Le discriminant d'un trinôme du second degré

Tout ce qu'il faut comprendre et retenir à propos du discriminant.

La formule

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

permet de résoudre l'équation du second degré

a x^{2} + b x + c = 0

Qu'est-ce que le discriminant ?

b^{2} - 4 a c

s'appelle le

discriminant

du trinôme

a x^{2} + b x + c

. C'est l'expression qui est sous le radical dans la formule des racines.

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

Il peut être positif, nul ou négatif. Il suffit de connaître son signe pour connaître le nombre de racines réelles de l'équation

a x^{2} + b x + c = 0

Si le discriminant est positif, l'équation $a x^{2} + b x + c = 0$ ‍ a deux racines réelles distinctes.
Si le discriminant est égal à $0$ ‍, l'équation $a x^{2} + b x + c = 0$ ‍ a une racine réelle double.
Si le discriminant est négatif, l'équation $a x^{2} + b x + c = 0$ ‍ n'a pas de racine réelle.

La vidéo.

Combien cette équation a-t-elle de racines réelles ?

6 x^{2} + 10 x - 1 = 0

On identifie les coefficients :

On calcule le discriminant :

\begin{aligned} b^{2} - 4 a c \\ = & 10^{2} - 4 \times 6 \times (- 1) \\ = & 100 + 24 \\ = & 124 \end{aligned}

Il est positif donc l'équation a deux racines réelles distinctes.

On peut le vérifier graphiquement :

La parabole représentative de la fonction

x \mapsto 6 x^{2} + 10 x - 1

a bien deux points d'intersection avec l'axe des abscisses.

Exercice 1

P (x) = 3 x^{2} + 24 x + 48

Calculer le discriminant de $P (x)$ ‍.

Quel est le nombre des racines réelles de l'équation $P (x) = 0 ?$ ‍

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

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