Factoriser un polynôme c'est l'écrire sous forme d'un produit.
Cette leçon vous permet de vous entraîner à déceler une différence de deux carrés dans un polynôme et à appliquer l'identité remarquable correspondante. Reportez-vous si nécessaire à la vidéo qui traite de cette identité remarquable.

Factoriser une différence de deux carrés

L'identité remarquable est :
start color blueD, a, end color blueD, start superscript, 2, end superscript, minus, start color greenD, b, end color greenD, start superscript, 2, end superscript, equals, left parenthesis, start color blueD, a, end color blueD, plus, start color greenD, b, end color greenD, right parenthesis, left parenthesis, start color blueD, a, end color blueD, minus, start color greenD, b, end color greenD, right parenthesis
Par exemple si a, equals, x et b, equals, 2, on obtient :
x222=(x+2)(x2)\begin{aligned}\blueD{x}^2-\greenD{2}^2=(\blueD x+\greenD 2)(\blueD x-\greenD 2)\end{aligned}
Donc x, start superscript, 2, end superscript, minus, 4, equals, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis. Pour vérifier on peut développer le deuxième membre :
(x+2)(x2)=x(x2)+2(x2)=x22x+2x4=x24\begin{aligned}(x+2)(x-2)&=x(x-2)+2(x-2)\\\\&=x^2-2x+2x-4\\ \\ &=x^2-4\end{aligned}
Voici d'autres exemples.

Exemple 1 : La factorisation de x, start superscript, 2, end superscript, minus, 16

x, start superscript, 2, end superscript et 16 sont des carrés car x, start superscript, 2, end superscript, equals, left parenthesis, start color blueD, x, end color blueD, right parenthesis, start superscript, 2, end superscript and 16, equals, start color greenD, 4, end color greenD, start superscript, 2, end superscript :
x, start superscript, 2, end superscript, minus, 16, equals, left parenthesis, start color blueD, x, end color blueD, right parenthesis, start superscript, 2, end superscript, minus, left parenthesis, start color greenD, 4, end color greenD, right parenthesis, start superscript, 2, end superscript
Ce polynôme est une différence de deux carrés. Pour le factoriser on utilise l'identité remarquable :
start color blueD, a, end color blueD, start superscript, 2, end superscript, minus, start color greenD, b, end color greenD, start superscript, 2, end superscript, equals, left parenthesis, start color blueD, a, end color blueD, plus, start color greenD, b, end color greenD, right parenthesis, left parenthesis, start color blueD, a, end color blueD, minus, start color greenD, b, end color greenD, right parenthesis
start color blueD, a, end color blueD, equals, start color blueD, x, end color blueD et start color greenD, b, end color greenD, equals, start color greenD, 4, end color greenD, donc
left parenthesis, start color blueD, x, end color blueD, right parenthesis, start superscript, 2, end superscript, minus, left parenthesis, start color greenD, 4, end color greenD, right parenthesis, start superscript, 2, end superscript, equals, left parenthesis, start color blueD, x, end color blueD, plus, start color greenD, 4, end color greenD, right parenthesis, left parenthesis, start color blueD, x, end color blueD, minus, start color greenD, 4, end color greenD, right parenthesis
Pour vérifier, on peut effectuer le produit left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis.
On multiplie left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis par left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis.
(x+4)(x4)=x(x4)+4(x4)=x24x+4x16=x216\begin{aligned}(x+4)(x-4)&=x(x-4)+4(x-4)\\ \\ &=x^2-4x+4x-16\\ \\ &=x^2-16\end{aligned}
On obtient bien x, start superscript, 2, end superscript, minus, 16.

A vous !

1) x, start superscript, 2, end superscript, minus, 25 est égal à :
Réponse :
Réponse :

x, start superscript, 2, end superscript et 25 sont des carrés car x, start superscript, 2, end superscript, equals, left parenthesis, start color blueD, x, end color blueD, right parenthesis, start superscript, 2, end superscript et 25, equals, start color greenD, 5, end color greenD, start superscript, 2, end superscript. Donc,
x225=(x)2(5)2=(x+5)(x5)\begin{aligned}x^2-25&=(\blueD{x})^2-(\greenD{5})^2\\ \\ &=(\blueD{x}+\greenD{5})(\blueD{x}-\greenD{5})\end{aligned}
2) Factoriser x, start superscript, 2, end superscript, minus, 100.
 

x, start superscript, 2, end superscript et 100 sont des carrés car x, start superscript, 2, end superscript, equals, left parenthesis, start color blueD, x, end color blueD, right parenthesis, start superscript, 2, end superscript et 100, equals, start color greenD, 10, end color greenD, start superscript, 2, end superscript. Donc,
x2100=(x)2(10)2=(x+10)(x10)\begin{aligned}x^2-100&=(\blueD{x})^2-(\greenD{10})^2\\ \\ &=(\blueD{x}+\greenD{10})(\blueD{x}-\greenD{10})\end{aligned}

Une question

3) Peut-on utiliser cette identité remarquable pour factoriser x, start superscript, 2, end superscript, plus, 25 ?
Réponse :
Réponse :

x, start superscript, 2, end superscript et 25 sont des carrés, mais x, start superscript, 2, end superscript, plus, 25 est une somme et non une différence.
Il n'est pas possible de factoriser une somme de deux carrés dans l'ensemble des réels.

