Comment savoir quelle méthode de factorisation utiliser ?

Rappel

MéthodeExempleQuand peut-on l'appliquer ?
Repérer un facteur commun= 6x2+3x=3x(2x+1)\begin{aligned}&\phantom{=}~6x^2+3x\\\\&=3x(2x+1)\\\\\end{aligned}Si les termes du polynôme ont un facteur commun.
Utiliser l'identité x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)= x2+7x+12=(x+3)(x+4)\begin{aligned}&\phantom{=}~x^2+7x+12\\\\&=(x+3)(x+4)\end{aligned}Si le trinôme est de la forme x2+bx+cx^2+bx+c et s'il existe deux entiers dont le produit est cc et la somme bb.
Décomposer le terme en xx= 2x2+7x+3=2x2+6x+1x+3=2x(x+3)+1(x+3)=(x+3)(2x+1)\begin{aligned}&\phantom{=}~2x^2+7x+3\\\\&=2x^2+6x+1x+3\\\\&=2x(x+3)+1(x+3)\\\\&=(x+3)(2x+1)\\\\\\\end{aligned}Si le trinôme est de la forme ax2+bx+cax^2+bx+c et s'il existe deux entiers dont le produit est acac et la somme bb.
Utiliser l'identité a2+2ab+b2=(a+b)2a^2+2ab+b^2=(a+b)^2= x2+10x+25=(x+5)2\begin{aligned}&\phantom{=}~x^2+10x+25\\\\&=(x+5)^2\end{aligned}Si deux des termes du polynôme sont des carrés et si le troisième terme est le double produit de leurs racines carrées.
Utiliser l'identité a2b2=(a+b)(ab)a^2-b^2=(a+b)(a-b)=  x29=(x3)(x+3)\begin{aligned}&\phantom{=}~~x^2-9\\\\&=(x-3)(x+3)\end{aligned}Si le polynôme est une différence de deux carrés

Le choix de la méthode

Pour détecter la méthode à utiliser, il faut "ausculter" le polynôme à factoriser.
Nous vous proposons un exemple de crible de questions à se poser.

Factoriser un trinôme du second degré

La première chose à faire est de réduire et ordonner le polynôme.
Ensuite, voici une liste de questions à se poser :
Question 1 : Les termes du polynôme ont-ils des facteurs communs ?
Si non, passer à la Question 2. Si oui, mettre ces facteurs communs en facteur et passer à la Question 2.
Cette première étape est importante car elle permet d'obtenir un polynôme dont les coefficients sont moins élevés et/ou un polynôme de degré moins élevé.
Question 2 : Le polynôme ou l'un de ses facteurs est-il une différence de deux carrés (i.e. x216x^2-16 ou 25x2925x^2-9) ?
Si c'est le cas, utiliser l'identité a2b2=(a+b)(ab)a^2-b^2=(a+b)(a-b). si non, passer à la Question 3.
Question 3 : Le polynôme ou l'un de ses facteurs est-il le développement du carré d'une somme (i.e. x210x+25x^2-10x+25 ou 4x2+12x+94x^2+12x+9) ?
Si c'est le cas, utiliser l'identité a2±2ab+b2=(a±b)2a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2. si non, passer à la Question 4.
Question 4 :
a.) Le trinôme ou l'un de ses facteurs est-il de la forme x2+bx+cx^2+bx+c ?
Si non, passer à la Question 5. Si oui passer au b).
b.) Existe-t-il deux entiers dont le produit est cc et dont la somme est bb ?
Si oui, utiliser l'identité x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b). Si non le trinôme x2+bx+cx^2+bx+c n'est pas factorisable.
Question 5 : Existe-t-il un couple d'entiers dont le produit est acac et dont la somme est bb ?
Si vous en êtes à la question 55, c'est que le trinôme à factoriser est de la forme ax2+bx+cax^2+bx+c avec a1a\neq 1. S'il existe deux entiers dont le produit est acac et la somme bb, utilisez-les pour décomposer le terme xx, sinon, le trinôme n'est pas factorisable dans l'ensemble des réels.
Ce plan d'étude permet d'être sûr de factoriser au maximum le trinôme à factoriser.
Voici quelques exemples.

Exemple 1 : Factoriser 5x2805x^2-80

Ce polynôme est réduit et ordonné.
Question 1 : Y a-t-il un facteur commun ?
Oui. On peut mettre 55 en facteur :
5x280=5(x216)5x^2-80=5({x^2-16})
Question 2 : L'un des facteurs est-il une différence de deux carrés ?
Oui. x216=x242x^2-16=\blueD {x}^2-\greenD 4^2. Donc,
5x280=5(x242)=5(x+4)(x4)\begin{aligned}\phantom{5x^2-80}&=5\left(\blueD {x}^2-\greenD 4^2\right)\\ \\ &=5(\blueD x+\greenD 4)(\blueD x-\greenD 4)\end{aligned}
Il n'y a plus aucun facteur du second degré à traiter, donc la factorisation est terminée.
5x280=5(x+4)(x4)5x^2-80=5(x+4)(x-4).

