If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Si vous avez un filtre web, veuillez vous assurer que les domaines *. kastatic.org et *. kasandbox.org sont autorisés.

Contenu principal
Heure actuelle :0:00Durée totale :11:07

Identités conséquences des deux formules d'addition

Transcription de la vidéo

dans cette vidéo on va montrer qu'en conséquence de deux formules d'addition que j'ai écrites ici en jaune on va pouvoir démontrer pas mal d'autres identités trigonométriques alors on va commencer par ces deux là on verrait en bleu on va démontrer que caussinus de à - b là c'est la même chose que caussinus de a + b sauf qu'on va mettre un plus ici au lieu d'un mois et pareil pour simus 2-1 - b on obtient une formule qui ressemble à ses muses de a + b sauf que ceux plus devient un mois alors d'où est ce que ça vient ça vient des propriétés de symétrie des fonctions que sinus et sinus en fait caussinus de à - b on peut aussi le voir comme caussinus de a + l'angle - b on est d'accord et donc ça nous donne d'après cette formule en eau caussinus de à foix caussinus de moimbé - sinus de à foix sinus de l'angle - b alors caussinus de moimbé donc si ici on à l'angle b eh ben le cosinus de l'angle - b on voit que l'angle - b et l'englobé ils ont le même caussinus ils ont le même caussinus donc caussinus de moimbé c'est la même chose que caussinus de b donc ça ça devient tout simplement que si mu de b par contre le sinus de moimbé on voit que c'est l'opposé du sinus de b donc ici sinus de moimbé je dois le remplacer par - sinus de b c'est l'opposé du sinus 2b est là j'obtiens - fois moins donc ça me fait plus et j'obtiens bien ce que j'ai au dessus ici caussinus à foix caussinus b plus sinueuses de la fois si mu de b ok on va utiliser quelque chose de similaire pour démontrer la formule de ses muses de a moins baissé la même chose que si mu 2e à plus longue le moins b et ça nous donne quoi ça nous donne sinus de à foix caussinus de moimbé plus donc là je suis en train de répéter cette formule la plus caussinus de à foix sinus de moimbé et c'est exactement la même logique caussinus de moimbé ça devient la même chose que caussinus de b par contre si mu de moimbé ça devient moins sinus 2b et du cou eh bien on a on a ce plus qui devient un an - et on obtient la formule qu'on a qu'on a ici en haut à présent on va s'intéresser aux caussinus et au sinus du double d'un angle donc caussinus de deux fois l'angle à et on va faire caussinus de 2 ha de trois manières différentes qui nous intéresse puis une formule pour sinus de 2 ha on va démontrer ses quatre formules maintenant alors caussinus de 2 ha c'est la même chose que que sinus de a+ à a on est d'accord donc on peut utiliser notre formule d'addition de cosinus de a + b sauf qu'on va remplacer notre b par un a et on obtient donc connu sa foi caussinus a donc ça c'est tout simplement que ce muscat rai2 à caussinus à foix caussinus à qui va nous donner ici caussinus carré de à -6 muse de à foix sinus de à -6 nu sa foi sinus a donc voila quand même comment on obtient cette formule alors une fois qu'on a cette formule on peut utiliser une autre identité qu'on connaît qui est caussinus carré de a + sinus carré de à est égal à 1 pour passer de celle-ci à celle-là par exemple dans celle là on a envie de se débarrasser du sinus carré de à qu'on a ici donc on a qu à le remplacer par un - caussinus carré de a et on obtient caussinus de 2 ha est égal à caussinus carré de à auquel on ne va pas toucher moins entre parenthèses 1 - caussinus carré de à et donc on obtient bien caussinus carré de à -1 plus que sinus carey doit donc on obtient bien la formule qu'on a ici on obtient caussinus carey de à -1 plus que sinus carré de à qui est bien d'eux que c'est miss carey de à -1 alors maintenant comment est ce qu'on obtient celle ci est bien au lieu de remplacer sinus carré de à lui on va le laisser tranquille et on va remplacer caussinus carré de à parent - simus carré de a et on obtient caussinus de 2 ha en partant d'ici est égal à 1 - sinus carré 1 - sinus carré de à - sinus carré de a et donc on obtient bien la formule qu'on a ici caussinus de 2 ha est bien égal à 1 - sinus carré de a ensuite si mu de 2 à ses sinus de a+ à donc voyons voir ce que ça nous donne en utilisant cette formule de sinus de a + b en remplaçant b parra on obtient ainsi musa caussinus à sinus pas fois caussinus a plus que signera fascinus a plus que sinus à foix sinus à eybens on obtient deux termes qui sont sinus à foix caussinus avec un quart caussinus à face in usa c'est la même chose que signe sa foi caussinus a donc on obtient bien si mu de 2 ha est égal à 2 fois sinus à caussinus a démontré à présent tangente de a+ bettega la tangente de a+ tangente de b - / 1 - tangente de à tangente de b ok donc cette formule on l'obtient à la base en appliquant tout simplement la définition de la tangente d'un angle la tangente de a + b ça correspond à quoi ça correspond aux sinus de l'angle donc sinus de la plus b / caussinus de a + b à partir de là je vais donc substitué sinus de la plus belle par sa formule et caussinus de la plus belle part par sa formule et j'obtiens sinus à caussinus b plus que sinus à sinus b au numérateur et au dénominateur jeu tiens caussinus à caussinus b - sinus à ces news b ok à partir de là l'intuition c'est que j'aimerais obtenir tangente de a+ tangente d'eubée au numérateur comment est ce que je peux obtenir sa à partir de cette arme la tangente de a par exemple c'est si mu 2 assure caussinus a hélas ce que j'ai à la place c'est si moussa fois caussinus b donc j'ai envie de me débarrasser du cosmos b et 2 / caussinus a donc ce que j'aimerais effectué comme opération en haut et en bas pour maintenir la de l'équivalence de mon expression c'est de diviser c'est de faire une division par caussinus à caussinus b et là il faut espérer que je vais obtenir quelque chose qui ressemble à ça donc voilà ce que je vais faire comme opération en haut et en bas je vais x cette fraction qui est un sûr que si nu ça que sinus b alors qu'est ce qui va arriver donc déjà ce ceci lui ça il va devenir tangente de là alors on va noter on va noter sa sinus a / caussinus à j'obtiens tangente de a et on a ce caussinus b qui va c'est nul et avec ce côté news b très bien ici on a caussinus asinus b / caussinus à caussinus b alors on a connu ça et caussinus a qui vont s'éliminer et on va avoir ce qui nous reste si mu b / caussinus b effectivement on a un tangente de b donc là on se rapproche de la de la formule qu'on aimerait obtenir à la fin ensuite ici on a un caussinus à caussinus b qu'on divise par costinha caussinus bema super on obtient 1 c'est exactement ce qu'on voulait - quoi - sinus assure que sinus à ça ça va me donner tangente de a donc j'ai un tangente de à fois sinus b / caussinus b oui j'obtiens tangente de bcg réussi à démontrer la formule de la tangente de la somme de 2 angles et il me reste à te montrer une démonstration très simple qui est la formule de la tangente du double d'un angle tangente de 2 ha est égal à 2 tonnes à / 1 - tangente carey d'eux a alors il faut tout simplement utiliser la formule de la tangente de la somme de 2 angles en remplaçant bepa raïssi et j'obtiens quoi j'obtiens tangente de a + tangente de a / 1 - tangente de à foix tangente de a donc j'obtiens la formule en au carreau de mine est au numérateur j'ai bien deux fois la tangente 2a et au dénominateur j'ai bien un - la tangente carré de à