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Cours : Algèbre II > Chapitre 16 

Leçon 9: Caractéristiques des fonctions du second degré
Mathématiques
Algèbre II
Le second degré
Caractéristiques des fonctions du second degré
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Tracer une parabole

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Comment tracer la parabole représentative d'une fonction du second degré.
La courbe représentative d'une fonction du second degré est une parabole.
Un plan cartésien. Les axes des x et des y sont tous deux gradués de un. Le graphique est la fonction x au carré. La fonction est une parabole convexe. La fonction décroît en passant par les valeurs moins deux, quatre et moins un, un. Le sommet de la fonction est tracé à zéro, zéro, puis la fonction augmente en passant par un, un et deux, quatre.
Cette leçon traite des méthodes à utiliser pour tracer une parabole selon la forme où est donnée la fonction .

Exemple 1 - La fonction est sous forme canonique

Tracer la parabole d'équation :
y=−2(x+5)2+4
Cette équation est sous forme canonique :
y=a(x−h)2+k
(h ;k) est le couple de coordonnées du sommet de la parabole. Ici, ce couple est (−5 ;4).
Si a>0, la fonction est convexe sur ℝ, ce qui signifie que la parabole est située au-dessus de chacune de ses tangentes. Si a<0, la fonction est concave sur ℝ, ce qui signifie que la parabole est située au-dessous de chacune de ses tangentes. Ici, a=−2, donc elle est concave.
Voici le début du tracé :
Un plan cartésien. Les axes des x et des y sont tous deux gradués de un. Le graphique est la fonction moins deux fois la somme de x plus cinq au carré plus quatre. La fonction est une parabole concave. Le sommet de la fonction est tracé à moins trois, quatre et deux tracés à gauche et à droite du sommet.
Ébauche du tracé
On détermine les coordonnées d'un autre point de la parabole.
On calcule l'ordonnée du point d'abscisse −4.
y=−2×(−4+5)2+4=−2×12+4=−2+4=2
Un autre point est le point de coordonnées (−4 ;2).
Un plan cartésien. Les axes des x et des y sont tous deux gradués de un. Le graphique est la fonction moins deux fois la somme de x plus cinq au carré plus quatre. La fonction est une parabole concave. Le sommet de la fonction est tracé à moins trois, quatre. Un autre point est placé à moins quatre, deux.
La parabole d'équation y=−2(x−1)2−4

Exemple 2 - La fonction n'est pas sous forme canonique

Comment tracer sa parabole représentative ? Voici un exemple :
g(x)=x2−x−6
Les solutions de l'équation g(x)=0 sont les abscisses des points d'intersection de la parabole avec l'axe des x.
g(x)=x2−x−60=x2−x−60=(x−3)(x+2)
Les solutions sont 3 et −2, donc ces points d'intersection sont les points de coordonnées (−2 ;0) et (3 ;0).
Un plan cartésien. Les axes des x et des y sont tous deux gradués de un. Un point est placé à moins deux, zéro et un autre à trois, zéro.
On détermine les coordonnées du sommet de la parabole.
L'abscisse du sommet de la parabole est égale à la demi-somme des abscisses de ses points d'intersection avec l'axe des x.
Un plan cartésien. Les axes des x et des y sont tous deux gradués de un. Un point est placé à moins deux, zéro et un autre à trois, zéro. Un point au milieu de ces points a pour coordonnées zéro virgule cinq, zéro.
La demi-somme de −2 et 3 est 0,5.
On calcule l'ordonnée du sommet.
g(0,5)=(0,5)2−0,5−6=0,25−0,5−6=−6,25
Le couple de coordonnées du sommet est (0,5 ;−6,25). Voici le tracé de la parabole.
Un plan cartésien. Les axes des x et des y sont tous deux gradués de un. Le graphique est la fonction x au carré moins x moins six. La fonction est une parabole convexe. Le sommet de la fonction est tracé à zéro virgule cinq, moins six virgule vingt-cinq. Elle coupe l'axe des abscisses en moins deux, zéro et en trois, zéro.
y=x2−x−6
.

À vous !

Exercice 1
Tracer la parabole d'équation :
y=2(x+1)(x−1)

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices :

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