Identifier deux systèmes équivalents

le professeur de mathématiques a demandé à deux de ses élèves tessa à hugo de résoudre un système d'équations linéaires après avoir effectué des opérations chaque élève a obtenu un système d'équations différents alors ici on a le système initial c'est celui du donnée par le professeur là on a le système auquel tessa est arrivé et puis ici le système auquel hugo est arrivé après des opérations sur ce système alors qui a obtenu un système équivalent à celui du professeur on rappelle que deux systèmes d'équations sont équivalents s'ils ont le même ensemble de couple solution c'est à dire qu'effectivement quand on a un système c'est pour chercher des solutions de ce système des couples de valeur solution de ce système est donc un système équivalent d'un système qui a les mêmes solutions donc on fait des manipulations des opérations sur ce système sur les lignes de ce système et on peut arriver quand même avec certaines opérations privilégié à un système qui a les mêmes solutions donc maintenant on va regarder les systèmes de tessa et d'hugo alors d'abord celui de tessa alors tessa est arrivé à ces deux équations là lorsqu on peut voir tout de suite c'est que la deuxième - x - 9 x pardon - 4 y égale 5,2 c'est exactement la première équation du procès du professeur donnée par le professeur donc ça s'est il n'y a pas de problème alors maintenant on va regarder la deuxième alors là c'est moins 8 x -26 grecque et gagnent 16 - 8x -26 grec égale 16 alors comment est-ce que tessa a pu passer de cette deuxième équation qui est ici à celle là comment est ce qu'elle a pu passer transformer cette équation si en celle ci est bien en fait si on regarde alors on peut on peut essayer de voir un on va ici écrire la première celle du professeur 2x plus 5 y égal moins 4 la deuxième set qu'obtient t ça c'est moins 8 x -26 grec égal moins 16 puis on va regarder un petit peu ce que ce qu on pourrait déduire en regardant terme par terme donc là ici on avait 2 x maintenant il y en a moins huit donc on l'a on dirait que en tout cas le terme en x a été multiplié par moins 4 puisque si je prends 2 x 6 x - cad j'obtiens - 8 x est en fait si je multiplie 5y par moins 4 je vais avoir un cinq fois moins quatre ça fait moins 20 donc je vais avoir moins 26 grecque ce qui effectivement ce qui est ce que tessa obtient ici et puis là j'ai moins 4 alors si je multiplie moins quatre par quatre mais je me suis trompé ici c'est pas elle n'a pas obtenu à -16 ici c'est un + 16 pour que fait effacer ça pardon voilà donc la deuxième dépression c'est bien celle là celle qui est ici donc ce que je disais c'est que on a moins quatre si on multiplie par moins 4 est bien moins quatre fois moins quatre ça fait 16 donc effectivement en fait chaque terme a été multiplié par moins 4 donc finalement ce qu'elle a fait et ça c'est que cette équation si elle la x -4 la multiplier chaque terme par moins 4 des deux côtés du signe égal et donc est ce que si on obtient un système équivalent ben oui puisque là en fait ces deux équations représente la même droite on a simplement x - cadre des deux côtés donc si on a une solution de cette équation si bien elle sera aussi une solution de cette équation l'a donc ces deux équations sont équivalentes 7 elle représente la même droite et finalement dans le système de tessa on a eu le droit à une équation de droite qui reste est la même et une autre qui est équivalente à la deuxième équation du système du professeur donc finalement ce système là il est équivalent à celui du professeur ce système là était qu'il veut équivalent à celui du professeur maintenant on va regarder ce qu'a fait hugo alors hugo il a obtenu ce système là - 7x plus y égal 1 alors celle là les nouvelles je sais on va regarder d'où elle vient d'où est ce qu'elle pourrait venir et puis il ya celle là 2x +55 y égal moins quatre et ça c'est la même que tout à