Divisibilité d'un polynôme par un autre

La divisibilité dans l'ensemble des polynômes.

Rappel

Un monôme est une expression de la forme a, x, start superscript, n, end superscript ou a est un nombre réel et n un entier naturel. Exemple : 3, x, start superscript, 2, end superscript. Un polynôme est une somme algébrique de monômes. Exemple : 3, x, start superscript, 2, end superscript, plus, 6, x, minus, 1.

Le sujet traité

Dans cette leçon, on étudie les diviseurs et les multiples d'un polynôme et la méthode à utiliser pour établir si un polynôme est diviseur d'un autre polynôme.

Diviseurs et divisibilité dans l'ensemble des entiers

Soient les entiers a, b et c. Si , alors a et b sont des diviseurs de c.
Par exemple, 14, equals, 2, times, 7, donc 2 et 7 sont des diviseurs de 14.
L'entier a est divisible par l'entier b si le quotient de a par b est un entier.
Par exemple, start fraction, 15, divided by, 3, end fraction, equals, 5 et start fraction, 15, divided by, 5, end fraction, equals, 3, donc 15 est divisible par 3 et par 5. mais start fraction, 9, divided by, 4, end fraction, equals, 2, comma, 25, donc 9 n'est pas divisible par 4.
Les relations "est diviseur de.." et "est divisible par ..." sont réciproques l'une de l'autre.

start color goldD, 14, end color goldD, equals, start color blueD, 2, end color blueD, times, 7 donc start fraction, start color goldD, 14, end color goldD, divided by, start color blueD, 2, end color blueD, end fraction, equals, 7 peut se traduire par : 2 est un diviseur de 14, donc 14 est divisible par 2.
Dans l'autre sens, start fraction, start color goldD, 15, end color goldD, divided by, start color blueD, 3, end color blueD, end fraction, equals, 5 donc start color goldD, 15, end color goldD, equals, start color blueD, 3, end color blueD, times, 5 peut se traduire par : 15 est divisible par 3, donc 3 est un diviseur de 15.
De façon générale : Si a est un diviseur de b, alors b est divisible par a, et réciproquement.

Diviseurs et divisibilité dans l'ensemble des polynômes

Tout ceci s'applique aux polynômes.
Soient les polynômes P, Q et R. Si , alors Q et R sont des diviseurs de P.
Par exemple, 2, x, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, equals, 2, x, start superscript, 2, end superscript, plus, 6, x. Donc 2, x et x, plus, 3 sont des diviseurs de 2, x, start superscript, 2, end superscript, plus, 6, x.
Et un polynôme est divisible par un autre polynôme si le quotient du premier par le deuxième est un polynôme.
par exemple, start fraction, 6, x, start superscript, 2, end superscript, divided by, 3, x, end fraction, equals, 2, x et start fraction, 6, x, start superscript, 2, end superscript, divided by, 2, x, end fraction, equals, 3, x, donc 6, x, start superscript, 2, end superscript est divisible par 3, x et par 2, x. En revanche, start fraction, 4, x, divided by, 2, x, start superscript, 2, end superscript, end fraction, equals, start fraction, 2, divided by, x, end fraction, donc 4, x n'est pas divisible par 2, x, start superscript, 2, end superscript.
La aussi, les relations "est diviseur de.." et "est divisible par ..." sont réciproques l'une de l'autre.
De façon générale, si les polynômes P, Q et R sont tels que P, equals, Q, times, R, alors
  • Q et R sont des diviseurs du polynôme P.
  • P est divisible par Q et par R.

A vous !

1) 3, x, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, equals, 3, x, start superscript, 2, end superscript, plus, 6, x, donc
x, plus, 2 est
3, x, start superscript, 2, end superscript, plus, 6, x, et 3, x, start superscript, 2, end superscript, plus, 6, x est
x, plus, 2.

