Factoriser un trinôme lorsque le coefficient du terme du second degré est différent de 1

Comment écrire un trinôme de la forme ax² + bx + c, où a est différent de 1 sous forme d'un produit de facteurs. Par exemple comment établir que 2x²+7x+3=(2x+1)(x+3).

Prérequis

Le sujet traité

Cette leçon porte sur la factorisation d'un trinôme si le coefficient du terme du second degré est différent de 11.

Exemple 1 : Factoriser 2x2+7x+32x^2+7x+3

Le coefficient de terme du second degré du trinôme (2x2+7x+3)(\blueD2x^2\goldD{+7}x\purpleC{+3}) est 2\blueD 2.
Pour factoriser 2x2+7x+3\blueD2x^2\goldD{+7}x\purpleC{+3}, la méthode est de chercher deux entiers dont le produit est égal à 2×3=6\blueD2\times\purpleC3=6, c'est-à-dire au produit du coefficient du terme du second degré et du terme constant, et dont la somme est égale à 7\goldD{7}, c'est-à-dire au coefficient du terme en xx.
1×6=6\tealD{1}\times \tealD{6}=6 et 1+6=7\tealD{1}+\tealD{6}=7, donc ces deux entiers sont 1\tealD1 et 6\tealD6.
On fait la liste des paires d'entiers dont le produit est 66. Puis on cherche la paire dont la somme des termes est 77.
Produit : m×n=6m\times n=6\quadSomme : m+n=7m+n=7
1×6=6\tealD1\times \tealD6=61+6=7\tealD1+\tealD6=7
2×3=6{2\times 3=6}2+3=5{2+3=5}
(1)×(6)=6(-1)\times (-6)=6(1)+(6)=7(-1)+(-6)=-7
(2)×(3)=6(-2)\times (-3)=6
On utilise les deux entiers trouvés pour décomposer le terme en xx : 2x2+7x+3=2x2+1x+6x+32x^2+7x+3=2x^2+\tealD 1x+\tealD 6x+3.
On regroupe les deux premiers termes du trinôme et les deux derniers termes et on les factorise séparément comme on l'a vu dans la leçon précédente :
=  2x2+1x+6x+3=(2x2+1x)+(6x+3)=x(2x+1)+3(2x+1)=x(2x+1)+3(2x+1)=(2x+1)(x+3) \begin{aligned}&\phantom{=}~~2x^2+1x+6x+3\\\\ &=({2x^2+1x}){+(6x+3)}&&\small{\gray{\text{}}}\\ \\ &=x({2x+1})+3({2x+1})&&\small{\gray{\text{}}}\\ \\ &=x(\maroonD{2x+1})+3(\maroonD{2x+1})&&\small{\gray{\text{}}}\\\\ &=(\maroonD{2x+1})(x+3)&&\small{\gray{\text{ } }} \end{aligned}
2x2+1x+6x+3=(2x+1)(x+3)2x^2+1x+6x+3=(2x+1)(x+3).
Si l'on avait écrit que 2x2+7x+3=2x2+6x+1x+32x^2+7x+3=2x^2+6x+1x+3, on aurait obtenu :
=2x2+6x+1x+3=(2x2+6x)+(1x+3)\begin{aligned}&\phantom{=}2x^2+6x+1x+3\\\\ &=({2x^2+6x}){+(1x+3)}&&\small{\gray{\text{}}}\\ \end{aligned}
puis ;
=2x(x+3)+1(x+3)=2x(x+3)+1(x+3)=(x+3)(2x+1) =(2x+1)(x+3)\begin{aligned}&=2x({x+3})+1({x+3})&&\small{\gray{\text{}}}\\ \\ &=2x(\maroonD{x+3})+1(\maroonD{x+3})&&\small{\gray{\text{}}}\\\\ &=(\maroonD{x+3})(2x+1)&&\small{\gray{\text{ }}}\\ \\ &=(2x+1)(x+3)&&\small{\gray{\text{}}} \end{aligned}
On aurait obtenu le même résultat !
Pour vérifier, on peut effectuer le produit (2x+1)(x+3)(2x+1)(x+3).
Voici le calcul :
=(2x+1)(x+3)=(2x+1)(x)+(2x+1)(3)=2x2+1x+6x+3=2x2+7x+3\begin{aligned}&\phantom{=}(2x+1)(x+3)\\\\ &=(2x+1)(x)+(2x+1)(3)\\ \\ &=2x^2+1x+6x+3\\ \\ &=2x^2+7x+3 \end{aligned}
(2x+1)(x+3)=2x2+7x+3(2x+1)(x+3)=2x^2+7x+3, On obtient bien le polynôme donné donc il n'y a pas d'erreur !

