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Coordonnées polaires d'un vecteur
Pour vérifier si vous avez bien compris et mémorisé.
| Norme du vecteur de coordonnées left parenthesis, a, comma, b, right parenthesis | ||
| \mid, \mid, left parenthesis, a, comma, b, right parenthesis, \mid, \mid, equals, square root of, a, squared, plus, b, squared, end square root | ||
| Mesure comprise entre minus, 90, ° et 90, ° de l'angle polaire du vecteur de coordonnées left parenthesis, a, comma, b, right parenthesis | ||
| theta, equals, start text, a, r, c, t, a, n, end text, left parenthesis, start fraction, b, divided by, a, end fraction, right parenthesis | ||
| Coordonnées cartésiennes du vecteur de norme \mid, \mid, u, with, vector, on top, \mid, \mid et dont une mesure de l'angle polaire est theta | ||
| left parenthesis, \mid, \mid, u, with, vector, on top, \mid, \mid, cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis, comma, \mid, \mid, u, with, vector, on top, \mid, \mid, sine, left parenthesis, theta, right parenthesis, right parenthesis |
Les coordonnées polaires
Rappel : Dans un repère d'origine O, si M, left parenthesis, a, space, ;, b, right parenthesis est le point tel que u, with, \overrightarrow, on top, equals, O, M, with, \overrightarrow, on top, alors le couple de coordonnées cartésiennes du vecteur u, with, \overrightarrow, on top est le couple left parenthesis, a, space, ;, b, right parenthesis.
Le vecteur u, with, \overrightarrow, on top peut aussi être défini par sa start color #11accd, start text, n, o, r, m, e, end text, end color #11accd et son start color #1fab54, start text, a, n, g, l, e, space, p, o, l, a, i, r, e, end text, end color #1fab54 :
Le plan étant muni du repère left parenthesis, O, space, ;, i, with, \overrightarrow, on top, space, ;, j, with, \overrightarrow, on top, right parenthesis, si u, with, \overrightarrow, on top, equals, O, M, with, \overrightarrow, on top, la start color #11accd, start text, n, o, r, m, e, end text, end color #11accd du vecteur u, with, \overrightarrow, on top est la longueur O, M, et son start color #1fab54, start text, a, n, g, l, e, space, p, o, l, a, i, r, e, end text, end color #1fab54 est l'angle orienté left parenthesis, i, with, \overrightarrow, on top, space, ;, O, M, with, \overrightarrow, on top, right parenthesis.
La norme du vecteur u, with, vector, on top est notée vertical bar, vertical bar, u, with, vector, on top, vertical bar, vertical bar.
1 : Norme d'un vecteur de coordonnées données
Le théorème de Pythagore permet d'établir que si le couple de coordonnées du vecteur u, with, \overrightarrow, on top est left parenthesis, a, space, ;, b, right parenthesis, alors
Par exemple, la norme du vecteur de coordonnées left parenthesis, 3, space, ;, 4, right parenthesis est square root of, 3, squared, plus, 4, squared, end square root, equals, square root of, 25, end square root, equals, 5.
Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.
2 : Angle polaire d'un vecteur de coordonnées données
Pour calculer la mesure de l'angle polaire on utilise la fonction start text, a, r, c, t, a, n, g, e, n, t, e, end text. Mais il ne faut pas oublier que quel que soit θ, start text, t, a, n, end text, left parenthesis, θ, plus, k, ×, 180, °, right parenthesis, equals, start text, t, a, n, space, end text, θ et que la fonction arctangente renvoie celle de ces mesures qui est comprise entre minus, 90, ° et 90, ° (ou entre minus, π, slash, 2 et π, slash, 2). Il faut donc parfois ajouter soit 180, ° (ou π), soit 360, ° (ou 2, π) à la valeur de la fonction arctangente obtenue.
theta, equals, start text, a, r, c, t, a, n, end text, left parenthesis, start fraction, b, divided by, a, end fraction, right parenthesis
On obtient ce résultat en utilisant les rapports trigonométriques dans le triangle rectangle.
Exemple 1 : M est dans le Quadrant start text, I, end text
La mesure de l'angle polaire du vecteur de coordonnées left parenthesis, 3, space, ;, 4, right parenthesis est :
start text, a, r, c, t, a, n, end text, left parenthesis, start fraction, 4, divided by, 3, end fraction, right parenthesis, approximately equals, 53, degrees
Exemple 2 : M est dans le Quadrant start text, I, V, end text
A la calculatrice, on obtient :
start text, a, r, c, t, a, n, end text, left parenthesis, start fraction, minus, 4, divided by, 3, end fraction, right parenthesis, approximately equals, minus, 53, degrees
Pour obtenir la mesure désirée, on ajoute 360, degrees :
Exemple 3 : M est dans le Quadrant start text, I, I, end text
A la calculatrice, on obtient :
start text, a, r, c, t, a, n, end text, left parenthesis, start fraction, 4, divided by, minus, 3, end fraction, right parenthesis, approximately equals, minus, 53, degrees
Pour obtenir la mesure désirée, on ajoute 180, degrees.
Pour vous entraîner, faites ces exercices.
Passer des coordonnées polaires aux coordonnées cartésiennes
Le couple de coordonnées cartésiennes du vecteur u, with, \overrightarrow, on top dont la norme est vertical bar, vertical bar, u, with, \overrightarrow, on top, vertical bar, vertical bar et dont une mesure de l'angle polaire est θ est :
left parenthesis, vertical bar, vertical bar, u, with, vector, on top, vertical bar, vertical bar, cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis, space, ;, vertical bar, vertical bar, u, with, vector, on top, vertical bar, vertical bar, sine, left parenthesis, theta, right parenthesis, right parenthesis
On obtient ce résultat en utilisant les rapports trigonométriques dans le triangle rectangle.
Le couple de coordonnées du vecteur de norme start color #11accd, 2, end color #11accd, dont une mesure de l'angle polaire est start color #1fab54, 30, degrees, end color #1fab54 est :
Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.
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à l'exercise 2.3 pourquoi la réponse utilise des données différentes de celles données au problème? (-10, 7) la solution devient : arctan(-9/-10)(4 votes)- C'était une coquille ! Je l'ai corrigée.
Le bon énoncé sera en ligne à la prochaine mise à jour du site.
Merci à vous de l'avoir signalée.(2 votes)