Additionner ou soustraire des polynômes - autres exemples

alors dans cette vidéo je voudrais reprendre un petit peu la notion de polinum quand on a déjà vu dans d'autres vidéos donc là on va revoir un peu de certaines choses sur ces polynôme alors le bo fait un peu peur polynôme on se demande ce que ça veut dire en fait il faut comprendre que c'est juste le nom qu'on donne à des expressions qui contiennent plusieurs terme alors bon je sais pas si c'est tellement plus clair comme ça bon je vais donner quelques exemples de polinum pour clarifier un petit peu donc par exemple si j'écris quelque chose comme ça x o car est plus un ça c'est un polynôme puisque c'est une expression qui contient plusieurs termes et en fait là c'est un binôme même puisqu'il ya un et deux termes en fait c'est une somme de deux termes donc ça c'est un binôme est en fait le mot plus générale polynôme ça vient du grec poli poli qui veut dire plusieurs c'est vraiment ça une somme de plusieurs termes alors si j'écris par exemple ça 4x au cube - 2 x au carré +7 voilà ça c'est aussi un polynôme il ya trois termes c'est une somme de ces trois termes et chaque thème contient la variable élevé à une certaine puissance voilà donc ça c'est ici à 3 terne au conduit aussi que c'est un trinôme un prix noma un polynôme avec 3 terme alors pour que ce soit encore un petit peu plus clair ce que je vais faire ici c'est donner des exemples de d'expression qui ne sont pas des polynômes justement parce que là on voit j'ai donné des exemples de polinum là on va voir des exemples qui ne sont pas des polynômes alors par exemple si j'écris saïx puissance - 1/2 plus un ça c'est pas un polynôme ça c'est pas un polynôme c'est pas un polynôme parce que ici et on a la variable x qui est élevé à une puissance qui est négative et en plus c'est une fraction la puissance d'un c'est un rationnel ça on n'appelle pas ça un polynôme se veut pas dire que tu vas pas rencontré des expressions de ce genre là au contraire tu vas en rencontres et en mathématiques mais on les appellera pas des polynômes de la même manière si j'ai ça cette expression une expression de ce genre là y x racines de y plus y au carré bah ça c'est pas un polynôme non plus puisqu'on à cette expression la racine de y qui en fait revient à élever à la puissance 1/2 donc à une puissance rationnelle donc ça ça ne s'appelle pas un polynôme non plus alors voilà nous donc un polynôme c'est une expression qui contient plusieurs termes une somme de plusieurs termes et chaque terme c'est un c'est une puissance de la variable et la puissance ça doit être un entier ici c'est 3-2 et puis ce terme là qui serait l'oeuvre la puissance 0 alors on va revoir un petit peu de vocabulaire concernant les polynôme enfin j'veux dire voir tu as peut-être pas vu peut-être que tu sais déjà vu en tout cas je vais achever en reparler alors le premier terme qu'il faut connaître c'est le terme 2 degrés le degré d' un polynôme alors le degré d' un polynôme c est tout simplement le plus grand exposants auquel on a élevé la variable dans le polynôme alors par exemple celui ci celui ci c'est un polynôme de degré 3 polynôme de degré 3 ou du troisième degré ongles alors c'est un polynôme du troisième degré parce qu'ici le plus grand en exposant ses trois et c'est celui qu'on voit ici un x au cube cx puissance trois essais le plus grands exposants c'est ça qu'on appelle le degré de ce polinum alors le polynôme qui hélas celui-ci x o car est plus instable polinum 2° 2 2 ° 2 puisque le plus haut degré ses x au carré c'est donc deux le plus haut degré et le terme de degré 2 c'est celui ci x au carré donc voilà ça c'est ce qu'on appelle le degré honda polynôme d'autres d'autres termes qu'il faut connaître ses les termes de variables et de constant leur ici est ce qu'on peut remarquer c'est que