut dire qu'on a on va finalement 120% donc on a multiplié par cent vingt pour cent c'est à dire x 1,2 et en fait d'après ce qu'on vient de voir c'est exactement ce qui se passe pour passer du terme de rang 2 au terme de rang 3 on a multiplié aussi par 1,2 et en fait les noms c'est ce qu'on prend comme ça pour avoir le terme de rang n est bien on prend le terme de rang et de moins et on le multiplie par 1,2 c'est à dire comprend 120 % voilà donc c'est effectivement une suite géométriques j'espère que c'est assez clair en ayant détaillé ça alors on va continuer on donne ci dessous l'expression général de la définition par récurrence d'une suite arithmétique et celle de la définition par récurrence d'une suite géométriques lorsque l' indice du premier terme et de la suite est un donc là on est bien entre dans ce cas là un indice du premier terme de la suite c'est le premier jour le jour 1 donc c'est bien le premier terme c'est bien un alors ici c'est les expressions général des définitions par récurrence de le cas de la suite arithmétique ça nous intéresse pas puisque nous on sait que notre suite et géométriques donc on va se concentrer sur cette partie là pour là c'est le cas de la suite géométriques donc ce qu'on a ici c'est g2 est née gala à 6 n est égal à 1 et puis j'ai deux n égale ag2r moins 1 fois r6 n est supérieur à 1 est ce qu'on nous demande c'est dans le cas de la suite de la suite q quelles sont les valeurs de à et r alors ici ah bien c'est le premier terme c'est le terme de rang un premier terme de la suite et dans notre cas c'est le nombre de personnes que qui ont reçu le mail le premier jour donc c'est en fait c'est le nombre de personnes à qui et ethan a envoyé son mail donc ici c'est sens puisqu'on nous dit que l'état n'a envoyé par email une chaîne 100 de ses amis donc le petit a ici c'est 100 et puis le petit air air ici et bien en fait ce qu on lit ici c'est que le terme de rang et ne s'obtient à partir du terme de rang n - en multipliant par air et air ici c'est ce qu'on appelle la raison c'est la raison de la suite géométriques et en fait pour nous battre d'après ce qu'on a vu à chaque fois on obtient un terme en prenant le précédent en multipliant par 1,2 donc pour nous la raison de notre suite une et bien c'est 1,2 donc le petit air ici c'est 1,2 voilà alors on va faire un autre exercice de ce genre là alors on va faire celui-ci un magasin de vêtements fait une promotion sur les t-shirts le premier tee shirt à acheter est au prix de 7 euros et chaque t-shirt supplémentaires acheté est au prix de 5 euros n est un entier naturelles et humaines désigne le prix de haine tee shirt quelle est la nature de la suite humaine alors on va faire un tableau de valeur je pense que c'est que c'est quand même toujours utile de faire un tableau dans lequel on recense les premières valeurs ça permet bon même si tu vois tout de suite quelle est la nature de la suite ça peut quand même être utile de faire un tableau de valeur alors ici je vais prendre je vais placer les leurs en des termes et ici je vais mettre le terme de rang n donc eu n alors pour n égale 1-1 pour n égale un humaine c'est le prix de 1 t-shirt et du coup comme il ya qu un t-shirt bas c'est forcément le premier tee shirt donc son prix c'est 7 euros 7 euros moi je vais pas je vais pas mettre les unités 1 cd euros et puis alors pour n égale 2 pour un égal 2 bien le nc le prix de deux t-shirts donc si on a deux t-shirts le premier coûte 7 euros et le deuxième coûte 5 euros donc en tout on va payer 12 euros 7 + 5 ça fait 12 alors je vais calculé le troisième terme pour n égale 3 on a donc trois tee shirts et le prix de humaine c'est le prix de trois tee-shirts le premier veau 7 euros le deuxième 5 et le troisième 5 donc en fait ce qu'on va avoir c'est le prix des deux premiers t-shirt qu'on a payé pour les deux premiers tee shirt c'est à dire 