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Coordonnées polaires d'un vecteur

Pour vérifier si vous avez bien compris et mémorisé.
Norme du vecteur de coordonnées left parenthesis, a, comma, b, right parenthesis
\mid, \mid, left parenthesis, a, comma, b, right parenthesis, \mid, \mid, equals, square root of, a, squared, plus, b, squared, end square root
Mesure comprise entre minus, 90, ° et 90, ° de l'angle polaire du vecteur de coordonnées left parenthesis, a, comma, b, right parenthesis
theta, equals, start text, a, r, c, t, a, n, end text, left parenthesis, start fraction, b, divided by, a, end fraction, right parenthesis
Coordonnées cartésiennes du vecteur de norme \mid, \mid, u, with, vector, on top, \mid, \mid et dont une mesure de l'angle polaire est theta
left parenthesis, \mid, \mid, u, with, vector, on top, \mid, \mid, cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis, comma, \mid, \mid, u, with, vector, on top, \mid, \mid, sine, left parenthesis, theta, right parenthesis, right parenthesis\operatorname{}

Les coordonnées polaires

Rappel : Dans un repère d'origine O, si M, left parenthesis, a, space, ;, b, right parenthesis est le point tel que u, with, \overrightarrow, on top, equals, O, M, with, \overrightarrow, on top, alors le couple de coordonnées cartésiennes du vecteur u, with, \overrightarrow, on top est le couple left parenthesis, a, space, ;, b, right parenthesis.
Le vecteur u, with, \overrightarrow, on top peut aussi être défini par sa start color #11accd, start text, n, o, r, m, e, end text, end color #11accd et son start color #1fab54, start text, a, n, g, l, e, space, p, o, l, a, i, r, e, end text, end color #1fab54 :
Le plan étant muni du repère left parenthesis, O, space, ;, i, with, \overrightarrow, on top, space, ;, j, with, \overrightarrow, on top, right parenthesis, si u, with, \overrightarrow, on top, equals, O, M, with, \overrightarrow, on top, la start color #11accd, start text, n, o, r, m, e, end text, end color #11accd du vecteur u, with, \overrightarrow, on top est la longueur O, M, et son start color #1fab54, start text, a, n, g, l, e, space, p, o, l, a, i, r, e, end text, end color #1fab54 est l'angle orienté left parenthesis, i, with, \overrightarrow, on top, space, ;, O, M, with, \overrightarrow, on top, right parenthesis.
La norme du vecteur u, with, vector, on top est notée vertical bar, vertical bar, u, with, vector, on top, vertical bar, vertical bar.
.
.

1 : Norme d'un vecteur de coordonnées données

Le théorème de Pythagore permet d'établir que si le couple de coordonnées du vecteur u, with, \overrightarrow, on top est left parenthesis, a, space, ;, b, right parenthesis, alors
vertical bar, vertical bar, u, with, \overrightarrow, on top, vertical bar, vertical bar, equals, square root of, a, squared, plus, b, squared, end square root
Par exemple, la norme du vecteur de coordonnées left parenthesis, 3, space, ;, 4, right parenthesis est square root of, 3, squared, plus, 4, squared, end square root, equals, square root of, 25, end square root, equals, 5.
Exercice 1.1
  • Actuelle
Quelle est la norme du vecteur u, with, vector, on top de coordonnées left parenthesis, 1, space, ;, 7, right parenthesis ?
vertical bar, vertical bar, u, with, vector, on top, vertical bar, vertical bar, equals

On demande soit sa valeur exacte, soit sa valeur approchée arrondie au centième.

