Fonction croissante ou décroissante, positive ou négative sur un intervalle

que je voudrais faire dans cette vidéo c'est de me concentrer sur cette heure auprès la représentation graphique qui est tracée ici dans ce grade dans ce repaire et me poser deux questions ont fait la queue la première question que je me posais sait où on va essayer de trouver quand est ce que dans quel intervalle la fonction est positive ou négative ça va être une première question et puis une deuxième question ça va être de se demander quand est ce que la fonction est croissante c'est à dire quand est ce que les images grandissent ou alors quand est ce qu'elle est décroissante c'est à dire quand est ce que les images diminue voilà alors on va déjà se poser là se poser la première question donc quand est ce que f est positive quand est ce que f est positive mais bien ça ça veut dire qu'on va chercher en fait les intervalles sur lequel le nombre fdx donc l'image du point x est positif mais positif donc strictement positif on va dire strictement positif strictement positif alors qu'est ce que ça veut dire que f 2 x est positif en fait ça veut dire que si je prends un point x enfin une valeur de la variable x je regarde son image et je vais regarder en fait toutes les images qui sont positives c'est à dire qu'ils sont au dessus de l'axé des abscisses c'est à dire avec une ordonné positive donc en fait il s'agit de trouver toutes les parties de la courbe qui sont au dessus enfin qui sont dans cette partie là du plan dans la partie où y est positive alors on peut les repérer sur le graphique car je vais le faire ici il ya cette partie là déjà toute cette partie là les images sont supérieures à 0 strictement 1 donc si je regarde uniquement cette partie là fgx est effectivement positif et puis ensuite il ya aussi cette partie là puisque dans toute cette partie là on m'a les tous les points qui sont dans cette qui forment cette partie là de la courbe ont une ordonné positive voilà alors maintenant on va essayer de traduire ça en terme des valeurs de x de la variable x c'est à dire on va chercher les intervalles de la variable x pour laquelle fgx est positif en fait il suffit de repérer sur l'acte et apsys les intervalles qui sont reliés à ces portions là que j'ai recopié en jeu que j'ai coloriée en jaune alors pour faire ça en fait je vais on va faire ça un peu précisément on va dire que ce point là on l'appelle à ça cette valeur là ces a ici cette valeur là c'est apsys la cb et puis c'était abscisse la ccl alors quand je prends x égal à l'image de a ici et c zéro en la fonction est égal à zéro en ce point si elle est égale à zéro en ce point là aussi un f2 bessette égal à zéro et f2 c est égal à zéro alors maintenant si je veux que f 2 x soit strictement positif je peux prendre en fait toutes les valeurs de x dans cet intervalle là en excluant les bornes de de l'intervalle en excluant a et b1 donc je vais prendre en fait cet intervalle la x compris entre a et b donc strictement supérieur à aa est strictement inférieure à baa3 ensuite il faut que je considère aussi cet intervalle la sas et l'intervalle des valeurs de x plus grande que c'est strictement plus grande que c'est pour ça je peux l'écrire comme ça x strictement supérieur à c'est donc en fait les intervalles ou est fait positif c'est l'intervalle ouvert à b ou bien les cris comme ça les valeurs de x qui sont strictement supérieure à celle qui est cette valeur là alors maintenant quand est ce que f est négative alors je vais le faire ici f est négative ça veut dire qu'on va chercher les intervalles où les images f 2 x l'image f 2 x est négatif donc f 2 x doit être négatif strictement je l'écris ici strictement voilà et donc si fgx est négatif ça veut dire que lors donner des points qu'on va considérer ont considéré doit être négatif donc en fait on va regarder les portions de la courbe qui sont sous l'axé des abscisses dans cette partie là du plan alors il ya sept parties la partie là ici ça c'est en fait c'est toutes les valeurs pour lesquelles x est strictement inférieure à aa si on prend x égal à l'image est nul on l'a dit tout à l'heure donc si je veux que m soit strictement négatif il faut que je prenne x strictement inférieure à aa et puis il ya aussi cette partie là cette partie là de la courbe et qui correspond en fait aux valeurs de x comprise entre b et c un strictement comprise entre b et c'est donc je vais écrire ça comme ça où x strictement plus grand que b est strictement plus petit que c'est donc finalement la fonction est fait négative 6 x est strictement plus petit que a ussi x appartient cet intervalle laouve rbc compris entre b et c strictement alors voilà maintenant on va se poser une autre question un petit peu différente on va essayer de déterminer quand est ce que la fonction est croissante ou décroissante voilà la question qu'on se pose c'est quand est ce que f et croissante croissante alors ça qu'est ce que ça veut dire plus précisément c'est à dire qu'en fait on va essayer de trouver quand est ce que les images grandissent c'est à dire quand est ce que une augmentation de la variable x va correspondre à une augmentation des images f 2 x en fait ça correspondrait à calculer le taux de moi variations instantanée en chaque point et de regarder quand est-ce qu'il est positif par exemple tu pourrais imaginer ça faire une trace et une tangente voilà en ce point la tangente à la cour dans ce point là et à ce moment là si cette tangente à une pente positive ça veut dire qu'effectivement la courbe est croissante en ce point ci alors ça c'est