dans tous lés polinum enfin dans un certain nombre de paulino il peut y avoir un terme constant il ya des termes variable cloud qui sont écrits en fonction de la variable celui ci est celui ci par exemple et puis il ya des termes constants comme ici ce set là ça c'est ce qu'on appelle la constante on l'appelle la constante parce que c'est quelque chose qui ne varie pas alors voilà donc dans un polynôme on a en général des termes variable qui si ces deux là et puis un une constante qui est un terme constant qui est là alors maintenant pour aller un petit peu plus loin dans la connaissance des polynômes il faut qu'on parle des coefficients alors pour faire ça je vais j'ai d'abord commencé par écrire un polynôme de degré 5 par exemple et puis je vais l'écrire de manière un petit peu dans le désordre je vais l'écrire de manière un peu non conventionnelles pour con ça nous aidera peut-être à comprendre alors je vais écrire ça par exemple x au carré - 5x plus 7x puissance 5 - 5 voilà alors ça c'est effectivement un polynôme de degré 5 parce que ici le plus grands exposants qu'on trouve de la variable bien c5 et c6 les données par ce terme là donc ça c'est le terme de degré 5 et donc ce polynôme là c'est un polynôme de degré 5 polynôme 2 degrés 5 voilà si on veut comprendre pourquoi on appelle ça un polynôme de degré 5 en fait on regarde uniquement ce degré là bas c'est tout simplement parce qu'en fait ce terme là le terme en x puis 105 ici en fait c'est celui qui va dominer tout le reste c'est celui qui veut grandir le plus rapidement ou diminuer le plus rapidement si le coefficient négatif c'est le terme qui est le nombre qui est devant et négatifs donc voilà c'est vraiment c'est ce terme là qui décident delà de la vitesse à laquelle grandi ou diminue le polynôme lui-même l'expression représentait parce polynôme alors je viens d'utiliser le terme de coefficient d'ailleurs c'est peut-être un terme que tu as entendu dans d'autres circonstances dans d'autres situations mais là je vais essayer de clarifier ça alors on a des coefficients général paulino mais il a toujours des coefficients alors qu'est ce qu'un coefficient est bien c'est un nombre par lequel on annule multiplier la variable élevé un certain degré ici par exemple j'ai le terme de x puis 105 qui est là je le prends cette fois donc j'ai le coefficient ici ces sept puisque j'ai cette fois le terme de degré 5 donc en fait le coefficient c'est ce qui est de ces nombres qui est devant la variable élevé une certaine puissance ici c'est moins 5 - 5 c'est le coefficient des termes en x donc ça c'est un coefficient aussi ici alors ici vx au carré en fait sont sous-entend qu'on a un knicks au carré donc le coefficient ça sera ce un le sait le coefficient des thermes au carré des termes de degré 2 alors il ya une autre chose aussi qui est importante c'est ce qu'on appelle la forme standard forme standard d'un polinum en fait c'est juste le fait qu'on a qu'on choisit habituellement décrire le terme du polynôme dans l'ordre décroissant de l'exposant donc du plus haut du plus grands exposants au plus petit et aux termes constants alors par exemple celui ci n'est pas en forme standard 1 puisque les exposants sont pas notés dans l'ordre dans l'ordre décroissant donc là si par exemple je veux écrire la forme standard de ce polynôme en forme standard la forme standard on dit aussi la forme canonique mais bon voilà alors ce moment là je vais je vais leur écrire comme ça d'abord je vais mettre le plus grand terme le terme ou l'exposant le plus grand donc c'est le terme dx puissance 5 ici donc j'ai 7 x puis 105 plus alors le celui qui vient après on range les exposants dans l'ordre décroissant donc celui qui vient après c'est celui ci c'est le terme des degrés deux en x o car est donc là j'ai plus un x au carré c'est à