Tout ce qu'il faut comprendre et retenir à propos du discriminant.

Rappel

La formule
x=b±b24ac2ax=\dfrac{-\goldD{b}\pm\sqrt{\goldD{b}^2-4\purpleD{a}\redD{c}}}{2\purpleD{a}}
permet de résoudre l'équation du second degré
ax2+bx+c=0\purpleD{a}x^2 + \goldD{b}x + \redD{c} = 0

Qu'est-ce que le discriminant ?

b24acb^2-4ac s'appelle le discriminant\goldD{\text{discriminant}} du trinôme ax2+bx+cax^2+bx+c. C'est l'expression qui est sous le radical dans la formule des racines.
x=b±b24ac2ax=\dfrac{-{b}\pm\sqrt{\goldD{b^2-4ac}}}{2a}
Il peut être positif, nul ou négatif. Il suffit de connaître son signe pour connaître le nombre de racines réelles de l'équation ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0.
  • Si le discriminant est positif, l'équation ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 a deux racines réelles distinctes.
  • Si le discriminant est égal à 00, l'équation ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 a une racine réelle double.
  • Si le discriminant est négatif, l'équation ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 n'a pas de racine réelle.

Exemple

Combien cette équation a-t-elle de racines réelles ?
6x2+10x1=06x^2+10x-1 =0
On identifie les coefficients :
  • a=6a=6
  • b=10b=10
  • c=1c=-1
On calcule le discriminant :
b24ac=1024×6×(1)=100+24=124\begin{aligned} &b^2-4ac\\\\ =&10^2-4×6×(-1)\\\\ =&100+24\\\\ =&124 \end{aligned}
Il est positif donc l'équation a deux racines réelles distinctes.
On peut le vérifier graphiquement.
Elle a bien deux points d'intersection avec l'axe des abscisses.

À vous !

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.
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