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Résoudre une équation de la forme X² = a

Comment résoudre des équations du type x^2=36 ou (x-2)^2=49.

Prérequis :

Le sujet traité

Jusqu'à présent vous avez résolu des équations du premier degré. Dans ces équations ne figurent que des termes en x et des constantes.
Cette leçon est la première d'une série de leçons sur les équations du second degré. Une équation est du second degré s'il y figure au moins un terme en x2.
Voici des exemples d'équations du second degré :
x2=36
2x2+3=131
La première est de la forme x2=a2, la deuxième est de la forme (xa)2=b2 et la troisième se ramène à une équation de la forme x2=a2. La résolution de ce type d'équation du second degré est simple.

La résolution des équations du type x2=36

Résoudre l'équation x2=36 signifie trouver le ou les nombres dont le carré est 36.
On applique le théorème : x2=a2 équivaut à x=a ou x=a.
Voici la résolution de l'équation :
x2=36   équivaut à   x2=62x2=62    équivaut à   x=6 ou x=6 les solutions sont     x=6 et x=6     ou   x=±6
Une recommandation et une observation :

Une recommandation

Pour résoudre une équation de la forme x2=a2, le bon réflexe est d'écrire x2=a2 équivaut à x=a ou x=a.
Une équation de ce type a deux solutions.

Il est possible d'utiliser le signe ±

Il y a deux nombres dont le carré est a2 : a et son opposé a. Dans cet exemple, les deux nombres dont le carré est 36 sont 6 et 6. Ce sont les deux solutions de l'équation x2=36.
Le symbole ± est un raccourci commode pour noter deux nombres opposés. Par exemple, ±6 signifie 6 et 6. On écrira que les solutions de l'équation x2=36 sont ±6.
À vous !
Exercice 1
Résoudre x2=16.
x=±
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

Exercice 2
Résoudre x2=81.
x=±
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

Exercice 3
Les solutions de l'équation x2=5 sont :
Choisissez une seule réponse :

La résolution des équations du type (x2)2=49

Voici une méthode pour résoudre l'équation (x2)2=49 :
(x2)2=49   équivaut à     (x2)2=72(x2)2=72     équivaut à   x2=7 ou x2=7x2=7 ou x2=7     équivaut à     x=9 ou x=5
Il y a donc deux solutions x=9 et x=5.
Une recommandation et une observation :

Une recommmandation

Pour résoudre une équation de la forme X2=a2, le bon réflexe est d'appliquer le théorème X2=a2 équivaut à X=a ou X=a.

Une observation

Il y a deux équations du 1er degré à résoudre : x2=7 et x2=7.
Il y a deux solutions x=9 et x=5.
À vous !
Exercice 4
Les solutions de l'équation (x+3)2=25 sont :
Choisissez une seule réponse :

Exercice 5
Les solutions de l'équation (2x1)2=9 sont :
Choisissez une seule réponse :

Exercice 6
Les solutions de l'équation (x5)2=7 sont :
Choisissez une seule réponse :

Pourquoi ne pas développer pour enlever les parenthèses ?

On reprend l'exemple de l'équation (x2)2=49 et on développe le carré pour supprimer les parenthèses (comme on le fait d'habitude dans une équation du premier degré).
On obtient :
x24x+4=49
Et maintenant ? On peut écrire que x24x=45. Mais ensuite la racine carrée du premier membre est x24x et on ne peut pas écrire autrement cette racine carrée.
On a réussi -facilement- à résoudre l'équation (x2)2=49, alors que l'on ne sait pas (pas encore) résoudre l'équation x24x+4=49. Donc ce n'était pas avisé de développer.
En règle générale, il faut toujours conserver les carrés ou les produits de facteurs dans une équation du second degré.

La résolution des équations du type 2x2+3=131

Cette équation n'est pas sous la forme x2=a2, mais on peut la mettre sous cette forme.
Pour cela, on isole x2 :
2x2+3=1312x2=128x2=64x2=82x=8   ou   x=8
À vous !
Exercice 7
Les solutions de l'équation 3x27=5 sont :
Choisissez une seule réponse :

Exercice 8
Les solutions de l'équation 4(x1)2+2=38 sont :
Choisissez une seule réponse :

Un dernier exercice
Les solutions de l'équation x2+8x+16=9 sont :
Choisissez une seule réponse :

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  • piceratops seedling style l'avatar de l’utilisateur Joanna Rdg
    Dans la dernière équation à résoudre, x²+8x+16=9, les solutions sont -1 et -7. EN utilisant le discriminant, je tombe sur les mêmes valeurs mais du signe opposé... J'ai seulement fait une erreur de signe avec cette autre technique ? Ou elle n'est pas à choisir pour cet exercice ?
    (2 votes)
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  • blobby green style l'avatar de l’utilisateur 😊
    X(x-3/2)=0 je veux résoudre cette équation et j n'y arrive pas
    (1 vote)
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  • starky seed style l'avatar de l’utilisateur Marie Lorette
    On me demande résoudre une équation du deuxième degré donc avec un x² et un x en plus. je m'explique.
    3x² - 9x = 0 Mais comment faire avec le x simple en plus? help me
    (1 vote)
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  • leafers seed style l'avatar de l’utilisateur Thomas Hua
    Merci pour ces exercices :D
    (1 vote)
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