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Algèbre II

Cours : Algèbre II > Chapitre 15 

Leçon 5: Factoriser un trinôme du second degré de la forme x² + bx + c
Mathématiques
Algèbre II
Factoriser
Factoriser un trinôme du second degré de la forme x² + bx + c
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Factoriser un trinôme lorsque le coefficient du terme du second degré est égal à 1 - une méthode

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Comment écrire un trinôme de la forme x² + bx + c sous forme d'un produit de facteurs. Par exemple comment établir que  x²+5x+6=(x+2)(x+3)

Prérequis

Factoriser un polynôme c'est l'écrire sous forme d'un produit.

Le sujet traité

Cette leçon porte sur la factorisation des trinômes du second degré de la forme x, squared, plus, b, x, plus, c.

Rappel : Multiplier deux binômes

Soit le produit left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis.
On applique la double distributivité de la multiplication sur l'addition.
(x+2)(x+4)=(x+2)×x+(x+2)×4=x2+2x+4x+8=x2+6x+8\begin{aligned} \tealD{(x+2)}(x+4)&=\tealD{(x+2)}×x+\tealD{(x+2)}×4\\\\ &=x^2+2x+4x+8\\\\ &=x^2+6x+8 \end{aligned}
Donc, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, equals, x, squared, plus, 6, x, plus, 8.
Mais ce qui nous intéresse ici n'est pas de montrer que le produit de x, plus, 2 par x, plus, 4 est égal à x, squared, plus, 6, x, plus, 8. C'est l'opération inverse : en partant de x, squared, plus, 6, x, plus, 8, comment trouver les facteurs x, plus, 2 et x, plus, 4, space, question mark

Factoriser un trinôme

Pour factoriser un trinôme de la forme x, squared, plus, b, x, plus, c, la méthode est de trouver les entiers dont la somme est le coefficient du terme en x, c'est-à-dire b et dont le produit est le terme constant, c'est-à-dire c. Vous trouverez plus bas la justification de cette méthode.
On vient de voir que x, squared, plus, 6, x, plus, 8, equals, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis. On vérifie que 2 et 4 sont bien les entiers tels que 2, plus, 4, equals, 6 et 2, ×, 4, equals, 8.
Voici un exemple.

Exemple 1 : Factoriser x, squared, plus, 5, x, plus, 6

Pour factoriser x, squared, plus, start color #e07d10, 5, end color #e07d10, x, plus, start color #aa87ff, 6, end color #aa87ff, on cherche les deux entiers dont le produit est le terme constant, c'est-à-dire start color #aa87ff, 6, end color #aa87ff, et dont la somme est le coefficient de x, c'est-à-dire start color #e07d10, 5, end color #e07d10.
start color #11accd, 2, end color #11accd, times, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, equals, 6 et start color #11accd, 2, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, equals, 5, donc ces deux entiers sont start color #11accd, 2, end color #11accd et start color #1fab54, 3, end color #1fab54.
Les deux facteurs sont : left parenthesis, x, plus, start color #11accd, 2, end color #11accd, right parenthesis et left parenthesis, x, plus, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis.
Et on peut écrire :
x, squared, plus, 5, x, plus, 6, equals, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis
Pour vérifier, on calcule le produit des deux binômes :
(x+2)(x+3)=(x+2)×x+(x+2)×3=x2+2x+3x+6=x2+5x+6\begin{aligned}(x+2)(x+3)&=(x+2)×x+(x+2)×3\\ \\ &=x^2+2x+3x+6\\ \\ &=x^2+5x+6 \end{aligned}
Le produit de x, plus, 2 par x, plus, 3 est bien égal à x, squared, plus, 5, x, plus, 6.

À vous !

1) Factoriser x, squared, plus, 7, x, plus, 10.
Choisissez une seule réponse :

2) Factoriser x, squared, plus, 9, x, plus, 20.
 

Voici d'autres exemples.

