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Une justification de la formule de la somme des termes d'une série géométrique

Transcription de la vidéo

dans cette vidéo je vais te montrer une autre manière de démontrer le résultat d'une série géométriques infinie donc pour rappel qu'est ce que c'est qu'une série géométriques infinie c'est la somme de cas est égal à zéro jusqu'à l'infini de a multiplié par r la raison puissance cas alors tu te rappelle aussi que salah cette série infinie et convergent donc attention attention elle ne converge que si que si la valeur absolue de air est plus petit que 1 c'est oui pourquoi parce que si je si j'écris ce que ce que vaut cette somme comme un ps ouais c'est up est ce bon qu'en cas est égal à zéro ça fait air puissance 0 ça fait 1 donc ça vaut à deuxième terme c'est pourquoi égal 1 donc ça fait à foix r ensuite plus à fond et rocard et plus etc etc etc maintenant imagine que si air air ne soit pas plus petit que la valeur absolue ne soit pas plus petit que par exemple un mais qu'est ce que ça va donner la somme si air vo un pile poil un air va valoir un air carré vaut 1 et c'est donc en fait on va se retrouver avec la somme qui est égal à a+ pas plus à plus à et jusqu'où jusqu'à l'infini puisque la somme on la calcule jusqu'à cas valant l'infini donc en fait on se retrouve avec une somme infinie de a donc évidemment la somme elle même vos l'infini elle ne convergent pas on ne peut pas dire ce qu'elle vaut donc la condition pour que ça vaille quelque chose de fini c'est que la valeur absolue de r soit plus petit que donc maintenant dans cette vidéo ce que je vais te montrer c'est la petite astuce pour calculer rapidement ce que vaut cette série géométriques c'est à dire la somme de tous les termes de la suite géométriques belle astuce c'est tout simplement da partir de s2 remue le type liés par r donc je fais r x sc ça vaut quoi ça ça vaut la même chose que ça mais x hier donc ça fait un frère sera là il vient à foix r le haf wire et devient à foix et rocard et la fois héros canadiens à frérot club et c'est avec ces terrains etc maintenant je continue l'astuce la suite de cette astuce de calcul c'est de soustraire ces deux équations alors qu'est ce qui se passe quand je souffre très bien je vais soustraire ce qui à gauche de l'égalité et ensuite ce qui à droite donc d'abord ce qui est à gauche ça fait s - rs voilà et ce qui est à droite là il faut remarquer qu'il ya tout un tas de termes qui reviennent en haut et en bas là par exemple le haf x herbe il est là aussi donc quand je vais faire à faux arrière - fouere ça va faire 1 0 non je vais faire à flots hérault quatre fois moins à foix et rocard et ça a fait 1-0 aussi donc en fait on s'aperçoit que tous les termes vont s'annuler tous les termes là puisqu'il ya une infinité vont s'annuler sauf que en bas il y en aura toujours un de plus cela au niveau de l'infini si on peut on peut le dire ainsi et qu'est-ce qui vaut ce terme là qui au niveau de l'infini et ben en fait il vaut zéro parce que le dernier terme ici c'est à foix air puissance carcan qu'attend vers l'infini mais air puissance cas qu'en cas tend vers l'infini qu'en cas tend vers l'infini ça vaut quoi mais puisque air la valeur absolue et puis le petit club à savon 0 donc en fait le dernier terme ensuite je suis qui correspond à la situation quatre ans vers l'infini le dernier terme temps lui-même vers 9h05 les derniers termes en fait on n'a pas besoin de s'en occuper la donc il reste quoi mr sk ici donc je simplifie s - rs paraissent facteur de 1 - r voilà ça vaut à est donc finalement la somme vaut à sur 1 - r donc ça c'est un résultat qui est quand même extraordinaire c'est à dire que une suite qui est un qui a une infinité de termes on arrive néanmoins à dire qu'elle va valoir une valeur finit donc ça c'est quelque chose qui paraît assez magique mais l'idée derrière c'est que il ya quand même une contrainte très forte c'est que la valeur absolue de l'erdre plus petit que 1 c'est ça qui nous assure la convergence de la série tout ça on peut on peut le comprendre en comprenant que les derniers termes là delà de la série tendre vers zéro donc la somme effectivement est finie et elle vaut assure 1 - r