Exemple d'application de la formule sin² x + cos² x = 1

alors on te donne un angle teta qui est compris entre ces deux valeurs là -3 puis sur deux est moins pire et on te donne la valeur de son sinus on sait que sinus de teta est égal à un devis est là le but de notre exercice ici ça va être de déterminer la valeur de tangente et a alors je t'arrête tout de suite c'est pas la peine de trier sur ta calculatrice et de calculer l'angle d'état à partir de ce sinus de la connaissance de son sinus et ensuite de calculer tangente de teta puisque ce qu'on veut ici c'est une valeur exacte on veut une valeur exacte donc c'est pas on pourra pas utiliser la calculatrice qui ne donne que des valeurs approcher alors du coup qu'est ce qu'on peut faire je vais commencer par déjà essayer de visualiser mon angle teta qu'on me donne de cette manière là très indirecte mais en fait ça veut dire pas mal de choses sur cet angle alors je vais utiliser le cercle trigonométriques que j'ai dessiné ici donc avec le sens positif qui est anti horaire qui est le sens trigonométriques alors je te rappelle comment est-ce qu'on utilise ce cercle trigonométriques on part de cette branche là et on trace des angles donc en plaçant une autre branche quelque part comme ça sur le cercle trigonométriques pour former un angle est ce qu'on sait ici c'est que le sinus de tête de notre ongles c'est un demi sinus de teta est égal à 1,2 me ce qui veut dire que l'ordonné du point de ma deuxième branche et bien c'est un demi 1/2 tu vois que ça ça donne déjà pas mal d'indication sur l'angle puisque finalement 7,7 ordonné la madone 2.2 valeur possible pour les extraits l'extrémité de la seconde branche de moments alors ça peut être ce point là où ce point là si je prends ce point là eh bien tu vois que ici en fait ce que j'ai c'est un angle qui est compris entre 0 et pis sur deux puisque ça c'est un angle depuis sur donner un angle droit donc c'est pas ça peut pas être le thêta dont je parle par contre si je prends cet autre point là du coup la deuxième branche de mon anglais là la première est ici alors cette branche là elle matérialise en fait deux angles possibles le premier c'est cet angle là comme ça mais cet angle là ne peut pas être langue le thêta puisque c'est un angle dans la mesure est comprise entre pie sur deux épis donc pas du tout dans l'intervalle dans lequel trou se trouve notre d'état donc finalement l'angle que je représente de cette manière là c'est cet angle là voilà et cet angle là il est effectivement compris entre un angle de piquer un angle plat comme ça et un angle de -3 puis sur deux qui correspond à faire trois angles droits dans le sens négatif voilà donc finalement ça c'est l'angle teta c'est celui ci avec son sinus qui est égal à 1,2 me alors maintenant il faut qu'on trouve la valeur de tangente têtard alors tangente états en général la tangente d'un angle c'est le sinus de langon sinus ici de teta / le cosinus de cet angle donc ici caussinus de teta si l'état on le connaît c'est un demi est par contre on ne connaît pas caussinus de thé tape donc tout le truc ça va être de trouver une valeur de cosinus de teta alors si tu connais bien ton course de trigonométrie tu dois connaître quelques valeurs remarquables des angles et notamment tu dois savoir que sinus pis sur six c'est égal à 1,2 me donc cet angle là ici c'est pis sur six tu dois savoir aussi que dans ce cas là le cosinus de cet angle la piste sur six eh bien il est égal à racine de 3 sur deux racines de 3 sur deux ce qui veut dire que ici ça ses racines de 3 sur deux alors ça ça concerne l'angle pis sur 6 mais tu vois bien que notre angle teta en fait il a le même sinus que puis sur 6 le même sinus que cet angle là et son caussinus il est ici et en fait c'est l'opposé du caussinus de pi sur six donc finalement ce qu'on peut savoir c'est que le cosinus de teta et bien c'est moins racines de 3 sur deux voilà alors du coup tu peux calculer la tangente ses sinus l'état sur caussinus l'état donc c'est un demi sur - racines de 3 sur deux alors c'est un demi fois moins deux sur racine de 3 donc ça me donne moins un sur racine de 3 alors ça c'est pas très joli en général on préfère avoir des racines numérateur que vos dénominateur donc je vais simplifier sa en multipliant par racine de trois ans on est en bas ça me donne - racines de 3 sur 3 voilà ça c'est une première manière de faire qui marche si tu connais des valeurs remarquables si tu connais pas de valeur remarquable et le problème ça va être de d'exprimer le cosinus de teta alors il ya quelque chose que tu dois toujours avoir en tête c'est une relation importante la relation de pythagore en fait qui lit le sinus d'un angle et le cosinus d'un an plus exactement si tu connais le sinus et que tu cherche à déterminer le cosinus tu peux utiliser cette relation là le sinus carré d'un angle teta plus le cosinus carré d'un angle teta est égal à 1 voilà c'est d'identité de pythagore caussinus caresser cette distance là et le sinus caresser cette distance là donc c'est exactement le théorème de pythagore sept longueurs l'a élevée au carré plus sept longueurs l'a élevée au carré est égal à l'hypoténuse qu'ici vos seins puisqu'on est dans un sac trigonométriques donc pourquoi est ce que cette relation là est utile bien parce qu'elle permet de déterminer le cosinus de teta on va écrire tout simplement que le cosinus de teta élevée au carré et bien c'est un moins sinus carré de teta et ici sinus de thé tasse est égal à un demi donc sinus de teta élevée au carré ça fait un quart donc finalement le cosinus de teta élevée au carré c'est un moins un quart 1 - 1 car c'est à dire trois quarts alors maintenant je vais prendre la racine carrée aux deux membres de cette relation là caussinus de carre caussinus carré de teta égale trois quarts et ça me donne deux possibilités la première c'est que caussinus de teta soit égal à racine carrée de 3 sur racine carrée de 4 c'est-à-dire racines de 3 sur deux ou bien la deuxième possibilité c'est que le cosinus de teta soit égal à - racine carrée de trois-quarts donc moins racine carrée 2,3 sur deux alors la première possibilité et caussinus de teta égale racine carrée de 3 sur deux en fait elle correspond à la valeur teta égale pis sursis ce qui n'est pas comprise dans notre intervalles donc ça c'est pas notre solution à nous ce n'est pas une solution qui marche dans notre cas donc il reste celle là caussinus de teta égales - racine carrée de 3 / 2 et tu vois que de cette manière là on retrouve la valeur qu'on avait tout à l'heure à caussinus de teta égales - asim ii iii sur deux du coup maintenant on peut appliquer cette formule là et on trouve le même résultat que tout à l'heure voilà lorsque tu peux retenir de cette vidéo c'est que cette relation trigonométriques et bien elle peut se révéler très utile quand on tu connais le sinus et que tu veut calculer le cosinus ou bien là vers si tu connais le cosinus et que tu veut calculer le sinus