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Coordonnées cartésiennes du vecteur somme de vecteurs donnés en coordonnées polaires

Transcription de la vidéo

on a là deux vecteurs sur lesquels on a trois informations on connaît leurs normes la norme du vecteur ac3 la norme du vecteur bc2 on connaît leur sang ce qui est indiqué par les flèches et puis on connaît leur direction ici et c'est 30 degrés par rapport à un axe horizontal ici c'est 135 degrés par rapport à ce même axe horizontal avec ces informations on va réfléchir aux caractéristiques de la somme de ces deux lecteurs la somme du vecteur a plus le vecteur b je t'invite évidemment à mettre pause sur la vidéo et à réfléchir à sa part toi même pour commencer on va des composés chacun de ces vecteurs en déterminant leurs deux composantes correspondant au déplacement horizontal et au déplacement vertical pour le vecteur à d'abord on se déplace horizontalement en suivant ce vecteur l'a ensuite on se déplace verticalement en suivant ce vecteur là ce vecteur horizontale c'est le vecteur unitaire y que l'on a redimensionné donc ce vecteur va être ya là quelque chose fois le vecteur unitaire horizontale i même chose pour le vecteur verticale c'est le vecteur unitaire j que l'on a redimensionné donc ce vecteur va être égal à quelque chose soit le vecteur unitaire verticale j même chose pour le vecteur b on a d'abord en déplacement horizontal qui va être égal à quelque chose fois le vecteur unitaire i on a ensuite un vecteur verticale qui est égal à quelque chose fois le vecteur unitaire verticale j mais alors comment est ce qu'on détermine ses coefficients qui nous permette de redimensionner les vecteurs unitaire d'abord il faut déterminer la norme de ses lecteurs horizontaux et verticaux tu as peut-être remarqué ici un triangle 30 60 90 ça veut dire que ce côté là c'est la moitié de l'hypoténuse l'hypothénuse la longueur de l'hypothénuse ces trois donc ce côté là c'est 3,2 me la longueur de ce côté-là ses racines carrées de trois fois la longueur du plus petit côté c'est-à-dire ce côté là c'est donc trois fois racine carrée de 3 sur deux comme je te les 10 ha vient du fait qu'on est dans le cas d'un triangle 30 60 60 degrés 90 degrés si tu n'avais pas remarqué ça tu aurait aussi pu utiliser des connaissances au trigonométrie c'est-à-dire saut car toi au départ dans ce triangle là on connaissait la mesure de cet angle cet angle de 30 degrés donc le sinus de 30 degrés c'est égal à la longueur du côté opposé qui est ce côté là sur la longueur de l'hypothénuse ces trois ans multipliant par trois de chaque côté on obtient la longueur du côté opposé qui est égale à trois voies sinus de 30 degrés avec de la calculatrice on trouve que sinus de 30° c est un demi donc la longueur du côté opposé ces trois fois un devis c'est bien trois demies comme ceux qu'on a noté ici on peut aussi déterminer la longueur du côté adjacent à eux du côté adjacent à l'angle que nous connaît donc ce côté-là caussinus de 32 grèce est égale à la longueur du côté adjacent sur la longueur de l'hypothénuse 3 en multipliant par trois de chaque côté on trouve que la longueur du côté adjacent c'est égal à 3 fois caussinus de 30° à l'aide de la calculatrice on trouve que caussinus de 30 degrés cet égard à la racine carrée de 3 sur deux la longueur du côté adjacent donc de ce côté là c'est bien 3 enfin racine carrée tous trois sur deux on peut vérifier ça avec une calculatrice sinus de 30° c bien égal à 0.5 1-2 caussinus de 30 degrés alors là on trouve un nombre décimal à rallonge mais si on calcule si on calcule la racine carrée de 3 sur deux on trouve ce même nombre à allonge ce qui montre bien que caussinus de 30° c est égal à racine carrée de 3 sur deux on passe à ce triangle ici on n'a pas directement la mesure d'un angle du triangle mais on sait que cet angle ici eh bien ces langues le supplémentaire à celui ci mesure 135 degrés donc cet angle c'est 180 degrés - 135 degrés c'est donc 45 degrés ici on a un angle droit donc en angle de 90 degrés et donc ici aussi c'est un angle de 45° puisqu'on sait que la somme de tous les angles d'un triangle fait 180 degrés on peut là encore utiliser les relations trigonométriques la longueur de ce côté c'est deux fois caussinus de 45 degrés et la longueur de ce côté là c'est deux fois sinus de 45° sinueuses de 45° ses racines carrées de 2 sur 2 à l'aide de la calculatrice on trouve encore une fois un nombre décimal à rallonge mais comme on est dans un triangle 45 45 90 on sait que la longueur des deux autre côté c'est égal à la longueur de l'hypoténuse fois racine carrée de 2 donc la longueur de ce côté et bien ses racines carrées de 2 et la longueur de ce côté ses racines carrées de maintenant qu'on connaît les composantes de nos deux vecteurs on peut réécrire ses vecteurs sous forme de somme alors d'abord le vecteur à et bien le vecteur à ça correspond d'abord à un vecteur horizontale on a pour ce vecteur horizontale ici on a redimensionné le vecteur unitaire y par trois fois racine carrée 3 / 2 va donc trois fois racine carrée de 3 sur deux fois le vecteur militaires y plus le vecteur verticale plus le vecteur verticale même chose un ce vecteur verticale c'est le vecteur unitaire giraud dimensionné par trois demis plus 3/2 fois le lecteur unitaire j en ajoutant ces deux vecteurs le vector horizontal est le vecteur verticale on obtient en effet le vecteur même chose pour le vecteur b même chose pour le vecteur b le vecteur b est égal à alors d'abord on a un vecteur horizontale valeur attention ici à la norme de ce vecteur horizontale ses racines carrées de 2 sauf que ce vecteur nous emmène vers la gauche donc en fait ce vecteur c'est moins racine carrée de deux fois le vecteur unitaire y puisque le vecteur unitaire qui par convention va vers la droite donc le vecteur bct gala - racine carrée de deux fois le vecteur y plus le vecteur verticale ici ses racines carrées de deux fois j racines carrées de deux fois j'ai maintenant qu'on a décomposé ces vecteurs on peut les additionner alors le vecteur a + b c'est égal à est bien ici il suffit d'additionner ces deux expressions alors je vais essayer de les copier de les coller ça m'évitera de lire écrire d'abord le vecteur à d'abord le vecteur a plus plus lever harb et plus le vecteur b que je vais te voir peut-être ajouter à la suite voilà ça devrait rentrer comme ça alors plus le vecteur met donc on a le vecteur a plus le vecteur b on peut peut-être rien arranger tout ça est regroupé des termes en y et les termes en j on a donc cette somme on a donc cette somme qui est égal à alors pour les termes en ique est ce qu'on a on a trois fois racine carrée de 3 / 2 + moi racine carrée de 2,3 fois racine carrée de droit sur deux mois racine carrée de deux fois le vecteur qui plus est pour les termes en j on a trois demis plus racine carrée de 2 donc trois demis plus racine carrée de deux fois le vecteur j ça a l'air d'un calcul en petit peu compliqué mais avec une calculatrice on peut obtenir un résultat pour la composante horizontal et pour la composante verticale de ce vecteur a + b dans la prochaine vidéo on s'amusera à déterminer les caractéristiques de ce vecteur