Exemple 2 : La factorisation de 4, x, start superscript, 2, end superscript, minus, 9

Là aussi on a affaire à une différence de deux carrés.
4, x, start superscript, 2, end superscript et 9 sont des carrés car 4, x, start superscript, 2, end superscript, equals, left parenthesis, start color blueD, 2, x, end color blueD, right parenthesis, start superscript, 2, end superscript et 9, equals, start color greenD, 3, end color greenD, start superscript, 2, end superscript. Donc :
4x29=(2x)232=(2x+3)(2x3)\begin{aligned}4x^2-9 &=(\blueD {2x})^2-\greenD{3}^2\\ \\ &=(\blueD {2x}+\greenD 3)(\blueD {2x}-\greenD 3) \end{aligned}
Pour vérifier, on peut effectuer le produit left parenthesis, 2, x, plus, 3, right parenthesis, left parenthesis, 2, x, minus, 3, right parenthesis.
On multiplie left parenthesis, 2, x, plus, 3, right parenthesis par left parenthesis, 2, x, minus, 3, right parenthesis.
(2x+3)(2x3)=2x(2x3)+3(2x3)=4x26x+6x9=4x29\begin{aligned}(2x+3)(2x-3)&=2x(2x-3)+3(2x-3)\\ \\ &=4x^2-6x+6x-9\\ \\ &=4x^2-9\end{aligned}
On obtient bien 4, x, start superscript, 2, end superscript, minus, 9.

A vous !

4) 25, x, start superscript, 2, end superscript, minus, 4 est égal à :
Réponse :
Réponse :

25, x, start superscript, 2, end superscript et 4 sont des carrés car 25, x, start superscript, 2, end superscript, equals, left parenthesis, start color blueD, 5, x, end color blueD, right parenthesis, start superscript, 2, end superscript et 4, equals, start color greenD, 2, end color greenD, start superscript, 2, end superscript. Donc :
25x24=(5x)222=(5x+2)(5x2)\begin{aligned}25x^2-4&=(\blueD{5x})^2-\greenD{2}^2\\ \\ &=(\blueD{5x}+\greenD{2})(\blueD{5x}-\greenD{2})\end{aligned}
5) Factoriser 64, x, start superscript, 2, end superscript, minus, 81.
 

64, x, start superscript, 2, end superscript et 81 sont des carrés car 64, x, start superscript, 2, end superscript, equals, left parenthesis, start color blueD, 8, x, end color blueD, right parenthesis, start superscript, 2, end superscript et 81, equals, start color greenD, 9, end color greenD, start superscript, 2, end superscript. Donc :
64x281=(8x)292=(8x+9)(8x9)\begin{aligned}64x^2-81&=(\blueD{8x})^2-\greenD{9}^2\\ \\ &=(\blueD{8x}+\greenD{9})(\blueD{8x}-\greenD{9})\end{aligned}
6) Factoriser 36, x, start superscript, 2, end superscript, minus, 1.
 

36, x, start superscript, 2, end superscript et 1 sont des carrés car 36, x, start superscript, 2, end superscript, equals, left parenthesis, start color blueD, 6, x, end color blueD, right parenthesis, start superscript, 2, end superscript et 1, equals, start color greenD, 1, end color greenD, start superscript, 2, end superscript. Donc :
36x21=(6x)212=(6x+1)(6x1)\begin{aligned}36x^2-1&=(\blueD{6x})^2-\greenD{1}^2\\ \\ &=(\blueD{6x}+\greenD{1})(\blueD{6x}-\greenD{1})\end{aligned}

Un dernier exercice

7*) Factoriser x, start superscript, 4, end superscript, minus, 9.
 

x, start superscript, 4, end superscript et 9 sont des carrés car x, start superscript, 4, end superscript, equals, left parenthesis, start color blueD, x, start superscript, 2, end superscript, end color blueD, right parenthesis, start superscript, 2, end superscript et 9, equals, start color greenD, 3, end color greenD, start superscript, 2, end superscript. Donc,
x49=(x2)2(3)2=(x2+3)(x23)\begin{aligned}x^4-9&=(\blueD{x^2})^2-(\greenD{3})^2\\ \\ &=(\blueD{x^2}+\greenD{3})(\blueD{x^2}-\greenD{3})\end{aligned}
Ceci montre que l'on peut appliquer cette identité remarquable à des polynômes de degré supérieur à 2.
8*) Factoriser 4, x, start superscript, 2, end superscript, minus, 49, y, start superscript, 2, end superscript.
 

4, x, start superscript, 2, end superscript et 49, y, start superscript, 2, end superscript sont des carrés car 4, x, start superscript, 2, end superscript, equals, left parenthesis, start color blueD, 2, x, end color blueD, right parenthesis, start superscript, 2, end superscript et 49, y, start superscript, 2, end superscript, equals, start color greenD, 7, y, end color greenD, start superscript, 2, end superscript. Donc,
4x249y2=(2x)2(7y)2=(2x+7y)(2x7y)\begin{aligned}4x^2-49y^2&=(\blueD{2x})^2-(\greenD{7y})^2\\ \\ &=(\blueD{2x}+\greenD{7y})(\blueD{2x}-\greenD{7y})\end{aligned}