A retenir

Pour factoriser un trinôme de la forme ax2+bx+c\blueD ax^2+\goldD bx+\purpleC c, une méthode est de :
  1. Trouver les deux entiers dont le produit est ac\blueD a\purpleC c et dont la somme est b\goldD b.
  2. Utiliser ces deux entiers pour décomposer le terme en xx.
  3. Regrouper les deux premiers termes et les deux derniers termes du trinôme et les factoriser séparément.

A vous !

1) Le trinôme 3x2+10x+83x^2+10x+8 est égal à :
Réponse :
Réponse :
Pour factoriser 3x2+10x+8\blueD3x^2\goldD{+10}x\purpleC{+8}, on cherche les deux entiers dont le produit est 3×8=24\blueD3\times\purpleC8=24 et dont la somme est 10\goldD{10}.
On fait la liste des paires d'entiers dont le produit est 2424. Puis on cherche la paire dont la somme des termes est 1010.
Produit : m×n=24m\times n=24\quadSomme : m+n=10m+n=10
1×24=241\times 24=241+24=251+24=25
2×12=24{2\times 12=24}2+12=14{2+12=14}
3×8=243\times 8=243+8=113+8=11
4×6=24\tealD4\times \tealD6=244+6=10\tealD4+\tealD6=10
La somme est positive, donc il n'était pas nécessaire de lister les paires d'entiers négatifs dont le produit est égal à 2424.
On décompose le terme en xx : 10x=4x+6x10x=\tealD 4x+\tealD6 x
= 3x2+10x+8=3x2+4x+6x+8=(3x2+4x)+(6x+8)=x(3x+4)+2(3x+4)=x(3x+4)+2(3x+4) =(3x+4)(x+2)\begin{aligned}&\phantom{=}~3x^2+10x+8\\\\ &=3x^2+\tealD4x+\tealD6x+8\\\\ &=({3x^2+4x}){+(6x+8)}&&\small{\gray{\text{}}}\\ \\ &=x({3x+4})+2({3x+4})&&\small{\gray{\text{}}}\\ \\ &=x(\maroonD{3x+4})+2(\maroonD{3x+4})&&\small{\gray{\text{ }}}\\\\ &=(\maroonD{3x+4})(x+2)&&\small{\gray{\text{} }} \end{aligned}
3x2+10x+8=(3x+4)(x+2)3x^2+10x+8=(3x+4)(x+2).
2) Factoriser 4x2+16x+154x^2+16x+15.
 
Pour factoriser 4x2+16x+15\blueD4x^2\goldD{+16}x\purpleC{+15}, on cherche les deux entiers dont le produit est 4×15=60\blueD4\times\purpleC{15}=60 et dont la somme est 16\goldD{16}.
On fait la liste des paires d'entiers dont le produit est 6060. Puis on cherche la paire dont la somme des termes est 1616.
Produit : m×n=60m\times n=60\quadSomme : m+n=16m+n=16
1×60=601\times 60=601+60=611+60=61
2×30=60{2\times 30=60}2+30=32{2+30=32}
4×15=604\times 15=604+15=194+15=19
5×12=605\times 12=605+12=175+12=17
6×10=60\tealD{6}\times \tealD{10}=606+10=16\tealD{6}+\tealD{10}=16
La somme est positive, donc il n'était pas nécessaire de lister les paires d'entiers négatifs dont le produit est égal à 6060.
On décompose le terme en xx : 16x=6x+10x16x=\tealD 6x+\tealD{10} x
= 4x2+16x+15=4x2+6x+10x+15=(4x2+6x)+(10x+15) =2x(2x+3)+5(2x+3)=2x(2x+3)+5(2x+3)=(2x+3)(2x+5)\begin{aligned}&\phantom{=}~4x^2+16x+15\\\\ &=4x^2+\tealD6x+\tealD{10}x+15\\\\ &=({4x^2+6x}){+(10x+15)}&&\small{\gray{\text{ }}}\\ \\ &=2x({2x+3})+5({2x+3})&&\small{\gray{\text{}}}\\ \\ &=2x(\maroonD{2x+3})+5(\maroonD{2x+3})&&\small{\gray{\text{}}}\\\\ &=(\maroonD{2x+3})(2x+5)&&\small{\gray{\text{}}} \end{aligned}
4x2+16x+15=(2x+3)(2x+5)4x^2+16x+15= (2x+3)(2x+5).

