Équations paramétriques 2

donc dans la vidéo précédente on a vu un exemple où on pouvait décrire la trajectoire d'une voiture qui tombé d'une falaise par une équation paramétrique qui est x de thé est égal à 10 + 5 t et y doter est égale à 50 - 5t carrés où x et y est bien sont les positions dans leur paire xy en fonction du temps tait et on avait regardé graphiquement ce que donnait ses équations paramétrique donc je vais te juste faire un petit un petit dessin pour que tueur visualise qu'est-ce qu'on avait trouvé avant donc voila mon repère xy et on avait trouvé que et bien au temps t est égal à zéro la voiture était ici au temps t est égal à 1 la voiture est à peu près ici tu est égal à 2 ici était est égal à 3 ici on avait trouvé la trajectoire de la voiture qui ressemblait en fait à une demie parabole est donc ce qu'on aurait fait pour trouver cette équation là c'est qu'on avait dit que cet ensemble d'équations décrivait la trajectoire de la voiture pourrait bien tes supérieur à 0 est supérieur ou égal à 0 et est inférieur à égal à une valeur qui était quand la voiture touchait le sol ici et donc pour trouver la borne supérieure de thé ici ce qu'on avait fait c'est donc de résoudre l'équation y de thé est égal à zéro donc y que je te rappel c'est la hauteur ici de la voiture est donc bien ça s'arrête effectivement quand la voiture touche le sol donc y de thé est égal à zéro qu'est ce que c'est c'est 50 moins 5 des carrés est égal à zéro c'est à dire que 50 est égal à 5 t carré et donc 10 est égal techar et ce qui nous donne que eh bien tu es est égale à plus ou moins racines de 10 6 6 et comme on était intéressé que par les valeurs positives de thé bien tu étais borné à racine de 10 ses racines de 10 est à peu près 3,16 c'est ce qu'on avait trouvé tout à l'heure donc en fait cet ensemble d'équations décrit la trajectoire de la voiture kanté est compris entre 0 et racines de 10 pourtant ici en fait on s'est intéressés qu'un sous-ensemble de la courbe qui est décrit par cet ensemble d'équations c'est à dire qu'on pourrait aussi continuer à décrire cette courbe là pour des valeurs négatives de thé donc par exemple si je prends et bien tu es est égal à - 1 donc je peux calculer aussi une valeur pour x et y donc qu'est-ce que ça me donnerait ça me donnerait que tu est égal à moins d'un donc jour est 10 - 5 x 1 donc 10 - 5 ici donc 5 et pour y j'aurai 50 moins cinq fois moins un au carré c'est à dire 50.5 45 dont j'aurais aussi quelque chose de totalement symétrique ici et je retrouverai la même chose en fait pour tt gala -2 et -3 ici donc en fait de la courbe qui est décrite par cet ensemble d'équations paramétrique ce serait une parabole que je dessine ici en jaune voire peu près quelque chose comme ça donc cette parabole là et symétriques 1l l'aca se rend pas très bien graphiquement mais c'est totalement symétrique donc dans notre cas dans notre exemple de la voiture on avait borne est en fait notre part à mettre tes pour n'exprimer que eh bien cette partie là que je mets en rouge de la courbe qui est la chute de la falaise avant la voiture est bien on sait qu'elle roulait à plat sur la falaise ici donc on aurait eu un autre ensemble d'équations paramétrique pour décrire sa trajectoire est donc ce qu'on voit ici c'est que quand on ne borne pas les valeurs de thon peut regarder à quoi ressemble cette équation maintenant ce qu'on va faire c'est qu'on va essayer d'exprimer cet ensemble d'équations paramétrique comme une seule équation ou y est fonction de x donc la manière dont on va faire ça c'est que dans c'était dans ces équations là eh bien on va exprimer tu es en fonction de l'un des paramètres x ou y est on va remplacer tu es dans l'autre expression donc ici on voit que c'est plus facile d'exprimer t en fonction de discuter en fonction de y donc je vais exprimer t en fonction de x donc tu es en fonction de xo juste prendre une autre couleur qu'est ce que c'est bon ben là j'ai donc x est égal à 10 + 5 t donc x - 10 est égal à 5 t et donc tu es est égal à x moins dix sur cinq donc maintenant que j'ai cette expression la portée et bien je vais remplacer tu es dans l'équation de y de thé pour avoir y en fonction de x donc j'aurai y est égale à 50 moins 5 d'écart et donc moins 5 x sur cinq on va simplifier un peu moins dix sur cinq - 2 au carré donc j'ai simplifié un petit peu cette écriture donc j'ai y est égale à 50 moins cinq facteurs de xo carrés sur 25 moins 4/5 2x plus 4 juste développer ici l'identité remarquable à moimbé au carré donc si je continue à développer cette équation là j'aurai donc y est égale à 50 - x carrés sur cinq plus parce qu'ici je fais moins cinq fois moins 4/5 4x moins 20 et donc si je finis par écrire tout ça est bien j'aurai donc y est égal à est bien moins x carrés sur 5 + 4 x et 50 moins 20 ça nous fait plus 30 donc ici en fait je suis parti d'un ensemble d'équations paramétrique donc vous j'avais donc trois paramètres x y étais et j'ai éliminé le paramètre t pour exprimer irek en fonction de x et ça en fait et bien ça me donne la forme de cette courbe là la forme de la trajectoire et tu vas me dire c'est beaucoup plus simple en fait d'utiliser juste une seule équation au lieu de deux mais il faut que tu gardes en tête une chose c'est que quand tu utilises cette équation la y en fonction de x et bien tu perds de l'information c'est à dire tu perds l'information temporel cette équation la y en fonction de liste va te donner que la forme de la trajectoire d'un objet ici mais il ne va pas te dire à quelle position l'objet est pour une certaine valeur de t c'est à dire que si je te pose la question après 5 secondes de chute ou est l'objet eh bien tu vas pas pouvoir me répondre avec cette équation a par contre il va pouvoir le faire avec cet ensemble d'équations paramétrique donc voilà tout l'intérêt des équations paramétrique qui me disent que mon objet hat est égal à zéro est ici à thé est égal à 1 est ici at est égal à 2 est ici att à 3 est ici donc je sais qu'en fait la direction de la trajectoire de mon objet et dans ce sens là alors que dans cette équation là je perds en fait toute cette dimension temporelle donc voilà tout l'intérêt des équations paramétrer mais dans tous les cas maintenant tu sais bien comment on transforme des équations paramétrique en une seule c'est à dire en exprimant la position y en fonction de la position x