une manière assez technique de voir les choses ce que ce qu'on va pour l'instant regardez c'est quand est-ce que x 6 x grandi 6x grandit alors on devrait avoir aussi f 2 x qui augmente qui grandit aussi c'est à dire s'ils ont fait augmenter x il faut qu'on va chercher quand est ce que f 2 x augmente aussi quand x augmente alors là je vais on va regarder ça sur la courbe là je fais augmenté x et qu'est ce qui se passe et bien f 2 x on voit bien f 2 x augmente ici et en fait ça va augmenter la fonction web les images grandissent jusqu'à ce qu'on arrive à ce point là ici voilà ce point ici ensuite effectivement la courbe redescend c'est à dire qu'en fait quand x augmente comme ça les images vont redescendre ont diminué donc c'est pas ce qui nous intéresse pour ce cas là par contre ici il ya un autre notre parti qui va être intéressante c'est celle-là partir de ce point là à peu près ici et bien là on a de nouveau des images qui grandissent c'est à dire que plus on augmente la variable x plus les images vont augmenter aussi donc voilà ce que j'ai et coloriées en bleu en fait ces deux portions de la courbe ou f est croissante alors comme tout à l'heure pour pouvoir parler un peu rigoureusement à peu précisément je vais placer quelques valeurs donc c'est tab 6 6 6 1 la valeur de la variable ici je vais l'appeler des voix là et puis l'abscisse de ce tome 7 apsys à l'ap 6-2 ce point si je vais l'appeler eux voilà donc c'est à des b/e sait alors ce qu'on peut lire ici c'est que f et croissante quantique c'est plus petit que des donc sur cette partie là puisque c'est celle qui correspond à cette partie de la courbe à cette portion de courbes qui est ici donc x est plus petit que d alors ici je prends une illégalité strict parce qu'en fait si tu regarde un peu ce qui se passe l'art au point x égal d en fait voilà la tangente si tu veut tracer une tangente elle serait brison palme donc en fait on peut pas vraiment dire que la fonction est croissante en ce point là puisque en fait elle est ni croissant puis décroissante la pente de la tangente nuls une tangente horizontale donc là c'est un peu spécial on va pas le prendre en compte par contre on va prendre en compte cette portion la delà de la courbe et ça c'est la portion de la courbe pour laquelle x est plus grand que eux donc on va écrire ça comme ça où x est supérieur à eux et là aussi je prends une idée une égalité stricte puisque comme tout à l'heure si je j'imagine tracer une tangente ici en ce point x égale e tangente à la cour dans ce point si bien je vais avoir une tangente qui sera horizontale en fait là c'est comme tout à l'heure on ce point-ci exactement le taux de variation sera nul donc on peut pas vraiment dire que la la courbe décroissante ou décroissante en ce point là en fait ce qui se passe c'est que elle est décroissante ici puis croissante après on va voir ça tout à l'heure voilà en tout cas là je j'ai les intervalles sur laquelle la fonction est croissante il faut que x soit strictement plus petit que des haies ou bien x strictement plus grand que eux alors maintenant justement on va regarder quand est ce qu'on va essayer de trouver quand est ce que f et décroissante f et décroissante voilà alors ça on va calquer un peu le raisonnement sur ce qu'on a fait tout à l'heure en fait dire que f et décroissante ça veut dire que les les ordonner diminue quand la variable x augmente donc en fait ça va être toute cette partie ici voilà cette partie là que je fais en mon mauvais en rose voilà tout ça effectivement si tu regardes bien ce qui se passe quand je joue augmente la variable x 6 6 1 comme ça et bien en fait les images fdx diminue l'image diminue la cij augmentent à partir d'ici je augmente la variable et bien l'image va diminuer si je me mets ici et que j'augmente la variable x et bien les images vont diminuer en fait ça se passe comme ça jusqu'à ce point ici jusqu'à ce qu'on arrive à ce point x égale peut alors comme tout à l'heure on peut pas inclure ces points-là x égal d eric segal eux puisque la ici on a en fait là en ces points si en ce point ci et ce point ci ont la fonction n'est ni croissante ni décroissante donc on va pas prendre ces valeurs là en compte pour dire que la fonction est décroissante alors du coup d'après ce qu'on vient de dire en fait l'afld la fonction est fait décroissante quantique c'est strictement supérieur à d ce nombre là en fait c'est sur cet intervalle là et puis strictement inférieure à eux donc c'est tout cet intervalle de valeurs ici entre d et e exclu voilà alors j'espère que tout ça c'était d'un petit peu à comprendre ce qu'on fait ici et surtout ce qui est très important c'est que quand on regarde le signe d'une fonction quand on regarde donc si elle est positive ou négative en obtient en fait un certain d intervalle et quand on regarde les intervalles sur lesquels la fonction est croissante ou décroissante et bien en fait on obtient d'autres intervalle donc si tu peux comparer ici est ce qu'on a fait donc c'est très important de comprendre ça parce que parler d'une signe d'une fonction c'est pas du tout la même chose que de parler de son sens de variation si elle est croissante ou décroissante il veut il faut vraiment habitué à penser à ça comme deux choses distinctes le signe et le sens de variations ces deux choses complètement distinctes tu peux avoir une fonction qui est positive mais décroissante sur un intervalle ou alors une ponction qui est négative mais croissante sur un intervalle par exemple voilà c'est vraiment important de comprendre que ce sont deux choses complètement séparé