dire plus x au carré ensuite j'ai le terme en x - 5 x - 5x et puis enfin j'ai le terme constant qui est ici moins 5 voilà là j'ai réécrit mon polynôme ici en force ou la forme standard pour maintenant on va s'entraîner à faire quelques opérations avec des polynômes ça c'est là on va utiliser des des outils vraiment important qu'il faudra que tu as tu arrives à maîtriser donc je fais un peu de place je vais commencer par ceux polynôme là par exemple on va faire cette année on va faire une addition de deux paulino alors j'ai ce premier la premier polinum - 2 x au carré + 4 x - 12 et puis ça on va là elle ajouté à ceux polynôme 6 7 x + x au carré voilà alors fait là ce que je vais devoir faire c'est juste réunir les termes de même nature donc les termes de même degrés est pour ça que je vais commencer par enlever les parenthèses gérer les prêts que l'expression en enlevant les parenthèses hélas comme j'ai un plus je peux directement enlever les parenthèses sa serait pas la même chose si j'avais ici 1 - parce que cela il faudrait distribuer le moins 1,2 termes-là de cette parenthèse est bon là c'est pas le cas donc je peux le leur écrire directement dans le vent les parenthèses donc c'est ce que je vais faire moins 2 x o car est plus 4 x - 12 + 7 x + x au carré voilà et maintenant je vais simplement mettre ensemble les termes de même degré donc pour simplifier je commence toujours par les termes de plus haut degré comme ça je suis sûr de pas en oublier alors est ici j'ai le plus haut degré ses x au carré 1 g ces deux termes la moins 2 x au carré x au carré voilà ces deux termes de degré 2 donc là je vais leur écrire juste eu les mettre ensemble et donc ses 2 - 2 x au carré ici plus le xo carey qui est là ensuite je vais faire la même chose avec les termes en x maintenant donc 2 ° 1 c'est celui-là 4x alors il ya 4 x 7 x donc je vais les réécrire + 4 x + 7 x et puis enfin j'ai le terme constant qui est ici en a qu'un et que celui ci c'est moins 12 voilà alors maintenant je vais tout simplement faire les additions de termes des termes semblables les thèmes des termes de même degré donc celui-ci - 2 x au carré +6 aux caresses a fait x au carré - 2 x au carré c'est à dire moins x au carré voilà donc c'est moins 1 x o car est ce que j'écris tout simplement moins six au carré ensuite les termes de 2° un terme les termes en x les 4 x + 7 x en tout j'ai donc 11 x et puis le terme constant que je réécris tout simplement moins 12 parce que lui il est tout seul voilà donc je tiens ce polynôme la somme de ces deux polynôme cse polynôme sic que j'ai écrit là en forme standard sous la forme standard c'est moins xo carey + 11 x -12 donc les coefficients c'est moins un pour les termes de degré de 11 pour les termes de degré 1 et moins 12 pour le terme constants alors maintenant je vais faire un exemple un autre exemple plus on en fait plus on sera à l'aise mais là je vais prendre quelque chose qui va avoir l'air un peu plus compliqué bon je l'effacé ça cette fois ci je vais m'occuper d'un polynôme avec plusieurs variables ont donc une expression qui va être plus compliqué que celle qu'on a prêté jusqu'à maintenant donc on va essayer de simplifier de faire ce calcul là alors j'ai ce premier polynôme 2a au carré b - 3 à b au carré +5 à au carré x b au carré voilà ça c'est le premier paulino mais je dois lui soustraire celui-ci modeuses arts au carré b au carré +41 au carré b - 5 b au carré voilà donc sa c2 pauline hommage insista tout à l'heure on n'avait que des polynômes avec x un polynôme c'est une somme de plus nous sommes une différence de plusieurs termes là ici les ja plus et c'est le cas c'est une somme cette parenthèse las une somme de plusieurs termes différence mais ici les variables s'il y en a deux c'est a et b donc c'est pareil pour ce deuxième pauline au bout donc