Factoriser un polynôme c'est l'écrire sous forme d'un produit.
Cette leçon vous permet de vous entraîner à déceler une différence de deux carrés dans un polynôme et à appliquer l'identité remarquable correspondante. Reportez-vous si nécessaire à la vidéo qui traite de cette identité remarquable.

Factoriser une différence de deux carrés

L'identité remarquable est :
a2b2=(a+b)(ab)\blueD{a}^2-\greenD{b}^2=(\blueD a+\greenD b)(\blueD a-\greenD b)
Par exemple si a=xa=x et b=2b=2, on obtient :
x222=(x+2)(x2)\begin{aligned}\blueD{x}^2-\greenD{2}^2=(\blueD x+\greenD 2)(\blueD x-\greenD 2)\end{aligned}
Donc x24=(x+2)(x2)x^2-4=(x+2)(x-2). Pour vérifier on peut développer le deuxième membre :
(x+2)(x2)=x(x2)+2(x2)=x22x+2x4=x24\begin{aligned}(x+2)(x-2)&=x(x-2)+2(x-2)\\\\&=x^2-2x+2x-4\\ \\ &=x^2-4\end{aligned}
Voici d'autres exemples.

Exemple 1 : La factorisation de x216x^2-16

x2x^2 et 1616 sont des carrés car x2=(x)2x^2=(\blueD{x})^2 and 16=4216=\greenD{4}^2 :
x216=(x)2(4)2x^2-16 =(\blueD {x})^2-(\greenD{4})^2
Ce polynôme est une différence de deux carrés. Pour le factoriser on utilise l'identité remarquable :
a2b2=(a+b)(ab)\blueD{a}^2-\greenD{b}^2=(\blueD a+\greenD b)(\blueD a-\greenD b)
a=x\blueD a=\blueD x et b=4\greenD b=\greenD 4, donc
(x)2(4)2=(x+4)(x4)(\blueD{x})^2-(\greenD{4})^2=(\blueD x+\greenD 4)(\blueD x-\greenD 4)
Pour vérifier, on peut effectuer le produit (x+4)(x4)(x+4)(x-4).

A vous !

Une question

Exemple 2 : La factorisation de 4x294x^2-9

Là aussi on a affaire à une différence de deux carrés.
4x24x^2 et 99 sont des carrés car 4x2=(2x)24x^2=(\blueD{2x})^2 et 9=329=\greenD{3}^2. Donc :
4x29=(2x)232=(2x+3)(2x3)\begin{aligned}4x^2-9 &=(\blueD {2x})^2-\greenD{3}^2\\ \\ &=(\blueD {2x}+\greenD 3)(\blueD {2x}-\greenD 3) \end{aligned}
Pour vérifier, on peut effectuer le produit (2x+3)(2x3)(2x+3)(2x-3).

A vous !

Un dernier exercice

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