Exemple 2 : Factoriser 6x25x46x^2-5x-4

Pour factoriser 6x25x4\blueD6x^2\goldD{-5}x\purpleC{-4}, on cherche les deux entiers dont le produit est 6×(4)=24\blueD6\times(\purpleC{-4})=-24 et dont la somme est 5\goldD{-5}.
3×8=24\tealD{3}\times \tealD{-8}=-24 et 3+8=5\tealD{3}+\tealD{-8}=-5, donc ces deux entiers sont 3\tealD3 et 8\tealD{-8}.
On fait la liste des paires d'entiers dont le produit est 24-24. Puis on cherche la paire dont la somme des termes est 5-5.
Produit : m×n=24m\times n=-24\quadSomme : m+n=5m+n=-5
1×(24)=241\times (-24)=-241+(24)=231+(-24)=-23
1×24=24-1\times 24=-241+24=23-1+24=23
2×(12)=24{2\times (-12)=-24}2+(12)=10{2+(-12)=-10}
2×12=24{-2\times 12=-24}2+12=10{-2+12=10}
3×(8)=24\tealD3\times (\tealD{-8})=-243+(8)=5\tealD{3}+(\tealD{-8})=-5
3×8=24-3\times 8=-243+8=5-3+8=5
4×(6)=244\times (-6)=-244+(6)=24+(-6)=-2
4×6=24-4\times 6=-24
On décompose le terme en xx : 5x=3x+(8)x-5x=\tealD 3x+(\tealD{-8}) x
= 6x2+3x8x4(1)=(6x2+3x)+(8x4)(2)=3x(2x+1)+(4)(2x+1)(3)=3x(2x+1)4(2x+1)(4)=3x(2x+1)4(2x+1)(5)=(2x+1)(3x4)\begin{aligned}&&&\phantom{=}~6x^2+\tealD{3}x\tealD{-8}x-4\\\\ \small{\blueD{(1)}}&&&=({6x^2+3x}){+(-8x-4)}&&\small{\gray{\text{}}}\\ \\ \small{\blueD{(2)}}&&&=3x({2x+1})+(-4)({2x+1})&&\small{\gray{\text{}}}\\ \\ \small{\blueD{(3)}}&&&=3x({2x+1})-4({2x+1})&&\small{\gray{\text{}}}\\ \\ \small{\blueD{(4)}}&&&=3x(\maroonD{2x+1})-4(\maroonD{2x+1})&&\small{\gray{\text{}}}\\\\ \small{\blueD{(5)}}&&&=(\maroonD{2x+1})(3x-4)&&\small{\gray{\text{} }}\\ \end{aligned}
6x25x4=(2x+1)(3x4)6x^2-5x-4=(2x+1)(3x-4).
Pour vérifier, on peut effectuer le produit (2x+1)(3x4)(2x+1)(3x-4).
Voici le calcul :
(2x+1)(3x4)=6x25x4(2x+1)(3x-4)=6x^2-5x-4, On obtient bien le polynôme donné donc il n'y a pas d'erreur !
Attention. A l'étape (1)\small{\blueD{(1)}}, on a mis un signe "+" entre (6x2+3x)(6x^2+3x) et (8x4)(-8x-4). De cette façon, la deuxième parenthèse contient bien le troisième terme du polynôme qui est (8x)(-8x) et le quatrième terme. A l'étape (2)\small{\blueD{(2)}}, on a mis 4-4 en facteur de façon à obtenir le facteur commun (2x+1)(2x+1).

A vous !