On sait que 3, x, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, equals, 3, x, start superscript, 2, end superscript, plus, 6, x.
Donc x, plus, 2 est un diviseur de 3, x, start superscript, 2, end superscript, plus, 6, x, et 3, x, start superscript, 2, end superscript, plus, 6, x est divisible par x, plus, 2.
2) Un professeur a écrit au tableau :
Marin en a déduit que 3, x, start superscript, 2, end superscript est un diviseur de 12, x, start superscript, 3, end superscript.
Judith en a déduit 12, x, start superscript, 3, end superscript est divisible par 4, x.
Qui a raison ?
Réponse :
Réponse :

Si les polynômes P, Q et R sont tels que , alors Q et R sont des diviseurs de P, et P est divisible par Q et par R.
donc 3, x, start superscript, 2, end superscript et 4, x sont des diviseurs de 12, x, start superscript, 3, end superscript. Et 12, x, start superscript, 3, end superscript est divisible par 3, x, start superscript, 2, end superscript et par 4, x.
Marin et Judith ont tous les deux raison

Diviseurs d'un polynôme - Divisibilité d'un polynôme par un autre

Exemple 1 : 24, x, start superscript, 4, end superscript est-il divisible par 8, x, start superscript, 3, end superscript, space, question mark

Pour répondre à la question on simplifie le quotient start fraction, 24, x, start superscript, 4, end superscript, divided by, 8, x, start superscript, 3, end superscript, end fraction. Si le résultat est un monôme, alors 24, x, start superscript, 4, end superscript est divisible par 8, x, start superscript, 3, end superscript. Sinon, 24, x, start superscript, 4, end superscript n'est pas divisible par 8, x, start superscript, 3, end superscript.
24x48x3=248×x4x3=3×x1aman=amn=3x\begin{aligned}\dfrac{24x^4}{8x^3}&=\dfrac{24}{8}\times \dfrac{x^4}{x^3}\\ \\ &=3\times x^1&&\small{\gray{\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}}}\\ \\ &=3x \end{aligned}
3, x est un monôme, donc 24, x, start superscript, 4, end superscript est divisible par 8, x, start superscript, 3, end superscript. Et 8, x, start superscript, 3, end superscript est un diviseur de 24, x, start superscript, 4, end superscript.

Exemple 2 : 4, x, start superscript, 6, end superscript est-il un diviseur de 32, x, start superscript, 3, end superscript ?

Pour savoir si 4, x, start superscript, 6, end superscript est un diviseur de 32, x, start superscript, 3, end superscript on étudie si 32, x, start superscript, 3, end superscript est divisible par 4, x, start superscript, 6, end superscript. Pour cela, on simplifie le quotient start fraction, 32, x, start superscript, 3, end superscript, divided by, 4, x, start superscript, 6, end superscript, end fraction.
32x34x6=324×x3x6=8×x3aman=amn=8×1x3am=1am=8x3\begin{aligned}\dfrac{32x^3}{4x^6}&=\dfrac{32}{4}\times\dfrac{x^3}{x^6}\\ \\ &=8\times x^{-3}&&\small{\gray{\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}}}\\ \\ &=8\times\dfrac{1}{x^3}&&\small{\gray{a^{-m}=\dfrac{1}{a^m}}}\\ \\ &=\dfrac{8}{x^3} \end{aligned}
start fraction, 8, divided by, x, start superscript, 3, end superscript, end fraction n'est pas un monôme, donc 4, x, start superscript, 6, end superscript n'est pas un diviseur de 32, x, start superscript, 3, end superscript.

A retenir

Pour établir si le polynôme P est divisible par le polynôme Q, ou ce qui revient au même si le polynôme Q est un diviseur du polynôme P, on étudie le quotient start fraction, P, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, Q, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction.
Si ce quotient est un polynôme, alors le polynôme P est divisible par le polynôme Q, et le polynôme Q est un diviseur du polynôme P

À vous !

3) 30, x, start superscript, 4, end superscript est-il divisible par 2, x, start superscript, 2, end superscript, space, question mark
Réponse :
Réponse :

On simplifie le quotient start fraction, 30, x, start superscript, 4, end superscript, divided by, 2, x, start superscript, 2, end superscript, end fraction.
30x42x2=302×x4x2=15×x2=15x2\begin{aligned}\dfrac{30x^4}{2x^2}&=\dfrac{30}{2}\times \dfrac{x^4}{x^2}\\ \\ &=15\times x^2\\ \\ &=15x^2 \end{aligned}
15, x, start superscript, 2, end superscript est un polynôme, donc 30, x, start superscript, 4, end superscript est divisible par 2, x, start superscript, 2, end superscript.
4) 12, x, start superscript, 2, end superscript est-il un diviseur de 6, x, space, question mark
Réponse :
Réponse :