Exemple 2 : Factoriser 4x2+12x+94x^2+12x+9

Ce polynôme est réduit et ordonné.
Question 1 : Y a-t-il un facteur commun ?
Non. 4x24x^2, 12x12x et 99 n'ont pas de facteur commun. Question suivante.
Question 2 : Est-ce une différence de deux carrés ?
Non. Il y a un terme en xx donc ce n'est pas une différence de deux carrés. Question suivante.
Question 3 : Est-ce le développement du carré d'une somme ?
Oui. Le premier et le troisième terme sont des carrés car 4x2=(2x)24x^2=(\blueD{2x})^2 et 9=329=\greenD 3^2. Et 12x=2×2x×312x=2×\blueD{2x}×\greenD{3}.
Donc,
=4x2+12x+9=(2x)2+2×2x×3+32=(2x+3)2\begin{aligned}&\phantom{=}4x^2+12x+9\\\\&=(\blueD {2x})^2+2×\blueD{2x}×\greenD{3}+\greenD{3}^2\\\\&=(\blueD{2x}+\greenD 3)^2\end{aligned}
4x2+12x+9=(2x+3)24x^2+12x+9=(2x+3)^2.

Exemple 3 : Factoriser 12x63+3x212x-63+3x^2

On ordonne le trinôme : 12x63+3x2=3x2+12x6312x-63+3x^2=3x^2+12x-63.
Question 1 : Y a-t-il un facteur commun ?
Oui. On peut mettre 33 en facteur :
3x2+12x63=3(x2+4x21)3x^2+12x-63=3(x^2+4x-21)
Question 2 : L'un des facteurs est-il une différence de deux carrés ?
Non. Question suivante.
Question 3 : L'un des facteurs est-il le développement du carré d'une somme ?
Non. Question suivante.
Question 4a : L'un des facteurs est-il de la forme x2+bx+cx^2+bx+c ?
Oui. x2+4x21x^2+4x-21 est de cette forme.
Question 4b : Existe-t-il deux entiers dont le produit est cc et dont la somme est bb ?
Oui. Il existe deux entiers dont le produit est 21-21 et dont la somme est 44 :
7×(3)=217\times (-3)=-21 et 7+(3)=47+(-3)=4, donc,
3(x2+4x21)=3(x2+4x21)=3(x+7)(x3)\begin{aligned}\phantom{3(x^2+4x-21)}&=3(x^2+4x-21)\\ \\ &=3(x+7)(x-3)\\ \end{aligned}
3x2+12x63=3(x+7)(x3)3x^2+12x-63=3(x+7)(x-3).

Exemple 4 : Factoriser 4x2+18x104x^2+18x-10

Ce trinôme est réduit et ordonné.
Question 1 : Y a-t-il un facteur commun ?
Oui. On peut mettre 22 en facteur :
4x2+18x10=2(2x2+9x5)4x^2+18x-10=2(2x^2+9x-5)
Question 2 : L'un des facteurs est-il une différence de deux carrés ?
Non. Question suivante.
Question 2 : L'un des facteurs est-il le développement du carré d'une somme ?
Non. Question suivante.
Question 4a : L'un des facteurs est-il de la forme x2+bx+cx^2+bx+c ?
Non, car dans le trinôme 2x2+9x+52x^2+9x+5, le coefficient de x2x^2 est 22.
Question 5: Si l'un des facteurs est de la forme ax2+bx+cax^2+bx+c, existe-t-il deux entiers dont le produit est acac et dont la somme est bb
Ici, l'un des facteurs est 2x2+9x52x^2+9x-5, donc il faut chercher s'il existe deux entiers dont le produit est 2×(5)=102\times (-5)=-10 et dont la somme est 99.
La réponse est oui car 1×10=10-1\times 10=-10 et 1+10=9-1+10=9.
On décompose le terme en xx : 9x=1x+10x9x=-1x+10x, on regroupe les deux premiers termes et les deux derniers termes du trinôme et on les factorise séparément.
= 2(2x2+9x5)=2(2x21x+10x5)=2[(2x21x)+(10x5)]=2[x(2x1)+5(2x1)]=2(2x1)(x+5)\begin{aligned}&\phantom{=}~2(2x^2+9x-5)\\\\ &=2(2x^2-1x+10x-5)&&\small{\gray{\text{}}}\\ \\ &=2\left[(2x^2-1x)+(10x-5)\right]&&\small{\gray{\text{}}}\\\\ &=2\left[x(2x-1)+5(2x-1)\right]&&\small{\gray{\text{}}}\\\\ &=2(2x-1)(x+5)&&\small{\gray{\text{}}} \end{aligned}

À vous !

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