3) Le trinôme 2x23x92x^2-3x-9 est égal à :
Réponse :
Réponse :
Pour factoriser 2x23x9\blueD2x^2\goldD{-3}x\purpleC{-9}, on cherche les deux entiers dont le produit est 2×9=18\blueD2\times\purpleC{-9}=-18 et dont la somme est 3\goldD{-3}.
On fait la liste des paires d'entiers dont le produit est 18-18. Puis on cherche la paire dont la somme des termes est 3-3.
Produit : m×n=18m\times n=-18\quadSomme : m+n=3m+n=-3
(1)×18=18(-1)\times 18=-18(1)+18=17(-1)+18=17
1×(18)=18{1\times (-18)=-18}1+(18)=17{1+(-18)=-17}
(2)×9=18(-2)\times 9=-18(2)+9=7(-2)+9=7
2×(9)=182\times (-9)=-182+(9)=72+(-9)=-7
(3)×6=18(-3)\times 6=-18(3)+6=3(-3)+6=3
3×(6)=18\tealD{3}\times (\tealD{-6})=-183+(6)=3\tealD{3}+(\tealD{-6})=-3
On décompose le terme en xx : 3x=3x+6x-3x=\tealD 3x+\tealD{-6} x
= 2x23x9=2x2+3x6x9=(2x2+3x)+(6x9)=x(2x+3)+(3)(2x+3)=x(2x+3)3(2x+3)=x(2x+3)3(2x+3)=(2x+3)(x3)\begin{aligned}&\phantom{=}~2x^2-3x-9\\\\ &=2x^2+\tealD3x\tealD{-6}x-9\\\\ &=({2x^2+3x}){+(-6x-9)}&&\small{\gray{\text{}}}\\ \\ &=x({2x+3})+(-3)({2x+3})&&\small{\gray{\text{}}}\\\\ &=x({2x+3})-3({2x+3})&&\small{\gray{\text{}}}\\ \\ &=x(\maroonD{2x+3})-3(\maroonD{2x+3})&&\small{\gray{\text{}}}\\\\ &=(\maroonD{2x+3})(x-3)&&\small{\gray{\text{}}} \end{aligned}
2x23x3x9=(2x+3)(x3)2x^2-3x-3x-9=(2x+3)(x-3).
4) Factoriser 3x22x53x^2-2x-5.
 
Pour factoriser 3x22x5\blueD3x^2\goldD{-2}x\purpleC{-5}, on cherche les deux entiers dont le produit est 3×5=15\blueD3\times\purpleC{-5}=-15 et dont la somme est 2\goldD{-2}.
On fait la liste des paires d'entiers dont le produit est 15-15. Puis on cherche la paire dont la somme des termes est 2-2.
Produit : m×n=15m\times n=-15\quadSomme : m+n=2m+n=-2
(1)×15=15(-1)\times 15=-15(1)+15=14(-1)+15=14
1×(15)=15{1\times (-15)=-15}1+(15)=14{1+(-15)=-14}
(3)×5=15(-3)\times 5=-15(3)+5=2(-3)+5=2
3×(5)=15\tealD 3\times (\tealD{-5})=-153+(5)=2\tealD{3}+(\tealD{-5})=-2
On décompose le terme en xx : 2x=5x+3x-2x=\tealD {-5}x+\tealD{3} x
= 3x22x5=3x25x+3x5=(3x25x)+(3x5)=x(3x5)+1(3x5)=x(3x5)+1(3x5)=(3x5)(x+1)\begin{aligned}&\phantom{=}~3x^2-2x-5\\\\ &=3x^2\tealD{-5x}+\tealD{3}x-5\\\\ &=({3x^2-5x}){+(3x-5)}&&\small{\gray{\text{}}}\\ \\ &=x({3x-5})+1({3x-5})&&\small{\gray{\text{}}}\\\\ &=x(\maroonD{3x-5})+1(\maroonD{3x-5})&&\small{\gray{\text{}}}\\\\ &=(\maroonD{3x-5})(x+1)&&\small{\gray{\text{} }} \end{aligned}
3x22x5=(3x5)(x+1)3x^2-2x-5=(3x-5)(x+1).
5) Factoriser 6x213x+66x^2-13x+6.
 
