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Le taux de variation d'une fonction

Transcription de la vidéo

alors ici les traces et les graphiques de deux fonctions de fonctions différentes on va supposer que c'est en fait elle reprit ses deux fonctions représente la distance parcourue par un certain objet au cours du temps donc là en abscisse j'ai mis le temps le tenter et qui sera exprimée en seconde et puis là en ordonner c'est la distance qui sera exprimée en mètre et là c'est exactement la même chose alors dans le premier cas on a cette fonction-là d2t qui est égal à 3 tu es plus donc elle est représentée ici on peut essayer de voir les images de certains points par exemple aux tentes est égal à zéro la distance c'est un mètre à celle ordonnée à l'origine c'est ici voilà donc ça c'est la distance aux tentes est égal à zéro si je veux trouver la distance aux tentes est égal à 1 donc tu est égal à 1 c'est ici donc ça sera en fête ce point là voilà et on peut calculer sont ordonnés enfin on peut la lire ici ces quatre là ce qu'on lit ses cadres mais ce n'est pas très précis par contre on peut la calculer directement par ici des 2 1 ça va être trois fois 1 + 1 donc trois fois ça fait 3 + 1 ça fait 4 donc c'est bien ça je peux placer aussi d'autres points par exemple la distance at est égal à 2 la distance parcourue ou de deux secondes on va dire eh bien on va la lire ici voilà sur le graphique comme ça est bon pour la place et précisément en fait il vaut mieux utiliser la formule puisque des 2 2 c'est la distance aux tentes et égale 2 ce sera trois fois 2 + 1 3 fois 2 7 v6 plus un ça fait cette voie là alors on va s'intéresser ici à ce qu'on appelle le taux de variation le taux de variation de la distance en fonction du temps ici en d'autres termes on va regarder de combien on se déplace au cours d'un certain d'un certain laps de temps donc ce qu'on va essayer de calcul est en fait celle exprès la variation de la distance à ce que la note comme sa variation delta décès la variation de la distance sur une certaine variation de tampon autour d'une certaine variation de temps que j'avais noté comme ça de delta tessa c'est ce qu'on appelle le taux de variation de la fonction d ici alors on va le calcul et en certains points par exemple si je regarde cet intervalle de temps là entre 0 et et une seconde donc ici en fait delta t dans ce cas la delta pts et ça sera égal à 1 puisque s'il s'est passé il ya une seconde entre le point de départ et le point d'arrivée qu'on considère et on va regarder maintenant de combien la distance a varié donc la distance parcourue on la retrouve ici un sas et cette hauteur là et bien ça c'est delta des et on peut le lire ici c'est la différence d'ordonner à entre ce point le point de départ qui est ici est le point d'arrivée qui est là donc en fait c'est 4 - 1 c'est à dire 3 3 du coup si je veux calculé delta des sur delta t est en fait dans ce cas là ça sera 3 donc ces trois en maître sur l'intervalle de temps qui est une seconde donc 3 sur un an qu'on peut écrire aussi trois directement et en fait ici donc ça sera la distance s'est exprimée en mètre ça c'est des maîtres et ça c'est des seconds voilà donc finalement ce que tu vas avoir aussi ici c'est 3 mètres par seconde trois mètres se diviser par une seconde donc cédé 7 ça veut dire trois mètres par seconde et d'ailleurs je pense que tu a reconnu que la en fait on a une variation de distance sur une variation de temps c'était c'est ce qu'on appelle en général la vitesse moyenne donc c'est la vitesse moyenne entre l'instant zéro et l'instant 1 alors maintenant on va les calculs et on va regarder ce qui se passe si on calcule le taux de variation dans un pendant un autre intervalle de temps va se placer par exemple entre je vais prendre une couleur un peu différente on va se placer ici entre les intérêts entre le temps égal 1 et le tenter égal 2 alors donc delta t c'est toujours une seconde j'ai toujours fait varier le temps de une seconde augmenter le temps d'une seconde et on va regarder maintenant le la variation de distance qui est cet auteur la distance là et en fait on voit que comme tout à leur bain c'est la différence entre 7 et 4 donc sept mois 4 c'est à dire 3 donc finalement on retrouve encore une fois le même taux de variation que total alors ça c'est