Exemple 2 : Factoriser x, squared, minus, 5, x, plus, 6

Pour factoriser x, squared, plus, start color #e07d10, minus, 5, end color #e07d10, x, plus, start color #aa87ff, 6, end color #aa87ff, on cherche les deux entiers dont le produit est start color #aa87ff, 6, end color #aa87ff, et dont la somme est start color #e07d10, minus, 5, end color #e07d10.
start color #11accd, minus, 2, end color #11accd, times, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, equals, 6 et start color #11accd, minus, 2, end color #11accd, plus, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, equals, minus, 5, donc ces deux entiers sont start color #11accd, minus, 2, end color #11accd et start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54.
Les deux facteurs sont : left parenthesis, x, plus, left parenthesis, start color #11accd, minus, 2, end color #11accd, right parenthesis, right parenthesis et left parenthesis, x, plus, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, right parenthesis.
On obtient :
x2−5x+6=(x+(−2))(x+(−3))=(x−2)(x−3)\begin{aligned}x^2-5x+6&=(x+(\blueD{-2}))(x+(\greenD{-3}))\\ \\ &=(x\blueD{-2})(x\greenD{-3}) \end{aligned}
Une remarque : Les entiers qu'il fallait trouver pour factoriser x, squared, minus, 5, x, plus, 6 sont tous les deux négatifs left parenthesis, minus, 2 etminus, 3, right parenthesis. C'est normal puisque leur produit est positif alors que leur somme est négative.
C'est un résultat général : si c est positif et b négatif, les deux entiers qu'il faut trouver pour factoriser x, squared, plus, b, x, plus, c sont tous les deux négatifs.

Exemple 3 : Factoriser x, squared, minus, x, minus, 6

x, squared, minus, x, minus, 6, equals, x, squared, minus, 1, x, minus, 6.
Pour factoriser x, squared, start color #e07d10, minus, 1, end color #e07d10, x, start color #aa87ff, minus, 6, end color #aa87ff, on cherche les deux entiers dont le produit est start color #aa87ff, minus, 6, end color #aa87ff, et dont la somme est start color #e07d10, minus, 1, end color #e07d10.
start color #11accd, 2, end color #11accd, times, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, equals, minus, 6 et start color #11accd, 2, end color #11accd, plus, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, equals, minus, 1, donc ces deux entiers sont start color #11accd, 2, end color #11accd et start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54.
Les deux facteurs sont : left parenthesis, x, plus, start color #11accd, 2, end color #11accd, right parenthesis et left parenthesis, x, plus, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, right parenthesis.
On obtient :
x2−x−6=(x+2)(x+(−3))=(x+2)(x−3)\begin{aligned}x^2-x-6&=(x+\blueD2)(x+(\greenD{-3}))\\ \\ &=(x+\blueD2)(x\greenD{-3}) \end{aligned}
Une remarque : L'un des entiers qu'il fallait trouver pour factoriser x, squared, minus, x, minus, 6 est négatif et l'autre est positif left parenthesis, 2 etminus, 3, right parenthesis. C'est normal puisque leur produit est négatif.
C'est un résultat général : si c est négatif, les deux entiers qu'il faut trouver pour factoriser x, squared, plus, b, x, plus, c sont de signes contraires.

À retenir

Pour factoriser x, squared, plus, start color #e07d10, b, end color #e07d10, x, plus, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, on doit trouver les deux entiers dont le produit est start color #aa87ff, c, end color #aa87ff et dont la somme est start color #e07d10, b, end color #e07d10.
Si m et n sont les entiers tels que c, equals, m, n et b, equals, m, plus, n, alors x, squared, plus, b, x, plus, c, equals, left parenthesis, x, plus, m, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, n, right parenthesis.

À vous !

3) Factoriser x, squared, minus, 8, x, minus, 9.
 

4) Factoriser x, squared, minus, 10, x, plus, 24.
 

5) Factoriser x, squared, plus, 7, x, minus, 30.
 