Pour factoriser 6x213x+6\blueD6x^2\goldD{-13}x\purpleC{+6}, on cherche les deux entiers dont le produit est 6×6=36\blueD6\times\purpleC{6}=36 et dont la somme est 13\goldD{-13}.
On fait la liste des paires d'entiers dont le produit est 3636. Puis on cherche la paire dont la somme des termes est 13-13.
Les deux entiers cherchés sont négatifs car leur produit est positif et leur somme est négative. Donc on liste seulement les paires d'entiers négatifs dont le produit est 3636.
Produit: m×n=36m\times n=36\quadSomme : m+n=13m+n=-13
(1)×(36)=36(-1)\times (-36)=36(1)+(36)=37(-1)+(-36)=-37
(2)×(18)=36{(-2)\times (-18)=36}(2)+(18)=20{(-2)+(-18)=-20}
(3)×(12)=36(-3)\times (-12)=36(3)+(12)=15(-3)+(-12)=-15
(4)×(9)=36(\tealD{-4})\times (\tealD{-9})=36(4)+(9)=13(\tealD{-4})+(\tealD{-9})=-13
(6)×(6)=36(-6)\times (-6)=36(6)+(6)=12(-6)+(-6)=-12
On décompose le terme en xx : 13x=4x+9x-13x=\tealD {-4}x+\tealD{-9} x
= 6x213x+6=6x24x9x+6=(6x24x)+(9x+6)=2x(3x2)+(3)(3x2)=2x(3x2)3(3x2)=2x(3x2)3(3x2)=(3x2)(2x3)3x2\begin{aligned}&\phantom{=}~6x^2-13x+6\\\\ &=6x^2\tealD{-4x}\tealD{-9}x+6\\\\ &=({6x^2-4x}){+(-9x+6)}&&\small{\gray{\text{}}}\\ \\ &=2x({3x-2})+(-3)({3x-2})&&\small{\gray{\text{}}}\\\\ &=2x({3x-2})-3({3x-2})&&\small{\gray{\text{}}}\\\\ &=2x(\maroonD{3x-2})-3(\maroonD{3x-2})&&\small{\gray{\text{}}}\\\\ &=(\maroonD{3x-2})(2x-3)&&\small{\gray{\text{} 3x-2}} \end{aligned}
6x213x+6=(3x2)(2x3)6x^2-13x+6=(3x-2)(2x-3).

Quand utilise-t-on cette méthode ?

On peut utiliser cette méthode pour factoriser certains trinômes de la forme ax2+bx+cax^2+bx+c, si a1a\neq 1.
Certains seulement !
En effet, soit par exemple le trinôme 2x2+2x+1\blueD2x^2\goldD{+2}x\purpleC{+1}. Pour utiliser cette méthode de factorisation, il faut d'abord trouver les deux entiers dont le produit est 2×1=2\blueD{2}\times \purpleC{1}=2 et dont la somme est 2\goldD{2}. Vous pouvez essayer, vous ne les trouverez pas !
Donc on ne peut pas utiliser cette méthode pour factoriser 2x2+2x+1\blueD2x^2\goldD{+2}x\purpleC{+1}. Et bien sûr, ce n'est pas le seul trinôme que l'on ne peut pas factoriser en utilisant cette méthode
Dans tous les cas, si l'on ne peut pas utiliser cette méthode, c'est que la factorisation du trinôme n'est pas de la forme (Ax+B)(Cx+D)(Ax+B)(Cx+D)AA, BB, CC et DD sont des entiers.

Pourquoi cette méthode fonctionne-t-elle ?