12 euros plus le prix du troisième qui est à 5 euros donc on va avoir ici 17 euros le nc 17 alors si on regarde ce qui se passe ici est bien pour passer du premier tee shirt du prix de 1 t-shirt au prix de deux t-shirts ce qu'on fait c'est qu'on ajoute 5 puisque c'est le prix du 2ème tee shirt et puis ensuite pour passer du prix de deux tee-shirts au prix de trois tee shirt mais en fait on ajoute juste le prix du troisième trimestre qui est de 5 euros puisque c'est pas le premier donc au niveau 5 euros donc on ajoute 5 euros voilà ajoute 5 et puis en fait tu vois que le motif est clair ici puisque si je prends un quatrième tee shirt si j'achète un quatrième t-shirt en fait ce quatrième t-shirt va coûter aux 6,5 euros donc pour trouver le terme de rang 4 le prix de 4 t-shirt je vais prendre le prix des trois premiers t-shirt + 5 euros donc ici je vais avoir 22 voilà donc eu 4 c'est 22 et on l'obtient à partir de 8,3 en ajoutant 5 donc tu vois que là vraiment c'est très clair pour calculer un terme et bien on prend le précédent et en ajoute 5 donc ici on a ici la suite eu n est arithmétique c'est une suite arithmétique alors quel est son terme général l'a en fait ce qu'on nous demande temps quand on demande quel est son terme général en fait il faut trouver une formule explicite qui dorment qui donne humaines en fonction de haine et du premier terme alors on va réfléchir un petit peu je vais écrire ça eût humaine comme ça u n est bien alors je vais partir du premier terme c'est le prix du premier tee shirt donc c'est cet euro voilà et puis ensuite ce qui se passe c'est que je vais ajouter la raison la raison ici de la suite tu es l'écrire ici la raison de notre suite c5 c5 puisqu'à chaque fois on ajoute 5 euros pour passer d'un terme au suivant alors du coup ce qui se passe c'est que pour exprimer le terme de rang n en fonction du premier terme eh bien je pars deux sets et je vais ajouter un certain nombre de fois la raison donc je vais je vais faire plus 5 x un certain nombre là je vais le mettre entre parenthèses et on va essayer de comprendre ce que c'est alors je regarde ici si je suis ici je veux calculé u2 donc le deuxième terme et bien en fait je suis le terme de rang 2 et je l'obtiens en partant du premier terme et en ajoutant une fois 5 si je veux calculé le terme de rang 3 en fait je pars du premier terme et j'ajoute une fois puis deux fois 5 2 fois la raison et si je regarde le quatrième terme est bien fait pour l'obtenir je peux partir du premier terme et ajouter une fois deux fois trois fois la raison trois fois 5 donc en fait si je veux le terme de rang 4 jeux j'ajoute trois fois la raison donc 4 moins une fois et ça c'est exactement ce qu'on doit faire on doit pour calculer le terme de rang et dont on va partir de cet été a ajouté ed moins une fois n moins une fois la raison 5 alors ce tangage a vraiment tout à l'heure je te disais que c'était utile de faire un tableau de valeur pour comprendre quelle était la nature de la suite mais c'est très utile aussi là pour ceux ne pas se tromper sur le nombre de fois où on ajoute la raison voilà donc pour être sûr d'avoir bien ce n moins inquiets là ça sera pas toujours le cas puisque ça dépend en fait du premier terme durant du premier terme dont on part voilà alors ici une fois que tu as trouvé une formule 1 tu peux entrer de toi vérifier que ça marche bien par exemple pour eu 5 je vais le faire ici ainsi je veux calculé le terme de rands 5 je peux partir du terme de rang 4 et ajouté cinq de plus cinq ça fait 27 et c'est effectivement ce qu'on trouve ici un puisque si je remplace n par cinq et bien ici je vais avoir 5 - 1 donc ça va faire 4 et je vais avoir 5 x 4 + 7 5 x 4 ça fait vingt +7 ça fait bien 27 donc ça c'est vraiment l'expression du terme de rang n l'expression général du terme de rang n alors je vais l'écrire ici c'est 7 + 5 x n - et voilà