je dois maintenant simplifiée faire la soustraction de ces deux polynôme alors c'est bien plus compliqué que tout à l'heure en tout cas apparemment mais bon on va on va procéder exactement de la même manière c'est à dire que je vais commencer par à écrire ça en enlevant les parenthèses puis après je vais essayer de réunir les termes de même nature les termes semblables qu'on va voir un peu plus précisément ce que ça veut dire alors je vais et réécrire le premier polynôme sans les parenthèses 2a au carré b - 3 à b au carré +5 à au carré b au carré voilà ça c'est le premier polynôme et ensuite je vais enlever les parenthèses au deuxième polynôme aussi mais là par contre il faut que je fasse attention parce que j'ai un signe - donc ça ça veut dire qu'il faut distribuer le moins un tous les termes de la parenthèse donc en fait changer tous les signes donc je vais le faire donc là j'ai moins de zacard et bekar et donc moins de zacard et b car et ensuite j'ai moins 4 à carrer b - 4 à carrer b et puis - fois moins cinq baies au carré - moins 5 des au carré ce qui fait plus cinq mais aucun et voilà la g j'ai enlevé les parenthèses et pour ça j'ai changé tous les signes alors maintenant ben je vais faire comme tout à l'heure je vais réunir les termes semblables alors je commence par le premier ici puisqu'elle pas vraiment d'ordre d'exposants qui peuvent m'aider donc je commence par le premier set interne c'est celui ci de zacard et b donc ça c'est un terme en a car et b faut que je trouve d'autres thèmes faut que je regarde dans ici si j'ai d'autres termes on en a car et b sas et abé carré donc c'est pas la même chose ce ca carré des caresses pas la même chose à carrer becquart et encore et la haca red bay à carrer débat voilà ça c'est un autre à carrer b donc je vais leur écrire ensemble donc j'ai d'abord de zacard et b ce sont les termes jaca rébé anglais créé ici et puis j'ai ce deuxième terme la moins 4 à carrer b voilà ensuite je m'occupe de ce deuxième terme alger - 3 ab carré et ça c'est donc déterrement abé carré est-ce qu'il ya d'autres termes abé carré non rien n'a pas d'autre donc celui ci est tout seul donc je vais leur écrire - 3 za d'écart et voilà ensuite je vais prendre par exemple du verre pour m'occuper de ces termes là on a qu'à rebecca ray alors rien celui là par contiendra un autre puisqu'il ya celui ci au moins deux hakas rebecca est donc on a d'abord ses cinq as carré des carey qui sont ici là c'est cela et puis ces deux âmes - de zacard et bekar et 1 - 2 ac arrêt des cars et voilà et puis enfin il ya le dernier terme qu'il faut pas oublier c'est celui ci 5b carey qui est tout seul il n'y a pas d'autres termes en b carré donc je leur ai écrit comme ça - + 5 b carré alors maintenant je vais pouvoir faire les calculs ici g2a carré b - 4 à carrer b donc ces deux fois quelque chose - quatre fois ce quelque chose donc en fait j'ai ici - de zacard et b voilà ensuite bages et ce moins 3 ab carré -3 à des carrés qui est ici qui est tout seul là par contre j'ai les termes en rack à rebecca regione g5 à carrer becquart et moins de zacard et b carré donc 5 - 2 c'est à dire 3 g iii jacques arrêt des cars et voilà et puis je termine avec les 5 d'écart et qui sont là voilà alors maintenant ce que je vais faire c'est commencé par écrire leterme qui a le plus d'exposants donc ici le terme qu'elle plus d'exposants c'est celui ci puisque l'âge et à au carré b o car est donc en tout j'ai 4 donc je vais écrire d'abord celui là à au carré des carrés et ensuite je vais écrire celui qui à quillan à carhaix b donc je descendre les exposants de b donc ça me c'est celui ci moins de zacard et b celui là et puis maintenant je vais descendre l'exposant de a donc moins 3 à b car et c'est ce terme là et puis enfin le dernier qui est 5b carré et voilà là j'ai exprimé mon