des choses que tu connais je pense et je pense aussi que tu peux tu peux te rendre compte qu'en fait si tu va calculer ce taux de variation de la distance par rapport au temps à n'importe quel endroit ici pour n'importe quel intervalle de temps et bien tu vas toujours trouver le même nombre 3 est en fait c'est tout simplement parce que cette cette fonction là c'est une fonction linéaire le rebelle est représenté par une droite et c'est comme ça qu'on définit une droite une droite une fonction linéaire c'est c'est une fonction dans lequel le taux de variation d'une variable par rapport à l'autre est constant et ici quand on considère la variation de la variable verticale donc la distance qui représentait en ordonnée par rapport à la variation de la variable temps ici est représentée horizontalement en abscisse mais en fait ce dont on parle c'est de la pente la pente de la de la droite donc ici ce qu'on a défini la ce taux de variation ici en fait c'est la pente la pente de la droite et on dit aussi souvent on dit que c'est le coefficient directeur de la droite voilà est ici donc la pente de cette droite la pente de cette droite c3 l'écrire ici la pente elle est égale à 3 donc ça c'est une des particularités des droites c'est que la pente en n'importe quel point est toujours la même ici ça sera dans n'importe quel point la pente donc plutôt de variations et toujours elle sera toujours égale à 3 voilà donc ça c'est vraiment de la révision et d'ailleurs on pourrait simplement en regardant l'expression algébrique ici qui donne la distance qui définit la distance eh bien on aurait pu tout de suite déterminer le le taux de variation puisque c'est la pente et la pente on sait que dans une équation de ce style là dans une équation de droite la pente c'est le coefficient de la variable donc c'est ici 3 ça c'est la pente et puis le nombre qui est là de celle ordonnée à l'origine c'est une intersection avec l'axé des ordonnées en tout cas quand on a une droite on peut donc déterminer immédiatement le taux de variation de la variable d par rapport à tes simplement en regardant l'équation de la droite voilà bon tout ça en fait c'est de la révision d'ailleurs je t'engage vivement à aller regarder les vidéos les autres vidéos sur l'a4 d'académie si tu te sens pas très à l'aise avec tout ce qui concerne les fonctions linéaire les droites et là en fait je t'ai parlé de tout ça parce que principalement parce que je voudrais qu'on aborde ce problème ici le problème de cette fonction là qui va être un peu plus compliqué parce que en fait ici évidemment battu le voir directement sur le graphique on n'a pas une fonction linéaire c'est la fonction qui est ici est là elle fait intervenir un thé au carré donc c'était au carré plus ici donc la courbe représentatif de cette fonction n'est pas une droite c'est un bond par un morceau de paraboles alors on va aborder ce problème là on va considérer que là on a comme tout à l'heure en une la fonction qui représente une distance parcourue en fonction du temps alors rien qu'en regardant la courbe on peut déjà se rendre compte que c'est la situation est vraiment différente parce que si je j'essaie de visualiser comment varie le la distance en fonction du temps où on voit bien que ça va pas du tout être la même chose selon l'endroit où on est selon du coup l'instant qu'on considère si par exemple je me place ici alors je vais je vais tracé en fait une droite tangente c'est à dire un morceau de droite qui touche à peine la courbe en ce point si ici là alors tu vois que ça va être une droite de portes positive 1 une fonction croissante ce qu'elle est incliné vers le haut alors voilà ça c'est une chose donc c'est une pente positive si je me mets ici par exemple je fais la même chose ici je trace un morceau de droite tangente en ce point si bien tu vois que on va avoir là aussi une pente positive mais un petit peu moins positive en fait la pente sera un peu moins il est un peu moins forte qu'en ce point-ci et puis si je me mets là si je me mets par exemple ici tu vois que là je trace une tangente et bien là la pente elle est toujours positive mais vraiment beaucoup moins les presque presque la droite est presque horizontal donc ça sera presque une pente nul voilà donc rien qu'en regardant la courbe on se rend bien compte que le taux de