Justification

On reprend l'exemple du trinôme x, squared, plus, 5, x, plus, 6.
Voici de nouveau le produit de x, plus, start color #11accd, 2, end color #11accd par x, plus, start color #1fab54, 3, end color #1fab54 :
(x+2)(x+3)=(x+2)×x+(x+2)×3=x2+2x+3x+2×3=x2+(2+3)x+2×3\begin{aligned}(x+\blueD 2)(x+\greenD3)&={(x+\blueD2)}×x+(x+\blueD 2)×\greenD{3}\\ \\ &=x^2+\blueD2x+\greenD3x+\blueD2\times\greenD3\\ \\ &=x^2+(\blueD 2+\greenD 3)x+\blueD2\times \greenD3 \end{aligned}
Le coefficient du terme en x est la somme de start color #11accd, 2, end color #11accd et de start color #1fab54, 3, end color #1fab54, et le terme constant est le produit de start color #11accd, 2, end color #11accd par start color #1fab54, 3, end color #1fab54.

L'identité space, space, x, squared, plus, left parenthesis, m, plus, n, right parenthesis, x, plus, m, n, equals, left parenthesis, x, plus, m, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, n, right parenthesis

Au lieu de calculer le produit left parenthesis, x, plus, start color #11accd, 2, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis, on calcule le produit left parenthesis, x, plus, start color #11accd, m, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54, right parenthesis :
(x+m)(x+n)=(x+m)×x+(x+m)×n=x2+mx+nx+m×n=x2+(m+n)x+m×n\begin{aligned}(x+\blueD m)(x+\greenD n)&={(x+\blueD m)}×x+(x+\blueD m)×\greenD{n}\\ \\ &=x^2+\blueD mx+\greenD nx+\blueD m\times \greenD n\\ \\ &=x^2+(\blueD m+\greenD n)x+\blueD m\times \greenD n \end{aligned}
Quel que soit x,
left parenthesis, x, plus, start color #11accd, m, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54, right parenthesis, equals, x, squared, plus, left parenthesis, start color #11accd, m, end color #11accd, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54, right parenthesis, x, plus, start color #11accd, m, end color #11accd, times, start color #1fab54, n, end color #1fab54
Et, dans l'autre sens : quel que soit x, x, squared, plus, left parenthesis, m, plus, n, right parenthesis, x, plus, m, n, equals, left parenthesis, x, plus, m, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, n, right parenthesis
Quel que soit x, x, squared, plus, start color #e07d10, b, end color #e07d10, x, plus, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff est de la forme x, squared, plus, left parenthesis, start color #11accd, m, end color #11accd, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54, right parenthesis, x, plus, start color #11accd, m, end color #11accd, times, start color #1fab54, n, end color #1fab54. Donc si les entiers start color #11accd, m, end color #11accd et start color #1fab54, n, end color #1fab54 sont tels que start color #e07d10, b, end color #e07d10, equals, start color #11accd, m, end color #11accd, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54 et start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, equals, start color #11accd, m, end color #11accd, times, start color #1fab54, n, end color #1fab54, alors x, squared, plus, b, x, plus, c, equals, left parenthesis, x, plus, start color #11accd, m, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54, right parenthesis

Une question

6) Peut-on utiliser cette méthode pour factoriser 2, x, squared, plus, 3, x, plus, 1, question mark
Choisissez une seule réponse :

A quelles conditions peut-on utiliser cette méthode ?

Il faut que la factorisation du trinôme soit de la forme left parenthesis, x, plus, m, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, n, right parenthesis où m et n sont deux entiers.
Donc le coefficient de x, squared doit être 1, car si on effectue le produit left parenthesis, x, plus, m, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, n, right parenthesis, le coefficient de x, squared est égal à 1.
Mais cette condition ne suffit pas. Par exemple, il n'est pas possible d'utiliser cette méthode pour factoriser le trinôme x, squared, plus, 2, x, plus, 2, car il n'existe pas d'entiers dont la somme et le produit soient égaux à 2. Remarque : x, squared, plus, 2, x, plus, 2 est un cas très particulier car vous verrez plus tard qu'il n'est pas possible par aucune méthode de factoriser ce trinôme dans l'ensemble des réels.
Nous verrons dans les prochaines leçons d'autres méthodes pour factoriser un trinôme.

Un dernier exercice

7*) Factoriser x, squared, plus, 5, x, y, plus, 6, y, squared.
 

8*) Factoriser x, start superscript, 4, end superscript, minus, 5, x, squared, plus, 6.
 

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