paulino mais je les écris d'une manière qui est à peu près à peu près standard alors on va continuer mais ce que je vais essayer de faire maintenant c'est que tout montrait des situations dans lesquelles on arrive à des polynômes en fait c'est très important tu vas voir que c'est vraiment quelque chose de très très utile qu'on utilise tout le temps et pas seulement en algèbre alors là on va prendre ses figures voilà c'est quatre figures et dans ses quatre exemples on va essayer d'exprimer l'ère de la figure qui est représenté sous forme d'un polynôme alors je vais commencer je vais essayer de prendre les couleurs prochain donc d'abord on s'occupe de cette première figure y siègent ce qu'on peut dire c'est que la partie qui est bleu alors qu'un rectangle donc son maire c'est le produit des deux dimensions donc c'est x x y donc on va ici un x x y alors maintenant on va ajouter l'air de ceux de cette partie jaune qui est un rectangle aussi donc c'est x y z son rc le produit des dimensions cx z donc plus x z et puis il ya un deuxième x z qui est ici dans cette partie ce deuxième rectangle jaune donc on va être directement écrire plus 2 x x z voilà alors maintenant on passe au deuxième le deuxième c'est une figure alors il ya ces rectangle rouge qui ont tous dit mention ab 1 ce sont tous les mêmes donc leur rca b donc j'ai d'abord à b pour ce premier rectangle ab pour le deuxième donc plus saab et plus ab pour le troisième et plus ab pour le quatrième et donc d'ailleurs ça me fait penser qu'il ya probablement une erreur dans l'énoncé puisque ici se sait ça peut pas être ça puisque sept longueurs l'acea a forcément donc probablement ils ont voulu dire que c'était sept longueurs là en fait cette longueur là qui elle par contre va être utile pour dire on va dire ça comme ça pour dire que cette longueur la ccl voilà alors dans ce cas là qu'est ce qu'il faut ajouter c il faut ajouter tout simplement l'air de ce rectangle vert qui est ici donc ça c'est un rectangle de dimension à et c'est donc son rca s'est donc il faut ajouter à ces hélas que je peux faire c'est quand même réécrire ça différemment en condensant réunissant ces termes à puisque ici ce qu'on a en fait c'est 4 ab plus voilà ça c'est cette partie la plus à ces voix là alors maintenant on s'occupe du troisième le troisième l'a alors ici on va exprimer l'ère de la partie rose alors celle là on peut la voir comme ce grand rectangle auquel on aurait enlevé ses deux carrés qui sont là donc je vais faire comme ça je vais calculé l'ère du grand rectangle et j'enlèverai l'air de ces deux cars est donc le grand rectangle son maire ces 2 x y 2 x c'est la hauteur y c'est la longueur et ensuite on va enlever les deux car aig blanc qui sont à l'intérieur donc chacun de ces carrés il a pour dimensions x x x donc c'est son maire cx au carré donc on va enlever -6 au carré et encore moins six au carré donc en tout on va enlever moins on va faire moins 2 x au carré voilà ça c'est un polynôme qui représente l'ère de la figure en rose passons au dernier maintenant alors le dernier il faut l'imaginer décomposé en fait ce qu'on peut remarquer tout de suite c'est que si je regarde uniquement cette partie qui est là je hachures ça c'est un rectangle de dimension b donc on va déjà ajouté ça ab ensuite on peut voir aussi que quand on sait par comme ça on obtient en fait deux rectangles donc un premier rectangle des rabais aussi donc plus à b est ce assez pour celui ci et puis encore une fois ab pour le 3ème rectangle qui est là qui à dimension aussi à à libé donc plus à b encore une fois c'est à dire en fait 3 the bay voilà et là on a terminé et bon j'espère enfin là c'est quelques petits exemples de polinum qu'on peut rencontrer mais on a bien d'autres maux mais en tout cas ça nous a fait une bonne mise en jambe sur les polynôme