variation ne va pas du tout c'est ne va pas être constant contrairement à ce qu'on a eu tout à l'heure en fait le taux de variation va dépendre de l'endroit où on se place donc de la valeur de la variable tes combats qu'on va choisir en fait on peut même dire que le taux de variation va augmenter à mesure que teva augmenté 1 alors comment est ce qu'on peut faire dans un cas comme celui là pour parler du taux de variation d'une variable par rapport à l'autre ici en particulier du taux de variation de la distance par rapport au temps alors quand tu avanceras dans ta carrière de mathématiciens et bien tu finiras par apprendre ce qu'est le calcul différentiel est une rendra compte que finalement dans le calcul différentiel c'est essentiellement de ça qu'on va parler de la variation d'une variable par rapport à l'autre et tu verra quelles techniques on développe dans le calcul différentiel alors pour nous dans cette vidéo on va pas faire du calcul différentiel un certain trop tôt pour l'instant mais on va utiliser un autre outil qu'est qui est un bon outil et tu verras que en fait c'est un outil assez qui est à la base du calcul différentiel et c'est la notion de taux de variation moyens le taux on va regarder ça le taux de variation moyen taux de variation moyens connaître le taux de variation instantanée en fait le taux de variation vraiment en un point donné c'est à dire ça correspondra à la pente de la tangente qu'on a tracé tout à l'heure alors ça c'est assez compliqué pour faire ça il faudra vraiment utiliser les outils du calcul différentiel mais quand on utilise le tad le taux de variation moyens en fait on peut se servir d'outils vraiment très similaire à ce qu'on a développée ici pour calculer la pente d'une droite en fait si on veut calculer le taux de variation moyen entre deux points quelconque de la peau delà de la courbe ici par exemple si je veux calculer le taux de variation moyen entre de la variable d en fonction du temps entre ce point si le point zéro tegana 0 et le pointe égale à 3 par exemple je pourrais prendre n'importe quel autre couple de poing sur la courbe et bien en fait ce que je vais faire c'est calculé la pente de 7 c'est quand ici voilà la pente de cette séquence ça va correspondre au taux de variation moyens delà de la distance par rapport au temps entre les pointes égales 0 et le pointe est égal 3 alors évidemment c'est pas ce que ce que je te disais tout à l'heure c'est pas le on va pas du tout avoir de cette manière là le taux de variation instantanée en des points tu vois que effectivement si tu regarde ce qui se passe entre le tente égal zéro était égal à 3 le taux de variation change il augmente au fur à mesure qu'on que le temps augmente donc ce qu'on va obtenir ici c'est pas du tout le taux de variation instantanée en chaque point de la courbe mais c'est le taux de moyen de variation entre le pointes égales à zéro et le pointe est égal à 3 alors pour calculer ce taux de variation moyen entre ces deux points là tu es égal zéro est égal à 3 eh bien on peut on va utiliser exactement ce qu'on a fait tout à l'heure c'est à dire que en fait je vais calculer ce rapport à la variation des distances / la variation du temps donc voilà ça c'est la même définition tout à l'heure le taux de variation c'est la variation de la variable d au cours d'une certaine variation du temps alors tu vois que ce rapport qui est ici ne dépend que des valeurs initial et final que je considère c'est à dire que je vais avoir ici en fait la variation de la distance la variation de des cetc la distance finale - la distance initiale alors la distance initie la distance final c'est cette distance là un an ce qui correspond à ce point là donc c'est ici pour nous c'est des calculs et aux pointes est égal à 3 d la distance au bout de trois secondes - la distance au temps initial c'est-à-dire cette distance-là donc moins cette distance là que je représente gelard porte ici donc c'est cette distance tabasser des 2 0 c'est la distance la valeur de la fonction de la distance aux tentes est égal à zéro et puis je vais diviser sa part l'intervalle de temps considéré donc ici entre le pointe égal zéro et le pointe égale à 3 d'un g 3 - 0 secondes pâtissent écoulé 3 secondes entre les deux points que je considère alors maintenant en fait tu peut remarquer que