l'heure 1 2x plus 5 y égal moins quatre c'est celle qui est la voix voilà donc là on se retrouve comme tout à l'heure avec une équation qui est la même que celle du système initial et une autre qui est transformé alors on va essayer de comprendre ce que hugo a pu faire pour arriver à cette équation là alors là il n'y a pas de enfin c'est pas une multiplication les coefficients ont pas été multiplié par un terme puisque là on est passé de -9 à -7 2 - 4 à 1 la demont pour par exemple là pour passer de 5 à 1 il aurait fallu / 5 et ce qui n'a pas été fait là pour x et y donc c'est pas une opération de ce genre là qui veut dire que c'est probablement une addition ou une soustraction des équations donc en fait ce que je vais faire c'est réécrire la première équation celle qui nous manque c'est moins 9 x - 4 y égal 5 ça c'est l'équation initiale du système du professeur celle là et puis maintenant je vais écrire l'équation à laquelle go est arrivé mais en fait je vais essayer de voir alors je vais l'écrire comme ça ici je vais mettre le résultat donc c'est moins 7 x plus y kiéthéga la voilà alors maintenant on va essayer de déterminer ce cas a ajouté ici ce cas a ajouté au soustrait hugo pour arriver à ce résultat là alors ici j'avais moins d'un fixe et maintenant il n'y a plus que moins cette xbox qui s'est passé forcément c'est que la hugo a ajouté 2 x il a ajouté 2 x donc il a fait + 2 x et puis ici bas il y avait moins quatre y maintenant on a un y on à y donc c'est un y donc pour passer de -4 y est y bat il a fallu ajouter 5 y donc ici il a fait + 5 y voilà et puis aux membres de droite pour passer de 5 à 1 il a dû soustraire 4 donc ici il a fait moins 4 voilà donc terme à terme c'est ce qui ce qui s'est passé où et quand tu fais les calculs comme ça en colonne et bien tu retrouves bien ce résultat qui est là alors ça est ce que c'est un système équivalent alors en fait ce qui s'est passé c'est que en substance ce qu'il a fait c'est que il a additionné cette équation est cette équation donc il a additionné la 1ère et la 2ème équation pour trouver cette troisième là et il l'a remplacé par le résultat de cette addition donc cette troisième équation alors ça effectivement ça donne un système équivalent au cid donc le système qui est ici obtenu par hugo et les équivalents aussi à celui du professeur alors pourquoi est ce qu on est on peut être sûr que c'est un système équivalent bien en fait c'est parce que quand on suppose on l'a ici on suppose que le couple xy vérifie s'est éteint une solution de ce système ça veut dire qu'ils vérifient les deux équations ça veut dire en particulier que pour ses valeurs de x et y 2 x + 5 y est bien c'est effectivement égal à moins 4 donc en fait ici quant à aux membres de gauche ici il ajoute cette quantité là ça c'est ce qu'ils ajoutent aux membres de gauche est bon pour avoir la même équation pour avoir une équation équivalente il faut qu'ils ajoutent la même chose de l'autre côté et effectivement puisque x et y sont une solution de cette équation là de la deuxième équation qui est ici et bien en fait 2 x +75 y pour ses valeurs de xy c'est effectivement à égal à -4 donc quand il ajoute moins quatre de l'autre côté eh bien il a effectivement ajouté la même chose des deux côtés donc si on part de cette équation là et qu'on ajoute la même quantité aude membres et bien on obtient une équation équivalente qui là est celle ci est la seule chose c'est que d'un côté du signe égal selon la quantité qu'il a ajouté il l'a exprimé en fonction de la solution du système alors que de l'autre côté là il a simplement mis il a simplement ajouté le nombre - 4 mais ces deux quantités là sont égales puisque x et y est une solution de cette équation la voilà donc finalement dans les deux cas un tessa et hugo tous les deux fait des des opérations valable puisque ils ont tous les deux obtenu des systèmes équivalents à celui du professeur