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Démonstration que la racine carrée de 2 est un nombre irrationnel

Transcription de la vidéo

bonjour dans cette vidéo on va démontrer un résultat très très ancien qui remontent à l'époque de l'école pythagoricienne et qui est que le nombre racine carrée de 2 est un nombre irrationnel alors il ya plusieurs manières de démontrer ce résultat mais la démonstration que je te propose aujourd'hui bien c'est probablement l'une des premières démonstrations en mathématiques on l'a fait en général remonter à aristote donc à peu près quatre siècle avant l'ère chrétienne est en tout cas elles figurent explicitement dans les éléments d'euclide alors tu vas voir c'est une démonstration qui techniquement est assez simple elle est très courte mais qui est assez fine puisqu'elle fait intervenir un type de raisonnement très courant en mathématiques qui s'appelle le raisonnement par l'absurde alors qu'est ce qu'un raisonnement par l'absurde et bien ça consiste à prouver que le contraire de ce qu'on veut ne peut pas être vrai en montrant par exemple que cela conduirait à quelque chose d'impossible ou de contradictoire alors dans notre cas on cherche à démontrer que racine carrée est un nombre irrationnel et on va supposer que le contraire est vrai c'est à dire qu'on va supposer que racine carrée de 2 est un nombre rationnelle va supposer que racine carrée de 2 est un nombre rationnelle donc il appartient l'ensemble q et ça ça veut dire que racine carrée de 2 et bien c'est une fraction rapports entre deux nombres entiers donc racine carrée de deux on va pouvoir l'écrire comme un nombre entier a divisé par un nombre entier b donc a et b sont deux entier et évidemment il faut supposer que b est différente 0 alors il ya une autre supposition qu'on peut faire c'est que cette fraction là assure b et bien c'est une fraction irréductibles donc a et b non pas de diviseur commun alors je vais supposé ça aussi le pgc d2 a et b est égal à 1 alors pourquoi est ce que je peux faire cette supposition et bien tout simplement parce que si racine carrée de peut s'exprimer comme une fraction et bien si cette fraction l'année pas irréductibles on pourra toujours la réduire et la ramener à une forme irréductibles donc on va faire ces suppositions qui sont nos suppositions de départ et on va travailler là-dessus alors si racine carrée de 2 est égal à assure b eh bien on peut élever au carré les deux membres de cette relation là et ça nous donne racine carrée de deux élevée au carré c'est à dire 2 égal à au carré sur bo carré et là évidemment je peux appliquer les règles de l'algèbre je vais x b au carré aux deux membres de cette égalité et ça me donne deux b o car est égal à au carré c'est à dire à part égale deux fois mais au carré alors ça ça veut dire que ao carey est un multiple de 2 donc à au carré et père donc à au carré et père alors on va réfléchir un petit peu sur la parité de à escales et perd ou est ce que a est un père alors je vais réfléchir un petit peu à côté tiens je crée un espace à part et je vais prendre un nombre entier m différentes 0 1 peut écrire comme ça elle m'appartient n étoiles donc un entier positif mais différente 0 et maintenant je vais étudier les deux cas possibles r le premier cas c'est que m et pères m et pèse dans ce cas là je peux écrire que mc 2 fois un certains nombres entiers cas et si je laisse ça aux quarts et j'obtiens que m au carré est égal à 4 fois cas au carré donc m au carré et père ok maintenant le deuxième cas possible c'est que m est un père m est un père et dans ce cas là je peux écrire que m est égal à 2 fois un nombre entier cas encore je l'appelle cas encore une fois mais c'est pas le même plus un sas et la caractérisation d'un nombre impair et si j'élève ça au carré j'obtiens que m au carré est égale deux fois cac +1 le tout est élevée au carré et ça je peux le développer ça me donne quatre cas au carré plus 4k plus un ce qui est intéressant ici c'est que dans ces deux premiers termes là je peux factoriser 2 peut même mettre quatre ans facteur mais pour l'instant je vais mettre uniquement 2 ça me donne deux fois 2 k o car est plus de cas est donc plus un et du coup ce qu'on peut voir c'est que dans ce cas-là m au carré est inter m au carré est un père puisqu'on a pu l'écrire comme deux fois un nombre entier +1 donc finalement le carré d'un nombre pair et perd aussi le carré d'un nombre impair est un père aussi ce qui veut dire que quand on a un nombre dont le carré et père et bien c'est forcément un nombre pair alors ça je vais le noter c'est un résultat important pour nous 6ème au carré et père alors m et perd aussi donc ça c'est un résultat important jeu l'encadrent ici pourrait appeler un même résultat intermédiaire qui va nous servir donc je reviens maintenant sur notre démonstration on sait que à au carré père et d'après seul m qui est ici ça veut dire que a est lui même perd donc à et père voilà ça c'est important pour nous si elle perd ça veut dire que à peut s'écrire comme deux fois un nombre entier donc cette fois ci je vais l'appeler n et si je reprends cette relation là maintenant ça me donne que deux baies au carré est égal à 2 n le tout élevée au carré c'est à dire 4n carré hélas j'obtiens de nouveau une relation sur laquelle je peux travailler algébrique mans et je vais divisé des deux côtés par deux et ça me donne b o car est égal de zen au carré et si bo carette gala deux fois quelque chose eh bien ça veut dire que bo carré et perd donc on sait que b au carré et père et là on peut de nouveau appliquer notre résultat de tout à l'heure si bo carré père ça veut dire que b et perd aussi donc b et perd voilà donc finalement si je suppose que racine carrée de 2 peut s'écrire sous la forme d'une fraction irréductible et bien j'obtiens que le numérateur et le dénominateur de cette fraction sont tous les deux des nombreux pères ce qui contredit complètement cette hypothèse là que la fraction est irréductible c'est à dire que le pgc d2 a et b est égal à 1 donc je pars de cette idée que racine carrée de 2 peut s'exprimer sous la forme d'une fraction irréductible et j'obtiens une contradiction donc ça c'est impossible donc si le fait que racine carrée de 2 soit rationnelle conduit à une contradiction bien ça veut dire que ce n'est pas possible donc racine carrée de 2 est forcément irrationnelles voilà tu vois c'est une assez jolie démonstration intéressante et surtout qui a une valeur historique très importante à bientôt