Pour savoir si 12, x, start superscript, 2, end superscript est un diviseur de 6, x on étudie si 6, x est divisible par 12, x, start superscript, 2, end superscript. Pour cela, on simplifie le quotient start fraction, 6, x, divided by, 12, x, start superscript, 2, end superscript, end fraction.
6x12x2=612×xx2=12×x1=12×1x=12x\begin{aligned}\dfrac{6x}{12x^2}&=\dfrac{6}{12}\times \dfrac{x}{x^2}\\ \\ &=\dfrac{1}{2}\times x^{-1}\\ \\ &=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{x}\\ \\ &=\dfrac{1}{2x} \end{aligned}
1, slash, 2, x n'est pas un polynôme donc 12, x, start superscript, 2, end superscript n'est pas un diviseur de 6, x.

Un dernier exercice

5) Ces monômes sont-ils des diviseurs de 15, x, start superscript, 2, end superscript, y, start superscript, 6, end superscript, space, question mark
 
Est un diviseur
N'est pas un diviseur
5, x
3, x, start superscript, 2, end superscript, y, start superscript, 5, end superscript
10, x, start superscript, 4, end superscript, y, start superscript, 3, end superscript

Pour savoir si le monôme start color greenD, A, end color greenD est un diviseur de start color blueD, 15, x, start superscript, 2, end superscript, y, start superscript, 6, end superscript, end color blueD, on étudie le quotient de start color blueD, 15, x, start superscript, 2, end superscript, y, start superscript, 6, end superscript, end color blueD par start color greenD, A, end color greenD :
On écrit le quotient de 15, x, start superscript, 2, end superscript, y, start superscript, 6, end superscript par chacun des monômes donnés.
15x2y65x=3xy615x2y63x2y5=5y15x2y610x4y3=3y32x2\qquad \begin{aligned}\dfrac{\blueD{15x^2y^6}}{\greenD{5x}}&=3xy^6\\\\\\\\ \dfrac{\blueD{15x^2y^6}}{\greenD{3x^2y^5}}&=5y\\\\\\\\\\ \dfrac{\blueD{15x^2y^6}}{\greenD{10x^4y^3}}&=\dfrac{3y^3}{2x^2}\\\\\\\\\\ \end{aligned}
3, x, y, start superscript, 6, end superscript et 5, y sont des monômes, donc start color greenD, 5, x, end color greenD et start color greenD, 3, x, start superscript, 2, end superscript, y, start superscript, 5, end superscript, end color greenD sont des diviseurs de start color blueD, 15, x, start superscript, 2, end superscript, y, start superscript, 6, end superscript, end color blueD.
start fraction, 3, y, start superscript, 3, end superscript, divided by, 2, x, start superscript, 2, end superscript, end fraction n'est pas un monôme, donc start color greenD, 10, x, start superscript, 4, end superscript, y, start superscript, 3, end superscript, end color greenD n'est pas un diviseur de start color blueD, 15, x, start superscript, 2, end superscript, y, start superscript, 6, end superscript, end color blueD.
6) L'aire du rectangle de largeur x, plus, 1 et de longueur x, plus, 4 est x, start superscript, 2, end superscript, plus, 5, x, plus, 4.
Les diviseurs de x, start superscript, 2, end superscript, plus, 5, x, plus, 4 sont :
Réponse(s) :
Réponse(s) :

L'aire A d'un rectangle est A, equals, l, o, n, g, u, e, u, r, times, l, a, r, g, e, u, r.
Dans ce cas, on a :
A=L×lx2+5x+4=(x+4)(x+1)\begin{aligned}A&=L\times l\\ \\ x^2+5x+4&=(x+4)(x+1) \end{aligned}
Donc x, plus, 4 et x, plus, 1 sont des diviseurs de x, start superscript, 2, end superscript, plus, 5, x, plus, 4.

Quel est l'intérêt de chercher les diviseurs d'un polynôme ?

La recherche des diviseurs d'un nombre entier est utile car elle a beaucoup d'applications et il en est de même avec les polynômes !
En particulier, elle est utile pour résoudre les équations du second degré et pour simplifier les fractions rationnelles.
Pour vous en convaincre, reportez-vous à :

Quelle est la prochaine leçon ?

Dans la prochaine leçon, nous étudierons comment Diviser un monôme par un autre monôme.