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

2 : Angle polaire d'un vecteur de coordonnées données

Pour calculer la mesure de l'angle polaire on utilise la fonction start text, a, r, c, t, a, n, g, e, n, t, e, end text. Mais il ne faut pas oublier que quel que soit θ, start text, t, a, n, end text, left parenthesis, θ, plus, k, ×, 180, °, right parenthesis, equals, start text, t, a, n, space, end text, θ et que la fonction arctangente renvoie celle de ces mesures qui est comprise entre minus, 90, ° et 90, ° (ou entre minus, π, slash, 2 et π, slash, 2). Il faut donc parfois ajouter soit 180, ° (ou π), soit 360, ° (ou 2, π) à la valeur de la fonction arctangente obtenue.
theta, equals, start text, a, r, c, t, a, n, end text, left parenthesis, start fraction, b, divided by, a, end fraction, right parenthesis\operatorname{}
On obtient ce résultat en utilisant les rapports trigonométriques dans le triangle rectangle.

Exemple 1 : M est dans le Quadrant start text, I, end text

La mesure de l'angle polaire du vecteur de coordonnées left parenthesis, 3, space, ;, 4, right parenthesis est :
start text, a, r, c, t, a, n, end text, left parenthesis, start fraction, 4, divided by, 3, end fraction, right parenthesis, approximately equals, 53, degrees\operatorname{}

Exemple 2 : M est dans le Quadrant start text, I, V, end text

A la calculatrice, on obtient :
start text, a, r, c, t, a, n, end text, left parenthesis, start fraction, minus, 4, divided by, 3, end fraction, right parenthesis, approximately equals, minus, 53, degrees\operatorname{}
Pour obtenir la mesure désirée, on ajoute 360, degrees :
minus, 53, degrees, plus, 360, degrees, equals, 307, degrees

Exemple 3 : M est dans le Quadrant start text, I, I, end text

A la calculatrice, on obtient :
start text, a, r, c, t, a, n, end text, left parenthesis, start fraction, 4, divided by, minus, 3, end fraction, right parenthesis, approximately equals, minus, 53, degrees\operatorname{}
Pour obtenir la mesure désirée, on ajoute 180, degrees.\operatorname{}
minus, 53, degrees, plus, 180, degrees, equals, 127, degrees
Exercice 2.1
  • Actuelle
Quelle est la mesure en degrés de l'angle polaire de u, with, vector, on top, equals, 5, i, with, \overrightarrow, on top, plus, 8, j, with, \overrightarrow, on top ?\operatorname{}\operatorname{}
theta, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
degrees
La réponse doit être comprise entre 0, degrees et 360, degrees, et arrondie au centième.

Pour vous entraîner, faites ces exercices.

Passer des coordonnées polaires aux coordonnées cartésiennes

Le couple de coordonnées cartésiennes du vecteur u, with, \overrightarrow, on top dont la norme est vertical bar, vertical bar, u, with, \overrightarrow, on top, vertical bar, vertical bar et dont une mesure de l'angle polaire est θ est :
left parenthesis, vertical bar, vertical bar, u, with, vector, on top, vertical bar, vertical bar, cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis, space, ;, vertical bar, vertical bar, u, with, vector, on top, vertical bar, vertical bar, sine, left parenthesis, theta, right parenthesis, right parenthesis\operatorname{}
On obtient ce résultat en utilisant les rapports trigonométriques dans le triangle rectangle.
Le couple de coordonnées du vecteur de norme start color #11accd, 2, end color #11accd, dont une mesure de l'angle polaire est start color #1fab54, 30, degrees, end color #1fab54 est :
left parenthesis, start color #11accd, 2, end color #11accd, cosine, left parenthesis, start color #1fab54, 30, degrees, end color #1fab54, right parenthesis, space, ;, start color #11accd, 2, end color #11accd, sine, left parenthesis, start color #1fab54, 30, degrees, end color #1fab54, right parenthesis, right parenthesis, equals, left parenthesis, square root of, 3, end square root, space, ;, 1, right parenthesis
Exercice 3.1
  • Actuelle
u, with, vector, on top, approximately equals, left parenthesis, space
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
space, ;
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
right parenthesis
On demande des valeurs approchées arrondies au centième.

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

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