ce que j'ai considéré en fait c'est la variance et la différence la variation de la coordonnée de l'ordonner de l'accord donné verticale ça c'est ce que j'ai noté delta des la variation de l'ordonner / la variation horizontale c'est à dire ici c'est la variation du temps voilà et donc ce taux de variation moyens c'est effectivement le rapport entre la variation verticale et la variation horizontale donc c'est effectivement le pain la pente de 7 c'est quand la de cette droite là alors bien sûr on peut donner une valeur plus précises dans notre cas ici entre le pointer égalisé 3 est égal à zéro puisque on peut calculer des 2 3 lors des 2 3 ça va être je vais remplacer t par trois donc ça fait 3 au carré +13 aux caresses et 9 + 1 ça fait 10 donc là j'ai 10 - des deux héros que je peux calculer aussi des deux héros c'est zéro car et +1 donc ça fait 1-1 voilà et puis je divise sa part 3 - 0 qui veut qui vaut 3 et donc 10 - 1 sur 3 ça fait 9 sur trois donc je vais l'écrire 9 sur trois et ça fait 3 alors je vais me déplacer un petit peu voilà comme ça donc si on regarde un petit peu ce qu'on a fait effectivement 9 ces dix mois en fait c'est cette distance là un delta des c'est là la distance entre ce point ci et ce point si je peux la noter ici si on veut et c'est effectivement 9,1 tu peux compter alors ça peut être aussi utile souvent c'est bien de faire ça de fait attention aux unités dont on parle ici on a des distances / d'émettre ce 9 la cd m et ce trois lassé des seconds donc finalement ce qu'on obtient ici c'est ce 3 la cd m par seconde effectivement c'est une unité de vitesse est ce qu'on a ici en fait c'est c'est la vitesse moyenne quand on est dans ce cas ci la distance / le temps ça correspond à faire la calculer la vitesse moyenne entre ce point ci et ce point là donc tu vois que c'est là encore tu as une illustration du fait que c'est pas la même chose que la vitesse instantanée en chaque point effectivement tu peux imaginer un véhicule par exemple qui suit cette trajectoire sa vitesse peut augmenter ou diminuer mais si tu considères uniquement le point de départ et le point d'arrivée tu peux calculer la vitesse moyenne à laquelle il a parcouru le trajet entre nos deux points alors évidemment je peux calculer ce taux de variation moyen entre deux autres points par exemple je peux calculer le taux de variation moyens entre le point il ce point ci et ce point là par exemple on va voir que ça va pas être le même donc en fait ça va correspondre à calculer la pente de 7 c'est quand la voilà la pente de 7 c'est quand la alors comment est ce que je fais pour calculer ce taux de variation moyen entre ces deux points là bas je vais faire exactement de la même manière je calculais la variation de la distance par rapport à la variation du temps la variation de la distance c'est le la distance final donc céder ici c'est le jeu ici je suis entre les pointes égales 1 et les pointes égales à 3 alors cédé 2 3 - la distance initial donc des 2 1 / le temps final donc ici c'est 3 - le temps initial qui est ici un voilà je suis entre ces deux points là tu est égale 1-1 et égal 3 alors des 2/3 jeu peut le calculer des 2/3 sait on a calculé tout à l'heure c'est 10 - des 2 1 alors des 2 1 c'est un o car est plus un ce qui fait d'eux à aux caresses a fait un un plus un ça fait deux dons quant au g10 -2 et je divise par la variation du temps 3 - 1 ça fait deux voilà donc en auge et 10 mois de ça fait 8 / 2 ça fait 4 était passé un petit peu voilà quatre et c'est toujours des mètres par seconde les mètres par seconde voilà donc tu peut remarquer qu effectivement ici on a une valeur plus élevée en fait la variation de d par rapport à tes entre les points 3 et 1 est plus élevé qu entre les points 3 et 0 et du coup ça enfin ça permet de se rendre compte que plus on avance dans le temps plus le taux de variation va va augmenter et donc là tu vois on peut on peut réaliser quand même que le taux de variation moyens danse de cette fonction-là va augmenter à mesure qu'on a que la variable t augmente donc ça peut te donner une idée de ce qui se passe quand on se place on en une valeur de t de plus en plus élevé et on en reconsidérant intervalle de temps le plus petit possible autour de la valeur de thé qu'on considère et ça sera vraiment un des objectifs du calcul différentiel