Pour vous tester.

1 - Les équations de la forme sin x=a\text{sin } x=a ou cos x=a\text{cos } x=a

Exemple : Résoudre l'équation sinx=0,55\sin x=0{,}55

A la calculatrice, en arrondissant au centième, on obtient :
x=sin1(0,55)=0,58x=\sin^{-1}(0{,}55)=0{,}58
(en radians.)
mais sin(πθ)=sin(θ)\sin(\pi-\theta)=\sin(\theta), donc la deuxième solution dans l'intervalle [0,2π][0,2\pi] est :
π0,58=2,56\pi-0{,}58=2{,}56
sin(θ+2π)=sin(θ)\sin(\theta+2\pi)=\sin(\theta) donc les deux familles de solutions sont :
x=0,58+n×2πx=0{,}58+n\times 2\pi
x=2,56+n×2πx=2{,}56+n\times2\pi
avec nn entier.

À vous !

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

2 - Les équations de la forme acos (bx)+c=da\,\text{cos } (bx) +c=d ou asin (bx)+c=da\,\text{sin } (bx)+c=d

Exemple : Résoudre l'équation 16cos(15x)+8=216\cos(15x)+8=2

On réduit les termes semblables :
16cos(15x)+8=216cos(15x)=6cos(15x)=0,375\begin{aligned}16\cos(15x)+8&=2\\\\ 16\cos(15x)&=-6\\\\ \cos(15x)&=-0{,}375\end{aligned}
A la calculatrice, en arrondissant au millième, on obtient :
cos1(0,375)=1,955\cos^{-1}(-0{,}375)=1{,}955
mais cos(θ)=cos(θ)\cos(-\theta)=\cos(\theta), donc la deuxième solution dans l'intervalle [π,π][-\pi, \pi] est 1,955-1{,}955.
cos(θ)=cos(θ+2π\cos(\theta)=\cos(\theta+2\pi), donc on obtient pour la première famille des solutions :
15x=1,955+n×2πx=1,955+n×2π15x=0,130+n×2π15\begin{aligned} 15x&=1{,}955+n\times 2\pi \\\\ x&=\dfrac{1{,}955+n\times2\pi}{15} \\\\ x&=0{,}130+n\times\dfrac{2\pi}{15} \end{aligned}
De même, la deuxième famille des solutions est : x=0,130+n×2π15x=-0{,}130+n\times\dfrac{2\pi}{15} .

À vous !

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

3 - Des exercices concrets

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.
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