La méthode est basée sur l'identité : Quel que soit xx, (AC)x2+(BC+AD)x+BD=(Ax+B)(Cx+D)(AC)x^2+(BC+AD)x+BD=(Ax+B)(Cx+D)
Soit un trinôme de la forme ax2+bx+cax^2+bx+c que l'on peut factoriser sous la forme (Ax+B)(Cx+D)(\blueD Ax+\goldD B)(\greenD Cx+\purpleC D), où AA, BB, CC et DD sont des entiers.
Si on développe ce produit on obtient (AC)x2+(BC+AD)x+BD(\blueD{A}\greenD{ C})x^2+(\goldD{B}\greenD{ C}+\blueD{A} \purpleC{D})x+\goldD{B}\purpleC{D}.
=(Ax+B)(Cx+D)=(Ax+B)(Cx)+(Ax+B)(D)=ACx2+BCx+ADx+BD=(AC)x2+(BC+AD)x+BD \begin{aligned}&\phantom{=}(\blueD Ax+\goldD B)(\greenD Cx+\purpleC D)\\\\ &=(\blueD Ax+\goldD B)(\greenD Cx)+(\blueD Ax+\goldD B)(\purpleC D)&&\small{\gray{\text{}}}\\ \\ &=\blueD{A}\greenD C x^2+\goldD{B}\greenD{C}x+\blueD{A}\purpleC {D}x+\goldD{B}\purpleC{D}&&\small{\gray{\text{}}}\\ \\ &=(\blueD{A}\greenD{ C})x^2+(\goldD{B}\greenD{ C}+\blueD{A} \purpleC{D})x+\goldD{B}\purpleC{D} &&\small{\gray{\text{ }}} \end{aligned}
Quel que soit xx, ce trinôme est égal au trinôme ax2+bx+cax^2+bx+c. On identifie leurs coefficients : a=ACa=AC, b=BC+ADb=BC+AD et c=BDc=BD :
On pose m=BCm=\goldD B\greenD C et n=ADn=\blueD A\purpleC D.
Donc,
  • m+n=BC+AD=bm+n=\goldD B \greenD C+\blueD A\purpleC D=b et
  • m×n=BC×AD=AC×BD=a×cm\times n=\goldD B\greenD C×\blueD A\purpleC D=\blueD A\greenD C×\goldD B\purpleC D=a\times c.
Et donc les deux entiers que l'on cherche sont BC\goldD B\greenD C et AD\blueD A\purpleC D
Une fois que l'on a trouvé les entiers mm et nn on les utilise pour décomposer le terme en xx du trinôme à factoriser.
Il est clair que si l'on remplace (BC+AD)x(\goldD{B}\greenD{ C}+\blueD{A} \purpleC{D})x par (BC)x+(AD)x(\goldD B \greenD C)x+(\blueD A \purpleC D)x, puis si l'on regroupe les deux premiers termes et les deux derniers termes du trinôme et si on les factorise séparément, on obtient le produit (Ax+B)(Cx+D)(\blueD Ax+\goldD B)(\greenD Cx+\purpleC D).
= (AC)x2+(BC+AD)x+BD=ACx2+BCx+ADx+BD=(ACx2+BCx)+(ADx+BD)=(Ax+B)(Cx)+(Ax+B)(D)Factor out GCFs=(Ax+B)(Cx+D)\begin{aligned}&\phantom{=}~(\blueD{A}\greenD{ C})x^2+(\goldD{B}\greenD{ C}+\blueD{A} \purpleC{D})x+\goldD{B}\purpleC{D} &&\small{\gray{\text{}}}\\\\ &=\blueD{A}\greenD C x^2+\goldD{B}\greenD{C}x+\blueD{A}\purpleC {D}x+\goldD{B}\purpleC{D}&&\small{\gray{\text{}}}\\\\ &=(\blueD{A}\greenD C x^2+\goldD{B}\greenD{C}x)+(\blueD{A}\purpleC {D}x+\goldD{B}\purpleC{D})&&\small{\gray{\text{}}}\\\\ &=(\blueD Ax+\goldD B)(\greenD Cx)+(\blueD Ax+\goldD B)(\purpleC D)&&\small{\gray{\text{Factor out GCFs}}}\\ \\ &=(\blueD Ax+\goldD B)(\greenD Cx+\purpleC D)&&\small{\gray{\text{}}}\\ \\ \end{aligned}
En conclusion,
  • On est parti d'un trinôme de la forme ax2+bx+cax^2+bx+c dont la factorisation est de la forme (Ax+B)(Cx+D)(Ax+B)(Cx+D),
  • On a trouvé deux entiers mm et nn, tels que mn=acmn=ac et m+n=bm+n=b ((en posant m=BCm=BC et n=AD)n=AD),
  • On a remplacé bxbx par mx+nxmx+nx, et on a obtenu la factorisation (Ax+B)(Cx+D)(Ax+B)(Cx+D).
Ceci justifie l'emploi de cette méthode pour les trinômes de ce type.
.
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