Soustraction de polynômes et stabilité de l'ensemble des polynômes pour la soustraction

calculé la différence p 2 x - q 2 x donc paix et qu ce sont deux polynôme p 2 x est égal à 6 x carey + 3 x -9 et q2 x est égal à - 2 x carey + 4 x - 1 donc là on a deux polinum du degré du second degré mais on pourrait faire cet exercice avec n'importe quel autre polynôme alors on va écrire p 2 x - q2 xp2 x - q 2 x je vais l'écrire en remplaçant pq par leur expression donc paix de xc 6x au carré + 3 x - 9 et puis de ça je dois à soustraire le polynôme q donc il faut que je mette des parenthèses puisque ici j'ai un signe - devant q donc les maîtres des parenthèses pour pas me tromper donc moins 2 x au carré + 4 x - 1 je ferme la parenthèse donc sa cp 2x moins qu de x alors maintenant je vais enlever les parenthèses et je vais faire les calculs alors pour enlever les parenthèses il faut faire attention il faut en fait distribuer ce signe - qui est là à tous les termes de la parenthèse ça revient à x moins un chaque terme de la parenthèse en fait ce signe - là c'est moins 1 fois la parenthèse donc c'est comme s'ils ont distribué moins un à chaque terme de la parenthèse donc je vais faire ça alors je vais réécrire le polynôme paix qui lui n'a pas changé donc c'est 6 x au carré + 3 x - 9 - alors là je vais avoir moins fois moins 2 x au carré - fois moins ça fait plus donc j'ai ici + 2 x au carré +26 au carré ensuite j'ai moins fois plus 4x donc moins fois plus ça fait moins donc ici je vais avoir moins 4 x et puis j'ai moins fois - 1 - fois moi ça fait plus donc ici je vais avoir plus un voilà alors maintenant j'ai enlevé les parenthèses est ce que je peux faire c'est additionner les termes de même ordre alors je vais commencer par additionner les termes qui contiennent des x au carré c'est alors il ya celui ci 6x au carré puis il ya celui là 2x au carré donc je vais avoir 6 x au carré + 2 x aux caresses a fait est en tout il y en a 6 6 6 et de là il y en a 8 ans tout ce qui est donc j'ai 8 x au carré ensuite je vais m'occuper des termes en x alors yeah 3x ici et puis - 4x là alors si j'en ai trois là - quatre là en tout j'en aurais moins 1 donc j'ai moins 1 x alors quand j'ai un x c'est comme si j'avais x donc en fait je vais écrire ça comme ça - 1 x c'est la même chose qu'eux - x et puis enfin il me reste ces termes constants - 9 est plus un mot 9 + 1 ça fait moins 8 voilà donc finalement j'obtiens ce résultat ça c'est la soustraction p 2 x - q 2 x est ce qu'on peut remarquer ce qui est intéressant à remarquer c'est que ce résultat c'est à polynôme aussi c'est d'ailleurs ici c'est un polynôme 2° deux haltes paf le résultat n'est pas forcément un polynôme 2° 2 par contre ce qui est sûr c'est que quand on prend deux polynôme et qu'on calcule leurs différences et bien le résultat est forcément un polynôme ça peut être un polynôme constants mais c'est forcément un polynôme je peux faire un petit dessin pour illustrer sa ici je vais dessiner voilà ça disons que ça c'est l'ensemble des polynômes ça c'est l'ensemble de tous les polynôme de n'importe quel degré et donc la situation qu'on vient d'affronter ici c'est que on a un premier polynôme p donc c'est un point de cet ensemble je vais mettre ici sa cp 2 x et puis un deuxième polynôme q2 x là j'ai pris ces exemples-là mais si je prends n'importe quel autre polynôme dans cet ensemble des polynômes la situation sera exactement la même chose en fait ce qu'on a fait ici c'est appliquer faire une opération avec ses polynôme donc appliquer un opérateur cet opérateur ici c'est la soustraction c'est l'opérateur différence donc le port 2 polynôme paix et qu n'importe lesquels dans cet ensemble des polynômes je calcule la différence paix - q donc je vais faire quelque chose comme ça j'applique cet opérateur - opérateurs soustraction est ce que ça donne c'est un résultat qui est aussi un élément de l'ensemble des polynômes c'est un autre paulino je peux l'appeler f 2 x celui là ça cf 2 x c'est moi qui donne ces noms là ça n'a aucune importance ce qu'il faut retenir c'est que quand j'ai deux polynôme que je calcule leur soustraction et bien j'obtiens encore un polynôme et ça c'est une propriété que tu connais pour les ensembles de nombre par exemple tu sais très bien que si tu prends deux nombres rationnelle et que tu en calcule la différence tu va obtenir encore une fois un nombre rationnelle par contre c'est pas le cas par exemple pour les entiers naturels parce que si tu prends deux antinaturel n'importe lesquels et que tu calcules leur différence tu peux très bien être trouvé avec un entier relatif donc qui ne sera pas un entier naturel voilà donc cette propriété là tu la connais on est en fait on dit que l'ensemble des polynômes je vais l'écrire ici l'ensemble des polynômes l'ensemble des polynômes est stable et stable pour la soustraction voilà l'ensemble des polynômes et stable pour la soustraction donc cette propriété à la propriété de stabilité c'est une propriété importante qu'on retrouve dans beaucoup de situations mais notamment je te rappelle cet exemple de tout à l'heure l'ensemble des antilles naturelles par exemple est stable pour l'addition mais pas pour la soustraction voilà cet ensemble des polynômes ici est stable pour la soustraction et on peut aussi facilement se convaincre qu'il est stable pour l'addition